Équation de vis-viva

L'équation de vis-viva exprime la conservation de l'énergie sous forme orbitale. En tout point, l'énergie mécanique spécifique totale vaut ε = ½v² − GM/r = −GM/(2a) — une constante fixée uniquement par le demi-grand axe a. Deux orbites de même a mais d'excentricités différentes ont la même énergie et la même période ; l'excentricité façonne la trajectoire sans modifier le budget énergétique. La vitesse est maximale au périapse (énergie potentielle minimale) et minimale à l'apoapse. La trajectoire de libération est le cas limite a → ∞, donnant v_esc = √(2GM/r) = √2 · v_c — exactement √2 fois la vitesse circulaire au même rayon.

L'équation de vis-viva affirme que la vitesse d'un objet en orbite ne dépend que de deux grandeurs : sa distance actuelle r au corps central et la taille globale de l'orbite, le demi-grand axe a. Reportez les deux dans v = √(GM(2/r − 1/a)) et vous obtenez la vitesse. La masse de l'objet lui-même n'apparaît jamais : un trombone et une station spatiale sur la même orbite se déplacent exactement à la même vitesse.

Vis viva est le latin pour 'force vive', le terme que Leibniz forgea dans les années 1680 pour la quantité mv² — l'ancêtre de l'énergie cinétique. Il déclencha une querelle de plusieurs décennies avec les partisans de Newton, qui tenaient la quantité de mouvement mv pour la vraie 'mesure du mouvement'. Les deux camps avaient en partie raison, et le v² qui subsiste dans cette équation est un écho direct de la force vive de Leibniz.