Calculateur de période synodique

Saisissez deux périodes orbitales pour calculer le rythme du cycle de battement des configurations angulaires répétées.

Exemple résolu — Calculateur de période synodique

Aperçu le long du cycle	0%

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Une période synodique peut dépasser les deux orbites 🖖

Cela paraît faux la première fois : deux corps qui bouclent chacun un tour en moins de deux ans peuvent mettre plus longtemps que cela à se réaligner. La Terre met 1 an et Mars 1,881, et 1/S = |1/1 − 1/1,881| donne S = 2,135 ans — environ 25,6 mois, plus que l’une comme l’autre orbite. Plus les deux périodes sont proches, plus c’est marqué, car le corps rapide ne rattrape le lent que très lentement ; quand les périodes tendent vers l’égalité, S file vers l’infini. Ce n’est pas une curiosité. Ces 25,6 mois expliquent pourquoi les missions vers Mars partent par fenêtres groupées espacées d’environ deux ans, et non quand une fusée est prête, et pourquoi une fenêtre manquée coûte deux ans.

Deux coureurs sur une piste 🖖

Imaginez deux coureurs tournant sur une piste à des vitesses différentes. Le plus rapide prend sans cesse de l'avance, et la période synodique est simplement le temps qu'il lui faut pour prendre un tour au plus lent et se retrouver aligné avec lui. Voilà pourquoi, bien que la Terre orbite en 365 jours et Mars en 687, les deux n'atteignent l'opposition qu'environ tous les 780 jours — et pourquoi les missions habitées vers Mars ne peuvent partir que tous les ~26 mois.

Le pentagramme de Vénus 🖖

La Terre et Vénus sont proches d'un rythme orbital 8:13 : huit années terrestres équivalent presque exactement à treize années vénusiennes, soit aussi cinq périodes synodiques Terre–Vénus (5 × 584 ≈ 2920 jours ≈ 8 ans). À cause de cette quasi-résonance, Vénus revient presque au même endroit à chaque conjonction inférieure, et si l'on trace ces points de rencontre sur huit ans, on dessine une rosace à cinq pétales étonnamment régulière — le fameux « pentagramme de Vénus ».

Problème entièrement résolu

Cycle d'alignement de Jupiter et Saturne 5 étapes
L'année de Jupiter compte 4332,59 jours et celle de Saturne 10759,22 jours. Déterminez la fréquence à laquelle les deux planètes s'alignent, l'endroit du ciel où se produit chaque rencontre, puis un cycle beaucoup plus lent qui se cache dans ces deux mêmes nombres. Il s'agit de l'état Jupiter-Saturne, avec la cible d'alignement réglée sur la même longitude relative.
1. Les périodes ne se soustraient pas ; les fréquences si. Convertir chaque période en tours par jour est ce qui transforme la suite en arithmétique plutôt qu'en géométrie.
  
  $n_{1} = \frac{1}{4332.59} = 2.3081 \times 1 0^{- 4} d^{- 1}, n_{2} = \frac{1}{10759.22} = 9.2944 \times 1 0^{- 5} d^{- 1}$
2. Deux coureurs sur une piste circulaire se croisent à nouveau lorsque le plus rapide a gagné exactement un tour complet, de sorte que la fréquence des rencontres est la différence des fréquences de tour. Soustraire deux petits nombres donne un nombre encore plus petit, c'est ainsi qu'une planète de 12 ans et une planète de 29 ans se retrouvent sur un rythme de 20 ans — plus lent que chacune d'elles.
  
  $ν = n_{1} - n_{2} = 1.3787 \times 1 0^{- 4} d^{- 1} ⟹ S = \frac{1}{ν} = \frac{P _{1} P _{2}}{P _{2} - P _{1}} = 7253.4577 d = 19.8589 yr$
3. Une année de Jupiter ne suffit pas à terminer l'alignement, et le retard est important. En 4332,59 jours, Saturne parcourt 40 % de sa propre orbite, le point d'alignement a donc glissé de plus d'un demi-tour et Jupiter doit le poursuivre sur deux tiers de tour supplémentaires.
  
