Estimateur d'expansion de supernova

Estimez la taille atteinte par un rémanent de supernova et si un télescope pourrait le distinguer d'une source ponctuelle.

Exemple résolu — Estimateur d'expansion de supernova

Convertir la vitesse	3.00 Mm/s
Convertir l'âge	31.6 Gs
Rayon d'expansion libre	10.0069 ly
Convertir la distance	6.15×10¹⁹ m
Projeter sur le ciel	635.1 arcsec
Rayon estimé du rémanent	10.0069 ly
Diamètre estimé du rémanent	20.0138 ly
Diamètre angulaire estimé	635.1 arcsec

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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R = vt ne décrit un rémanent que pendant quelques siècles 🖖

La relation distance = vitesse × temps est exacte tant que les éjecta poursuivent leur course dans un quasi-vide. Cette phase d’expansion libre dure peu : quelques centaines d’années tout au plus, jusqu’à ce que l’enveloppe ait balayé davantage de gaz interstellaire qu’elle n’en contenait au départ. Le rémanent entre alors dans la phase de Sedov–Taylor, où son rayon croît comme t à la puissance 2/5, et non plus comme t. L’effet est très concret : doubler l’âge ne multiplie désormais le rayon que par 1,32, au lieu de 2. Plus tard, lorsque le gaz s’est suffisamment refroidi pour dissiper son énergie par rayonnement, l’expansion ralentit encore, avant que le rémanent ne se fonde entièrement dans le milieu interstellaire. Extrapoler linéairement un rayon à partir de la vitesse actuelle revient donc à projeter dans le passé un instantané, malgré les changements de régime physique déjà survenus.

Pourquoi la distance rétrécit un rémanent géant 🖖

Au fond, cet outil utilise la formule la plus simple de la physique : distance égale vitesse multipliée par temps, donc le rayon du rémanent vaut R = vt. L'astuce est la dernière étape — la même coquille paraît minuscule ou immense selon son éloignement. Comme la taille angulaire vaut environ θ ≈ 2R/d, éloigner le rémanent deux fois plus divise par deux l'angle que le télescope doit résoudre.

La nébuleuse du Crabe s'étend plus vite que ne l'autorise 1054 🖖

Si l'on remonte le mouvement de la nébuleuse du Crabe aux vitesses actuelles, les filaments convergent vers l'an 1140, environ 90 ans après la supernova que la Chine a consignée en 1054. Le rémanent accélère donc au lieu de ralentir : le vent du pulsar central continue d'injecter de l'énergie dans la coquille. Un R = vt constant daterait ainsi l'explosion trop tard, cas rare où la réalité devance le modèle simple.

Problème entièrement résolu

Le rayon de l'enveloppe à 3 000 km/s et à 6 500 années-lumière 6 étapes
3000 km/s, 1000 ans, distante de 6500 années-lumière. Trouvez le rayon de l'enveloppe et sa taille apparente — puis vérifiez si « l'expansion libre » est encore autorisée.
1. Une année-lumière est définie comme la distance parcourue par la lumière en un an, donc diviser une vitesse par c et un temps par une année annule toutes les unités d'un coup. Ni mètres, ni secondes.
  
  $R = v t; 1 ly = c \times 1 yr ⟹ \frac{R}{ly} = \frac{v}{c} \times \frac{t}{yr}$
2. Calculez. 3000 km/s représente presque exactement 1 % de la vitesse de la lumière, ce qui fait que le rayon est presque exactement 1 % de l'âge en années-lumière — une coïncidence des nombres choisis, non de la physique.
  
  $\frac{v}{c} = \frac{3000}{299 792.458} = 0.0100069 = 1.0007% ⟹ R = 0.0100069 \times 1000 = 10.0069 ly$
3. Le diamètre est trivial ; l'âge en secondes n'est utile pour rien de ce qui précède, et n'est affiché que parce que le panneau le rapporte.
  
