Calculateur de puissance solaire de Stefan-Boltzmann

Entrez le rayon et la température de l'étoile pour calculer la puissance émise à l'aide de la loi de Stefan-Boltzmann.

Exemple résolu — Calculateur de puissance solaire de Stefan-Boltzmann

Surface (4πR²)	4πR²≈6.082×10¹⁸ m²
Rayon relatif au carré	(1)²≈1
Émissivité	1

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Bételgeuse est plus froide que le Soleil et 79 000× plus brillante 🖖

Par mètre carré, la température domine — T⁴ contre R² — et pourtant, dans ces préréglages, c'est le rayon qui gagne, car les vraies étoiles ne font pas varier les deux grandeurs de la même façon. Comparez les deux lignes de facteurs de l'outil : sur ces quatre préréglages, le rayon couvre un facteur 3820 (0,2 à 764 R☉) tandis que la température ne couvre qu'un facteur 3,1 (3200 à 9940 K). Bételgeuse est plus froide que le Soleil : sa ligne (T/T☉)⁴ affiche donc 0,135 — une pénalité pure — et l'étoile atteint quand même 78 914 L☉, parce que sa ligne (R/R☉)² affiche 5,84 × 10⁵. Sirius, presque deux fois plus chaude que le Soleil, ne dépasse pas 25,7. Un exposant plus raide perd quand l'autre variable dispose de quatre ordres de grandeur.

À surface égale, la température est le levier le plus puissant 🖖

Cet outil ne comporte que deux paramètres : la taille de l’étoile et la température de sa surface. Leur influence est pourtant très différente. Le rayon intervient sous la forme R², tandis que la température est élevée à la puissance T⁴. Par mètre carré, la chaleur est donc le facteur dominant. Si vous doublez la température d’une étoile sans modifier sa taille, chaque mètre carré rayonne 2⁴ = 16 fois plus de puissance. Cette puissance quatrième régit le flux. Pour savoir si elle détermine aussi la luminosité de l’étoile entière, il faut tenir compte de son rayon.

Stefan a mesuré la chaleur du Soleil en 1879 🖖

Josef Stefan ne s'est pas contenté d'énoncer que le flux croît comme T⁴ : en 1879, il a inversé la loi. En faisant passer la lumière solaire mesurée à travers σT⁴, il a estimé la surface du Soleil à environ 5430 °C (près de 5700 K), le premier chiffre crédible alors que les estimations rivales allaient de 1500° à des millions de degrés. Ce calculateur effectue la même inversion : le flux que vous obtenez est exactement la grandeur que Stefan a mesurée pour prendre la température du Soleil.

Problème entièrement résolu

La puissance totale du Soleil d'après sa taille et sa température de surface 5 étapes
Calculez la puissance totale du Soleil uniquement à partir de sa taille et de sa température de surface, puis utilisez ce seul nombre pour prédire quelle devrait être la température de la Terre. Il s'agit de l'état Soleil de l'outil : R = 1 R_☉ = 6,957 × 10⁸ m, T = 5772 K, ε = 1.
1. La loi de Stefan-Boltzmann donne la puissance par mètre carré, le nombre de mètres carrés doit donc venir en premier. Une étoile rayonne depuis sa photosphère, et la surface d'une sphère ne nécessite que le rayon.
  
  $A = 4 π R^{2} = 4 π (6.957 \times 1 0^{8})^{2} = 6.082 \times 1 0^{18} m^{2}$
2. Déterminons maintenant le flux issu d'un mètre carré. La puissance quatrième est ce qui rend cette loi si exigeante : une étoile seulement 20 % plus chaude que le Soleil rayonne 1,20⁴ = 2,07 fois plus fort depuis chaque parcelle de sa surface.
  
  $F = ε σ T^{4} = (5.6704 \times 1 0^{- 8}) (5772)^{4} = (5.6704 \times 1 0^{- 8}) (1.110 \times 1 0^{15}) = 6.294 \times 1 0^{7} W/ m^{2}$
3. La luminosité est le produit du flux par la surface et rien d'autre, car chaque photon qui quitte l'étoile traverse cette surface exactement une fois. Le résultat est la définition même d'une luminosité solaire, ce qui explique pourquoi la ligne de comparaison de l'outil indique 1.
  
