Calculateur de décalage vers le rouge cosmologique

Étirez un photon à travers l'univers en expansion. Fixez z, choisissez une longueur d'onde émise et observez le déplacement du spectre.

Exemple résolu — Calculateur de décalage vers le rouge cosmologique

Définition du décalage vers le rouge	0.1000
Longueur d'onde observée	721.6 nm
Vitesse de récession	28487 km/s (9.50% of c)
Facteur d'échelle a	0.9091

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Trois horizons distincts, et un seul où v = c 🖖

Le décalage vers le rouge cosmologique est souvent présenté comme un effet Doppler, mais il est plus subtil. Une galaxie ne se déplace pas dans l'espace : l'espace qui nous sépare s'étire, et la longueur d'onde du photon croît proportionnellement au facteur d'échelle a(t). À faible z la distinction est académique, les deux images donnant v ≈ H₀d. Au-delà de z ≈ 1,5 la vitesse de récession dépasse c, ce qui est impossible pour un mouvement dans l'espace et banal pour l'espace lui-même : la limite de vitesse de la relativité régit le déplacement dans l'espace-temps, pas son expansion. Trois distances différentes sont ici confondues. La récession atteint c au rayon de Hubble, c/H₀ ≈ 14,5 milliards d'années-lumière — et nous observons couramment des galaxies bien au-delà, la preuve la plus simple qu'une récession superluminique ne cache rien. Ce que nous ne pouvons pas dépasser du regard, c'est l'horizon des particules, à environ 46 milliards d'années-lumière, la distance que la lumière a eu le temps de parcourir. Et ce qui est définitivement hors d'atteinte est fixé par une troisième surface, l'horizon des événements, près de 16 milliards d'années-lumière : la lumière qui quitte aujourd'hui une galaxie située au-delà n'arrivera jamais.

Ce que mesure vraiment le décalage vers le rouge 🖖

La lumière d'une galaxie lointaine nous parvient avec ses longueurs d'onde étirées vers le rouge. Divisez la longueur d'onde observée par celle émise, retranchez 1 et vous obtenez z. Plus z est grand, plus la lumière a voyagé longtemps : z est donc à la fois l'horloge et la règle du cosmos. À z = 1, la lumière a quitté sa galaxie il y a environ 8 milliards d'années, quand l'univers faisait la moitié de sa taille actuelle (facteur d'échelle a = 1/(1+z) = 0.5).

Le décalage vers le rouge étire aussi le temps 🖖

L'expansion étire chaque longueur d'onde d'un facteur (1+z), mais elle étire la durée des événements du même facteur. Une supernova de type Ia à z = 1 est vue croître et décliner sur deux fois plus de jours qu'une supernova identique proche. C'est exactement cet étirement qui a été mesuré, écartant la vieille idée de la 'lumière fatiguée' : seule une véritable expansion ralentit l'horloge en plus de rougir la lumière.

Problème entièrement résolu

Vitesse de récession lorsque la raie Hα de l'hydrogène arrive à 721,6 nm 5 étapes
La raie Hα de l'hydrogène quitte une galaxie à 656 nm et arrive à 721,6 nm. Calculez la vitesse de récession. La formule évidente est fausse d'environ 1500 km/s ici, et à un décalage vers le rouge plus élevé, elle échoue complètement.
1. Le décalage vers le rouge est défini comme l'étirement relatif de la longueur d'onde, il se lit donc directement à partir des deux nombres. z = 0,1 : la lumière est arrivée 10 % plus rouge qu'elle n'est partie.
  
  $z = \frac{λ _{obs} - λ _{0}}{λ _{0}} = \frac{721.6 - 656}{656} = 0.1000$
2. La formule vers laquelle presque tout le monde se tourne est v = cz, héritée de l'effet Doppler aux faibles vitesses. Elle donne 29 979 km/s, un dixième de la vitesse de la lumière.
  
  $v_{naive} = cz = 0.1 \times 299792 = 29979 km/s$
3. Mais un dixième de la vitesse de la lumière n'est pas une faible vitesse. La relation Doppler relativiste relie 1 + z à la racine carrée de (1 + β)/(1 − β) ; isoler β nécessite une ligne d'algèbre et donne 0,09502, et non 0,1.
  
  $1 + z = \frac{1 + β}{1 - β} ⟹ β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1} = \frac{0.21}{2.21} = 0.09502$
4. Cela fait 28 487 km/s. La valeur naïve la surestime de 5,2 % — soit environ 1500 km/s, ce qui est supérieur aux différences de vitesse dont les astronomes débattent couramment.
  
  $v = 0.09502 c = 28487 km/s (\frac{29 979}{28 487} = 1.052)$
5. Poussez z jusqu'à 1 et la divergence cesse d'être une simple correction. v = cz donne exactement c ; la formule relativiste en donne les trois cinquièmes.
  
  $a = \frac{1}{1 + z} = 0.9091; z = 1 : v_{naive} = c, β = \frac{3}{5} = 0.600$
Réponse

L'outil affiche 721,6 nm, 28 487 km/s et 9,50 % de c, avec un facteur d'échelle de 0,9091 — l'univers faisait 91 % de sa taille actuelle lorsque cette lumière a démarré son trajet. La conclusion à retenir est l'étape 5 : à z = 1, le raccourci donne exactement la vitesse de la lumière, alors que la réponse est 0,600c. Cliquez sur le préréglage champ profond et vérifiez-le. Les galaxies sont répertoriées à z = 7 et au-delà, où cz vous donnerait sept fois la vitesse de la lumière — ce qui n'est pas un paradoxe sur la relativité, mais une formule utilisée très loin en dehors de son domaine de validité.

$β = \frac{( 1 + z ) ^{2} - 1}{( 1 + z ) ^{2} + 1} : z = 0.1 \Rightarrow 0.0950 c, z = 1 \Rightarrow 0.600 c (not c)$

Références (2)

The distinction between the three horizons the first block separates: T. M. Davis and C. H. Lineweaver, "Expanding Confusion: Common Misconceptions of Cosmological Horizons and the Superluminal Expansion of the Universe." Publications of the Astronomical Society of Australia 21(1), 97–109, 2004.
The H₀ value the Hubble radius is computed from: N. Aghanim et al. (Planck Collaboration), "Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters." Astronomy & Astrophysics 641, A6, 2020.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-06

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Exemples de problèmes

Galaxie locale (z=0,01) - Hα part à 656 nm et arrive à 662,6. La mesure tient tout entière dans ces quelques nanomètres. Ils suffisent au panneau pour afficher 2 983 km/s, une distance comobile de 42,7 Mpc, et une lumière partie il y a 0,139 Gyr. L'Univers mesurait alors 0,9901 de sa taille actuelle. Un étirement d'un pour cent représente déjà cent quarante millions d'années de voyage.
Champ profond de Hubble (z=1) - Le cas z = 1 est d'une grande clarté. La raie de 656 nm arrive à 1312,0, exactement doublée. Le facteur d'échelle affiche 0,5000 : l'Univers mesurait la moitié de sa taille actuelle. La lumière voyage depuis 7,655 Gyr. C'est plus de la moitié de l'âge de l'Univers. Quant à la vitesse de récession, elle s'établit à 60,00 % de c, là où un calcul littéral de v = cz aurait indiqué 100 %.
Quasar (z=3) - z=2.5 : quasar lointain, temps de rétrospection ~11 Gyr
Fond diffus cosmologique (z=1089) - z=1089 : fond diffus cosmologique, T~3000 K à cette époque