Composeur mathématique d'adresses Stargate

Cliquez sur les glyphes du pavé pour construire une adresse, puis appuyez sur Composer pour voir la porte verrouiller chaque chevron. Le panneau mathématique montre combien d'adresses ordonnées l'ensemble de 39 symboles peut produire.

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Leçon

La théorie — Composeur mathématique d'adresses Stargate

Une adresse de porte est une sélection ordonnée sans répétition — une permutation. L’ordre compte (les mêmes symboles composés dans une séquence différente constituent une adresse différente) et aucun symbole ne se répète, ce qui est exactement le cas compté par P(n, k) = n! / (n − k)!.

Ce que signifie chaque symbole

n: le nombre de symboles disponibles sur l’anneau : 39.
k: combien sont composés : 7.
P(n, k): le nombre de sélections ordonnées, 39! / 32! = 77,519,922,480.
destinations: le décompte plus restreint, 1,987,690,320 — les adresses qui mènent réellement quelque part, une fois l’un des sept symboles réservé.

D’où vient la formule

Comptons la composition directement. Le premier symbole offre 39 choix ; le deuxième en a 38, car aucun symbole ne se répète ; le troisième 37, et ainsi de suite pour sept choix.
En multipliant : 39 × 38 × 37 × 36 × 35 × 34 × 33. Écrit avec des factorielles, cela donne 39! / 32!, puisque la partie finale 32! est précisément la partie non utilisée — soit la formule affichée ci-dessus, = 77,519,922,480.
Fixons maintenant le dernier glyphe comme point d’origine, et seuls six restent libres parmi les 38 restants : P(38, 6) = 38 × 37 × 36 × 35 × 34 × 33 = 1,987,690,320. C’est le second nombre, et il est exactement égal au premier divisé par 39.

Comment lire ce que vous voyez

Deux décomptes côte à côte avec la formule entre les deux. L’aspect intéressant est leur rapport : le nombre de destinations est le total divisé par exactement 39, ce qui constitue la signature arithmétique de la réservation de l’un des sept emplacements.

Suppose: Qu’aucun symbole ne se répète et que l’ordre compte. Abandonnez la première condition et vous élèveriez plutôt 39 à la puissance sept ; abandonnez la seconde et vous compteriez des combinaisons, ce qui pour 7 parmi 39 est plus petit d’un facteur 7! = 5040.
Ne tient plus quand: Les grands nombres flattent une recherche. Près de deux milliards d’adresses évoquent une galaxie inépuisable, mais un décompte de permutations ne dit rien sur le nombre d’adresses valides — la plupart des séquences ne mèneraient nulle part, tout comme la plupart des chaînes de sept lettres ne forment pas de mots. Compter les possibilités est la moitié facile ; savoir lesquelles ont un sens est la moitié difficile, et aucune factorielle ne vous le dira.

Pourquoi des permutations et non des combinaisons ? 🖖

Une adresse Stargate n'est pas un ensemble de symboles, c'est une séquence — le chevron 1 se verrouille en premier, le chevron 2 en second, et ainsi de suite, donc composer les sept mêmes glyphes dans un ordre différent trace un chemin de rotation physique totalement différent et, selon la logique de la série, une destination différente. C'est exactement la distinction entre permutations et combinaisons : choisir quels 7 glyphes parmi 39 utiliser est un problème de combinaison, mais la composition elle-même est une permutation, et il existe 7! = 5 040 façons de réordonner un même ensemble de 7 symboles. Ce facteur de 5 040 explique pourquoi P(39, 7) écrase C(39, 7) — l'ordre n'est pas un détail technique ici, c'est tout le mécanisme sur lequel repose le réseau de portes fictif.

Le septième glyphe dit 'vous êtes ici' 🖖

Dans la logique de la série, seuls six glyphes choisissent la destination ; le septième est le point d'origine — un symbole fixe désignant la porte depuis laquelle on compose, comme l'adresse de l'expéditeur sur une enveloppe. D'où les deux nombres du panneau : le total d'adresses P(39, 7) et les variantes de destination P(38, 6), qui ignorent l'emplacement d'origine. Conséquence élégante : le total vaut exactement 39 fois le nombre de destinations, puisque n'importe lequel des 39 glyphes pourrait remplir ce marqueur d'origine.