  $L = A F = (6.082 \times 1 0^{18}) (6.294 \times 1 0^{7}) = 3.828 \times 1 0^{26} W$
4. Éloignons-nous de l'étoile. La même puissance se répartit désormais sur une sphère dont le rayon est la distance de la Terre, de sorte que seule la surface au dénominateur change. Les satellites situés au-dessus de l'atmosphère mesurent 1361 W/m², et cette concordance valide les trois étapes ci-dessus.
  
  $S = \frac{L}{4 π d ^{2}} = \frac{3.828 \times 1 0 ^{26}}{4 π ( 1.496 \times 1 0 ^{11} ) ^{2}} = 1361 W/ m^{2}$
5. La Terre intercepte la lumière du Soleil sur un disque de surface πR_⊕² mais rayonne depuis la totalité de sa sphère, 4πR_⊕². Le rayon de la planète se simplifie, pas le facteur 4, et les nuages ainsi que la glace réfléchissent directement environ 30 % vers l'extérieur avant que quoi que ce soit ne soit absorbé.
  
  $π R_{\oplus}^{2} (1 - a) S = 4 π R_{\oplus}^{2} σ T_{eq}^{4} ⟹ T_{eq} = 4 \frac{( 1 - 0.30 ) ( 1361 )}{4 σ} = 254.6 K$
Réponse

L'outil affiche 6,082 × 10¹⁸ m², 6,294 × 10⁷ W/m² et 3,828 × 10²⁶ W. Tout ce qui suit est la même loi appliquée deux fois de plus, et cela aboutit à 254,6 K. La température moyenne réelle à la surface de la Terre est de 288 K, la prédiction est donc erronée de 33 K, et elle l'est dans une direction précise : toujours trop froide. Ce décalage est l'effet de serre, et c'est la seule grandeur de la chaîne que σT⁴ ne peut pas fournir, car la loi décrit ce qu'une surface rayonne et ne dit rien sur ce que l'air au-dessus fait de ce rayonnement pendant son trajet vers l'extérieur. Qu'un calcul aussi sommaire tombe à moins de 12 % pour une planète explique pourquoi c'est la première chose que l'on calcule pour une exoplanète.

$T_{eq} = 4 \frac{( 1 - a ) S}{4 σ} = 254.6 K, T_{\oplus} = 288 K, Δ T = 33 K$

Références (3)

Betelgeuse’s radius and temperature, the preset behind the first block: M. Joyce et al., "Standing on the Shoulders of Giants: New Mass and Distance Estimates for Betelgeuse through Combined Evolutionary, Asteroseismic, and Hydrodynamic Simulations with MESA." The Astrophysical Journal 902(1), 63, 2020.
The solar radius, luminosity and temperature the tool normalises to: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 41, 2016.
The value of σ: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018." Reviews of Modern Physics 93(2), 025010, 2021.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

Soleil - Avec R = 1 R☉ et T = 5772 K, les deux lignes de facteurs indiquent exactement 1, et la luminosité vaut 1 L☉. Toutes les autres valeurs sont rapportées à celles-ci.
Sirius A - À 9940 K, sa température est presque deux fois celle du Soleil, ce qui représente à elle seule un facteur de 8,80. En y ajoutant le carré de son rayon, égal à 1,711 R☉, elle atteint 25,7 L☉.
Bételgeuse - 764 R☉ à 3500 K : le facteur de température tombe à 0,135, tandis que celui du rayon atteint 5,84 × 10⁵. La luminosité s’élève malgré tout à 78 914 L☉.
Naine rouge - 0,2 R☉ à 3200 K : les deux facteurs sont inférieurs à 1 et leur produit ramène la luminosité à 0,004 L☉. C’est le seul préréglage où aucun des deux leviers n’agit à la hausse.