  $D = 2 R = 20.0138 ly; t = 1000 yr = 3.156 \times 1 0^{10} s = 31.6 Gs$
4. La taille angulaire est le diamètre divisé par la distance. L'approximation des petits angles est sans danger ici car le rapport est de 0,003, et le panneau le dit explicitement.
  
  $θ = 2 arctan \frac{R}{d} \approx \frac{2 R}{d} = \frac{20.0138}{6500} = 3.0791 \times 1 0^{- 3} rad$
5. Convertissez en secondes d'arc en multipliant les radians par 206 265 — le nombre de secondes d'arc dans un radian, et la même constante qui définit le parsec.
  
  $3.0791 \times 1 0^{- 3} \times 206265 = 635.1 arcsec = 10.6 arcmin$
6. Testez maintenant l'hypothèse propre au modèle. Balayez le volume de l'enveloppe, remplissez-le d'un atome d'hydrogène par centimètre cube, et pesez ce que l'explosion a dû pousser.
  
  $M_{swept} = \frac{4}{3} π R^{3} ρ_{ISM}, n = 1 c m^{- 3} : \frac{4}{3} π (9.467 \times 1 0^{16})^{3} \times 1.67 \times 1 0^{- 21} = 5.9 \times 1 0^{30} kg = 3.0 M_{⊙}$
Réponse

10,0069 ly de rayon, 635 arcsec sur le ciel — et non, l'expansion libre s'est terminée il y a longtemps. À ce rayon, l'enveloppe a balayé environ 3 masses solaires de gaz interstellaire, ce qui est plus que ce qu'une Type Ia n'éjecte au départ. Une fois que la masse balayée dépasse les éjectas, l'enveloppe est freinée par ce qu'elle collecte et le modèle à vitesse constante est terminé : le rémanent entre dans la phase de Sedov–Taylor, où le rayon croît en t^(2/5) plutôt qu'en t. L'outil indique au sommet qu'il suppose une vitesse constante, et il a raison de le faire ; ce qu'il ne dit pas, c'est que cette hypothèse expire au bout de quelques centaines d'années, ce qui, pour un rémanent âgé de 1000 ans, représente la majeure partie de sa vie. La jolie partie de l'arithmétique est l'étape 1, où une année-lumière effectue toute la conversion d'unités gratuitement.

$\frac{R}{ly} = \frac{v}{c} \cdot \frac{t}{yr} = 10.0069, θ = \frac{2 R}{d} = 635. 1^{''}$

Références (1)

The Crab filaments converging on 1140 rather than 1054: V. Trimble, "Motions and Structure of the Filamentary Envelope of the Crab Nebula." The Astronomical Journal 73, 535, 1968 — proper motions extrapolate back to AD 1140 ± 10, about 90 years after the recorded supernova.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-05-31

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Exemples de problèmes

Rémanent de type Crabe - À 1 500 km/s pendant 971 ans, le rayon atteint 4,86 années-lumière, soit 5,14 minutes d’arc à une distance de 6 500 al. L’âge correspond à celui qu’indique le témoignage de 1 054.
Rémanent de type Tycho - Plus rapide et plus ancien que le Crabe, ce rémanent présente un rayon de 7,56 années-lumière et se trouve aussi plus loin, à 2 500 pc. Il paraît pourtant plus grand : 6,37 minutes d’arc, contre 5,14 pour le Crabe.
De type SN 1987A - Un rayon de 0,39 année-lumière qui sous-tend moins d’une seconde d’arc, car 50 kpc représentent une distance considérable. Ce rémanent est douze fois plus petit que le Crabe en taille réelle et trois cents fois plus petit dans le ciel.
Petit cas d'école proche - Un cas volontairement absurde : à 1 km/s pendant un dixième d’année, l’enveloppe mesure environ dix secondes-lumière de diamètre et se trouve à un centième d’année-lumière. Elle sous-tend tout de même 13,8 secondes d’arc, soit quatorze fois SN 1987A.