Semi-amplitude de vitesse radiale

Utilise la relation de semi-amplitude de vitesse radiale pour estimer la détectabilité ou retrouver m sin(i) à partir de l'oscillation Doppler observée.

Exemple résolu — Semi-amplitude de vitesse radiale

Semi-amplitude VR K	0.2968 m/s
Masse minimale m sin(i)	1 Masses terrestres (0.00315 Masses joviennes)
Oscillation VR crête à crête	0.5936 m/s
sin(i)	1
Rayon orbital de l'étoile	40.814 km

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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La vitesse radiale ne peut jamais donner qu’une masse minimale 🖖

L’oscillation révèle le mouvement de l’étoile le long de notre ligne de visée, et rien de son mouvement en travers. Ce que livre la mesure n’est donc pas la masse de la planète mais m sin i, où i est une inclinaison orbitale que personne ne peut lire dans les mêmes données. Vue par la tranche, à i = 90°, la valeur est la masse vraie. À 30°, la planète réelle est deux fois plus lourde qu’annoncé ; à 10°, 5,8 fois ; à 5°, 11,5 fois. Un signal présenté comme de la taille de Neptune peut donc être une naine brune vue presque de face, et la vitesse radiale seule ne pourra jamais l’exclure. C’est précisément pourquoi un transit — qui ne se produit que si l’orbite est presque vue par la tranche, fixant i — transforme une masse minimale en masse réelle.

Comment l'oscillation d'une étoile trahit une planète cachée 🖖

Une planète n'orbite pas simplement autour de son étoile : les deux corps tournent autour de leur centre de masse commun, si bien que l'étoile décrit elle aussi une petite boucle. Lorsqu'elle s'approche de nous, sa lumière est décalée vers le bleu ; lorsqu'elle s'éloigne, vers le rouge. K est la vitesse maximale de cette oscillation le long de la ligne de visée. Jupiter fait osciller le Soleil à environ 12.5 m/s, l'allure d'un cycliste rapide, la Terre à seulement 0.09 m/s.

L'oscillation ne faiblit pas avec la distance 🖖

Presque tout signal astronomique s'affaiblit avec la distance : l'éclat décroît comme son carré. La demi-amplitude de vitesse radiale K, non : elle est inscrite dans l'orbite elle-même, si bien qu'une étoile à 10 ou 1000 parsecs oscille exactement à la même vitesse. La distance ne limite que le nombre de photons collectés pour le spectre. Des instruments comme ESPRESSO atteignent aujourd'hui environ 10 cm/s, détectant une étoile qui dérive plus lentement qu'un humain en promenade, à des milliers de milliards de kilomètres.

Problème entièrement résolu

Oscillation stellaire de 0,2968 m/s due à une planète de masse terrestre sur une orbite de 10 jours 5 étapes
Une planète de masse terrestre sur une orbite de 10 jours fait osciller son étoile à 0,2968 m/s. C'est une vitesse de marche. Calculez de combien l'étoile se déplace réellement — et pourquoi les Jupiters chauds ont été découverts en premier.
1. Les deux corps orbitent autour de leur centre de masse commun, de sorte que l'étoile décrit elle-même une petite ellipse. La demi-amplitude K est la vitesse de ce mouvement projetée sur notre ligne de visée, ce qui est la seule chose qu'un spectrographe puisse mesurer.
  
  $K = (\frac{2 π G}{P})^{1/3} \frac{m _{p} sin i}{( M _{⋆} + m _{p} ) ^{2/3}} \cdot \frac{1}{1 - e ^{2}}$
2. Dans la formule, tout est connu ici à l'exception de la planète : une étoile de masse solaire, une orbite circulaire vue par la tranche, et une masse terrestre à dix jours.
  
  $P = 10 d, m_{p} = 1 M_{\oplus}, M_{⋆} = 1 M_{⊙}, i = 9 0^{\circ}, e = 0$
3. Le résultat est de 0,2968 m/s. Un spectrographe doit donc résoudre un décalage Doppler d'une partie par milliard — raison pour laquelle le domaine a dépendu de la stabilité des instruments plutôt que de la taille des télescopes.
  
  $K = 0.2968 m/s ⟹ peak-to-peak = 0.5936 m/s$
4. L’orbite de l’étoile est plus petite encore. La déterminer permet de retrouver la même vitesse par une seconde méthode. Avec la troisième loi de Kepler, une période de dix jours autour d’une masse solaire correspond à une orbite planétaire de 1,359 × 10¹⁰ m. Le cercle décrit par l’étoile est réduit dans le rapport des masses, soit une part sur 333 000 : son rayon n’est que de 40,8 km, une distance que vous pourriez parcourir en voiture, alors même que l’astre mesure 1,4 million de kilomètres de diamètre. Boucler ce tour en dix jours donne 0,2968 m/s, la demi-amplitude obtenue sans recourir à la formule composée.
  
  $a_{⋆} = a \frac{m _{p}}{M _{⋆} + m _{p}} = 40.814 km$
5. Les relations d'échelle expliquent l'ordre des découvertes. K ne diminue que comme la racine cubique de la période, de sorte que la même planète à un an donne encore 0,0895 m/s — mais K augmente en proportion directe de la masse, si bien qu'un Jupiter à trois jours donne 141 m/s.
  
  $K \propto P^{- 1/3} : P = 365 d \Rightarrow 0.0895 m/s; 318 M_{\oplus} at 3 d \Rightarrow 141 m/s$
Réponse

L'outil affiche K = 0,2968 m/s, une amplitude crête à crête de 0,5936 et un rayon d'orbite stellaire de 40,814 km. Ce rapport résume toute l'histoire du domaine : un Jupiter chaud produit environ 475 fois le signal de cette Terre, et à peu près 1600 fois celui d'une Terre à un an. C'est pourquoi les premières exoplanètes découvertes étaient des planètes massives sur des orbites courtes — non pas parce qu'elles sont fréquentes, mais parce qu'elles étaient les seules que les instruments de 1995 pouvaient voir. Réglez la période sur 365 jours et observez K chuter aux 0,0895 m/s qu'une Terre réelle produit.

$K \propto \frac{m _{p}}{M _{⋆}^{2/3}} P^{- 1/3} : Earth moves the Sun 0.3 m/s$

Références (1)

The measurement this tool models, and the m·sin i limit it carries: M. Mayor and D. Queloz, "A Jupiter-mass companion to a solar-type star." Nature 378, 355–359, 1995 — 51 Pegasi b, found by exactly this wobble.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-05

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Exemples de problèmes

Analogue Terre-Soleil - Une Terre parcourant son orbite en un an fait osciller le Soleil à 0,0894 m/s, soit moins de 10 cm/s, juste à la limite des performances d’ESPRESSO. C’est la détection la plus difficile de cette page.
Jupiter chaud - Une Jupiter sur une orbite de trois jours produit 140,7 m/s, environ 1 570 fois le signal Terre-Soleil. Les périodes courtes et les planètes massives expliquent pourquoi les premières exoplanètes découvertes étaient des Jupiters chaudes.
Mini-Neptune - 17 masses terrestres sur une orbite de 12 jours autour d’une étoile de 0,8 masse solaire donnent 5,5 m/s. C’est soixante fois le signal Terre-Soleil et vingt-cinq fois moins que pour la Jupiter chaude : une détection réaliste au cours d’un relevé.
Déduire à partir du K mesuré - Le mode inverse donne m sin i, jamais m. Inclinez la même orbite à 30° : la masse réelle de la planète est deux fois celle indiquée ici ; à 5°, elle est 11,5 fois plus grande.