Sept chevrons couvrent à peine la galaxie 🖖

Le réseau de portes s'étend sur la Voie lactée, qui compte environ 10¹¹ à 4×10¹¹ étoiles. Pourtant une adresse à 7 glyphes ne donne que P(39, 7) ≈ 7.75×10¹⁰ possibilités — moins que les étoiles de la galaxie, donc sept chevrons ne peuvent pas attribuer à chaque étoile sa propre adresse. Passez l'outil à 8 chevrons et le nombre bondit d'un facteur 32 pour atteindre environ 2.48×10¹², dépassant enfin le recensement stellaire. Ce chevron supplémentaire n'est pas décoratif : c'est lui qui rend l'espace d'adresses assez grand.

Problème entièrement résolu

Somme de contrôle d'un préréglage de 7 symboles pondérée par 17( i + 3) 8 étapes
Le préréglage 7 glyphes (stable) compose 3, 9, 17, 21, 28, 35, 1. Le panneau pondère le glyphe de l'emplacement i — en comptant à partir de zéro — par 17(i + 3), additionne et réduit modulo 97. Calculez la somme de contrôle à la main ; déterminez ensuite si la composition de deux de ces glyphes dans le mauvais ordre pourrait passer inaperçue.
1. Écrivez d'abord les poids, car tout ce qui suit n'est que de l'arithmétique reposant sur eux. Sept emplacements, sept poids, et ils augmentent par pas de 17 exactement — cette régularité constitue tout le moteur de la démonstration finale.
  
  $w_{i} = 17 (i + 3), i = 0, \dots, 6 : 51, 68, 85, 102, 119, 136, 153$
2. Multipliez le numéro de chaque glyphe par le poids de son emplacement et additionnez. Rien n'est encore modulo ; il s'agit d'une somme ordinaire, et le 17 pourrait être mis en facteur dans chaque terme si vous le préfériez.
  
  $i = 0 \sum 6 v_{i} w_{i} = 3 (51) + 9 (68) + 17 (85) + 21 (102) + 28 (119) + 35 (136) + 1 (153) = 12, 597$
3. Divisez maintenant par 97 et conservez le reste : 129 fois 97 entrent dans 12 597 et laissent un reste de 84. C'est ce qu'affiche la tuile Somme de contrôle (mod 97), et c'est la dernière valeur que cette démonstration emprunte à l'outil ; tout ce qui suit vient de vous.
  
  $12, 597 = 129 \times 97 + 84 ⟹ C = 12, 597 mod 97 = 84$
4. Voici la question à laquelle la tuile ne peut pas répondre. Intervertissez les glyphes des emplacements i et j : tous les autres termes de la somme restent inchangés, de sorte que le total ne varie que d'une seule quantité — les deux glyphes ont échangé leurs poids. En développant, la différence des poids se réduit à 17(i − j), car les poids forment une progression arithmétique de raison 17.
  
  $Δ = (v_{j} w_{i} + v_{i} w_{j}) - (v_{i} w_{i} + v_{j} w_{j}) = (v_{j} - v_{i}) (w_{i} - w_{j}) = 17 (i - j) (v_{j} - v_{i})$
5. Testez cette formule plutôt que de lui faire confiance. Les emplacements 0 et 1 contiennent 3 et 9, donc Δ = 17(0 − 1)(9 − 3) = −102, et −102 donne 92 mod 97 — ce qui prédit 84 + 92 = 176, c'est-à-dire 79. Demandez à l'outil les sept mêmes glyphes en intervertissant les deux premiers, ?address=9,3,17,21,28,35,1, et la tuile affiche 79.
  
  $i = 0, j = 1 : Δ = 17 (- 1) (9 - 3) = - 102 \equiv 92, C^{'} = 84 + 92 = 176 \equiv 79 (mod 97)$
6. Pour qu'une interversion passe inaperçue, Δ doit être non seulement faible, mais nul mod 97 — la somme de contrôle doit retomber sur 84. Ainsi, 97 doit diviser 17(i − j)(v_j − v_i). 97 est premier et ne divise pas 17, et un produit n'est multiple d'un nombre premier que si l'un de ses facteurs l'est déjà : 97 doit donc diviser l'écart d'emplacement ou l'écart de glyphe à lui seul.
  
