Mixeur de signal des Terres désolées

Réglez trois amplitudes harmoniques et un bouton de bruit pour traquer un signal fantôme caché dans la statique des terres désolées.

Exemple résolu — Mixeur de signal des Terres désolées

RMS	0.73
Crête	1.26
Clarté	83%
Erreur	0.08
Bruit statique	18%
Fréquence de base	3x

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Toute onde en dents de scie est un empilement de sinusoïdes 🖖

Toute onde périodique, aussi irrégulière soit-elle, peut être construite en superposant des ondes sinusoïdales à des multiples entiers d'une fréquence de base — une fondamentale plus ses harmoniques. L'idée de Fourier fonctionne aussi à l'envers : un signal complexe, qu'il s'agisse d'une voix, d'une émission radio ou de la statique des terres désolées, peut être décomposé en ces mêmes composantes sinusoïdales. Le score de clarté ci-dessus est en réalité l'inverse de l'erreur de reconstruction entre votre mélange et l'onde fantôme enfouie — le même type de mathématiques qu'utilisent les filtres d'un vrai récepteur radio pour extraire le bruit d'un signal, ou qu'utilise un JPEG pour compresser une image en une poignée de fréquences dominantes.

Même hauteur, autre forme 🖖

Le curseur de fréquence de base fixe la hauteur — la cadence à laquelle toute l'onde se répète —, tandis que les trois curseurs d'amplitude ne font que la remodeler. Comme chaque harmonique est un multiple entier exact de la fondamentale, les empiler enrichit le caractère de l'onde sans changer sa cadence de répétition. C'est pourquoi une flûte et un violon jouant la même note sonnent nettement différemment tout en partageant une même hauteur : même fondamentale, autre recette d'harmoniques. Pour capter le signal fantôme, il faut trouver les deux — la hauteur et la recette.

La hauteur que votre oreille invente 🖖

Le signal fantôme s'appuie sur sa fondamentale à la fréquence 3, mais votre oreille n'en a pas vraiment besoin. Supprimez la fondamentale et ne laissez que les harmoniques supérieures : le cerveau entend toujours cette hauteur grave d'origine, une curiosité appelée fondamentale manquante. C'est pourquoi un minuscule haut-parleur de téléphone, incapable de déplacer assez d'air pour de vraies basses, vous les fait quand même entendre, en reconstituant la fondamentale à partir du seul espacement des harmoniques.

Problèmes entièrement résolus

Le RMS de 0,73 issu de y = 0,90·sin(3x) + 0,45·sin(6x) + 0,25·sin(9x) 5 étapes
L'équation en direct indique y = 0,90·sin(3x) + 0,45·sin(6x) + 0,25·sin(9x), et la case des statistiques affiche une valeur RMS de 0,73. Déduisez ce 0,73 à partir des seules amplitudes — et observez ce qui n'entre jamais dans le calcul.
1. RMS signifie ce que son nom indique : élever l'onde au carré, en calculer la moyenne sur un cycle entier, puis prendre la racine. Élever la somme au carré laisse un carré par harmonique et un produit croisé par paire, de sorte que toute la question est de savoir ce que font les produits croisés.
  
  $y_{rms} = \overline{y^{2}}, \overline{f} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f d x$
2. Ils ne font rien. sin(3x)·sin(6x) se réécrit comme la moitié de cos(3x) moins la moitié de cos(9x), et la moyenne d'un cycle entier de cosinus vaut 0 ; le même effondrement se produit pour chaque paire. Dans l'arithmétique propre à l'outil, l'annulation est exacte et non approximative, car il somme 180 échantillons sur une période et que 3, 6 et 9 divisent tous 180.
  
  $\overline{sin m x sin n x} = 0 (m \neq = n), \overline{sin^{2} n x} = \frac{1}{2}$
3. Les 3 carrés subsistent, et chacun d'eux a une moyenne de 0,5. La moyenne des carrés est donc la moitié de 0,81 + 0,2025 + 0,0625. Les puissances s'additionnent ; les amplitudes ne s'additionnent pas.
  
  $\overline{y^{2}} = \frac{1}{2} (A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + A_{3}^{2}) = \frac{1}{2} (0.81 + 0.2025 + 0.0625)$
4. La moitié de 1,075 est 0,5375, dont la racine est 0,7331 — le 0,73 indiqué dans l'encadré.
  