  $θ_{P_{1}} = 36 0^{\circ} (1 - \frac{P _{1}}{P _{2}}) = 36 0^{\circ} (1 - 0.40269) = 215.032 9^{\circ}$
4. Demandons-nous maintenant où la rencontre se produit, et pas seulement quand. Jupiter accomplit 1,674 de ses propres orbites par cycle, et c'est la partie fractionnaire qui fait déplacer la conjonction dans le ciel — chacune se situe 117,3° derrière la précédente. Trois d'entre elles forment presque exactement un triangle fermé.
  
  $\frac{S}{P _{1}} = \frac{7253.4577}{4332.59} = 1.6741 ⟹ 36 0^{\circ} \times 1.6741 = 602.7 0^{\circ} \equiv + 242.7 0^{\circ} (- 117.3 0^{\circ}), 3 \times 242.7 0^{\circ} = 728.1 0^{\circ} \equiv 8.1 0^{\circ}$
5. Le rapport des périodes donne l'indice du second cycle. Un rapport proche d'une fraction simple signifie qu'une combinaison à coefficients entiers des deux fréquences est presque nulle, et 5/2 est la fraction dont cette paire est la plus proche. Deux tours de Jupiter contre cinq de Saturne laissent environ un millième de degré par jour.
  
  $\frac{P _{2}}{P _{1}} = 2.4833 \approx \frac{5}{2} : 2 \dot{λ}_{1} - 5 \dot{λ}_{2} = \frac{720}{4332.59} - \frac{1800}{10759.22} = - 0.001116 0^{\circ} d^{- 1} ⟹ \frac{360}{0.0011160} = 322575 d = 883 yr$
Réponse

L'outil affiche une période synodique de 7253,4577 jours, 19,8589 ans, un décalage de 215,0329° par orbite de Jupiter et un rapport de périodes de 2,4833. Ce qui suit découle de Kepler : les grandes conjonctions successives se déplacent de 117,3° le long du zodiaque, trois d'entre elles reviennent à moins de 8,1° de leur point de départ après 59,6 ans, et ce triangle à la rotation lente nécessite 221 ans pour parcourir un seul signe. Le 2,4833 cache bien plus que le battement de 20 ans. Parce qu'il se situe à 0,7 % de 5/2, la combinaison 2λ_J − 5λ_S progresse de 0,0011160° par jour, soit un cycle de 883 ans — la Grande Inégalité qui donnait l'impression que Jupiter s'accélérait et Saturne ralentissait au fil des observations historiques, jusqu'à ce que Laplace montre en 1785 que les deux finiraient par s'inverser. Un calculateur qui ne forme jamais que |n₁ − n₂| trouve le cycle de 20 ans mais reste aveugle à celui de 883 ans : une quasi-résonance place un battement à chaque combinaison à coefficients entiers des deux fréquences, et pas seulement à leur différence.

$S = \frac{P _{1} P _{2}}{∣ P _{2} - P _{1} ∣} = 19.86 yr \frac{36 0 ^{\circ}}{∣2 λ ˙ _{1} - 5 λ ˙ _{2} ∣} = 883 yr$

Références (1)

The commensurability behind insight block 3: J. Kepler, Harmonices Mundi, Book V. Linz, 1619 — the ratios between planetary periods, including the Venus–Earth near-commensurability the pentagram comes from.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

Terre-Mars - Les oppositions Terre-Mars se répètent environ tous les 780 jours, conformément au cycle synodique classique.
Terre-Vénus - Le cycle synodique Terre-Vénus est d'environ 584 jours, à l'origine de l'alternance périodique entre étoile du matin et étoile du soir.
Jupiter-Saturne - Le cycle de grande conjonction Jupiter-Saturne est d'environ 19.9 ans.
Phasage LEO-GTO - Les périodes d'orbites artificielles produisent aussi des cycles de battement utiles pour l'analyse de revisite et de phasage.