  $Δ \equiv 0 (mod 97) ⟺ 97 ∣ 17 (i - j) (v_{j} - v_{i}), g cd (17, 97) = 1 \Rightarrow 97 ∣ (i - j) \lor 97 ∣ (v_{j} - v_{i})$
7. Ni l'un ni l'autre ne le peut. Deux emplacements distincts sont séparés de 8 au maximum, car il y a au plus neuf chevrons ; deux glyphes distincts choisis de 1 à 39 diffèrent de 38 au maximum. Les deux écarts sont non nuls et tous deux sont inférieurs à 97, donc Δ n'est jamais 0 mod 97. Aucune transposition de deux glyphes n'est invisible pour cette somme de contrôle — ni pour cette adresse, ni pour aucune adresse que vous pouvez composer, car neuf chevrons est précisément ce qui maintient l'écart d'emplacement sous 97. Fournissez à l'outil une adresse plus longue via l'URL et cette garantie est la première chose à disparaître.
  
  $1 \leq ∣ i - j ∣ \leq 8 < 97, 1 \leq ∣ v_{j} - v_{i} ∣ \leq 38 < 97 ⟹ Δ \neq \equiv 0 (mod 97)$
8. Détecter chaque transposition n'est pas équivalent à certifier l'adresse, et c'est là que la tuile survend discrètement son rôle. Sur les 5 039 autres ordonnancements de ces sept mêmes glyphes, 62 aboutissent également à 84 — là où 97 compartiments égaux en donneraient environ 52. Environ un mauvais ordre sur cent est lu comme correct. Elle rejette l'erreur de composition la plus fréquente, et rien de plus.
  
  $7! - 1 = 5, 039, # {C = 84} - 1 = 62, \frac{62}{5 , 039} = 1.23% \approx \frac{1}{97} = 1.03%$
Réponse

84 — et aucune interversion de deux glyphes ne peut jamais la laisser à 84. Cette garantie constitue toutefois une borne, et non une propriété intrinsèque des sommes de contrôle : elle ne vaut que tant que 97 reste supérieur à la fois au plus grand écart d'emplacement et à la plus grande différence de glyphes. Élargissez l'anneau à 98 glyphes et elle s'effondre aussitôt — 1, 98, 17, 21, 28, 35, 3 et 98, 1, 17, 21, 28, 35, 3 donnent tous deux une somme de contrôle de 35, car leur écart de 97 est annihilé par le modulo (calculé ici ; l'anneau de l'outil s'arrête à 39). C'est précisément pourquoi les chiffres de contrôle IBAN sont calculés mod 97 plutôt que mod 10 : choisissez un nombre premier plus grand que toute variation possible du champ, et chaque transposition se trouve obligatoirement détectée. L'outil calcule la somme de contrôle sans rien dire de ce qu'elle détecte, et la valeur de 62 sur 5 039 est la seconde chose qu'il ne calcule jamais — celle qui vous empêche de faire aveuglément confiance à la tuile.

$C = (i \sum 17 (i + 3) v_{i}) mod 97 = 84, Δ = 17 (i - j) (v_{j} - v_{i}) \neq \equiv 0 (mod 97)$

Références (1)

Ordered selections without repetition, which is what P(n, k) counts: I. Niven, "Permutations and Combinations," in Mathematics of Choice: How to Count Without Counting, 7–26. Mathematical Association of America.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-06-07

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Exemples de problèmes

7 glyphes (stable) - L'adresse standard à 7 symboles — 6 glyphes de destination plus votre point d'origine — constitue l'ossature du réseau des Stargates. Parmi un ensemble de 39 symboles, il existe 77,519,922,480 adresses ordonnées possibles : intervertissez deux glyphes et vous composez une planète totalement différente.
Terre → Abydos - La toute première adresse composée à l'écran : de la Terre à Abydos, le monde désertique du film de 1994 et du pilote de SG-1. Même structure à 7 glyphes que toute adresse standard — c'est l'ordre verrouillé chevron par chevron qui encode réellement la destination.
8 glyphes (longue portée) - Ajoutez un 8e glyphe pour une adresse longue portée et l'espace d'adresses explose à 2,480,637,519,360 séquences ordonnées possibles — 32× plus grand que le réseau standard à 7 symboles, puisque chaque chevron supplémentaire multiplie le nombre par un symbole disponible de plus.
Manuel (6 glyphes) - Six glyphes, sans point d'origine : P(39, 6) = 2 349 088 560 adresses ordonnées. Ajoutez le septième chevron et le total est multiplié par 33, non par 39. Le dernier symbole se choisit parmi ce que les six premiers ont laissé sur l'anneau. Cette réserve qui s'amenuise est précisément ce qu'exprime la factorielle décroissante que vous voyez dans le panneau ci-dessus.