  $\overline{y^{2}} = 0.5375 ⟹ y_{rms} = 0.5375 = 0.7331 \to 0.73$
5. Examinez ce qui est entré dans le calcul : 3 amplitudes, et rien d'autre. Ni phase, ni fréquence. Le levier de fréquence fondamentale s'étend de 1x à 8x et aucune de ces positions ne fait varier la valeur RMS de 0,73. La valeur crête est une tout autre affaire : |y| ne peut jamais dépasser 0,90 + 0,45 + 0,25 = 1,60, mais la mesure dans laquelle elle s'en approche dépend entièrement du fait que les 3 crêtes tombent ensemble ; ainsi, le facteur de crête s'élève ici jusqu'à 2,18 là où une sinusoïde isolée reste bloquée à 1,414.
  
  $∣ y ∣ \leq A_{1} + A_{2} + A_{3} = 1.60, \frac{1.60}{0.7331} = 2.18 (2 = 1.414)$
Réponse

RMS 0,73, à partir de 3 positions de levier et de rien d'autre. Décomposez 1,075 terme par terme : le fondamental en détient 75,3 %, le deuxième harmonique 18,8 %, le troisième 5,8 % — ainsi, 24,7 % de ce que cet émetteur rayonne se situe au-dessus de la note dont il porte le nom. Ce rapport porte un nom standard, le taux de distorsion harmonique totale, √(A₂² + A₃²) / A₁ = 57,2 %, et aucun encadré du panneau ne l'affiche. Le panneau ne sépare pas non plus les 2 limites auxquelles ces leviers sont confrontés. La puissance moyenne suit la valeur RMS, dont l'étape 5 vient de montrer qu'elle est insensible à la phase. La réserve de niveau suit la valeur crête, qui n'y est pas du tout insensible : les 3 mêmes amplitudes plafonnent l'onde à 1,60, et la position exacte où elle se situe entre 0,73 et 1,60 est déterminée par la seule phase. L'affichage RMS répond à la question de la puissance et reste muet sur l'autre.

$THD = \frac{A _{2}^{2} + A _{3}^{2}}{A _{1}} = \frac{0.265}{0.90} = 57.2%$
La plus petite discordance que les 3 leviers d'amplitude peuvent atteindre 5 étapes
Voici Enfer statique : les leviers sont à 0,50, 0,60 et 0,40 avec la fréquence fondamentale à 5x, de sorte que l'onde transmise est y = 0,50·sin(5x) + 0,60·sin(10x) + 0,40·sin(15x). Le signal fantôme traqué est construit sur 3x, avec des harmoniques à 6x et 9x. Trouvez le plus petit écart que les 3 leviers d'amplitude peuvent atteindre tant que la fréquence reste là où elle est.
1. Appelons l'écart d = y − g et élevons-le au carré. Calculer la moyenne sur un cycle divise d² entre votre moyenne des carrés, celle du signal fantôme et un terme croisé. Seul le terme croisé peut être négatif, donc seul le terme croisé peut annuler quoi que ce soit.
  
  $d = y - g, \overline{d^{2}} = \overline{y^{2}} - 2 \overline{y g} + \overline{g^{2}}$
2. Ici, ce n'est pas possible. Chaque produit qu'il contient associe une harmonique de {5, 10, 15} à une harmonique de {3, 6, 9} ; ces ensembles n'ont aucun membre en commun ; et le produit de sinusoïdes à des fréquences entières différentes a une moyenne de 0 sur la période. Le terme croisé n'est pas petit. Il vaut 0.
  
  ${5, 10, 15} \cap {3, 6, 9} = \emptyset ⟹ \overline{y g} = 0$
3. Ce qui reste est la somme de 2 éléments non négatifs, et les leviers n'atteignent que le premier. Le vôtre est la moitié de 0,25 + 0,36 + 0,16, soit 0,385, et sa racine 0,6205 est le 0,62 que le panneau affiche comme RMS.
  
  $\overline{y^{2}} = \frac{1}{2} (0.25 + 0.36 + 0.16) = 0.385 ⟹ y_{rms} = 0.6205 \to 0.62$
4. L'écart respecte donc d_rms ≥ 0,62 quoi que soit le signal fantôme — vous n'avez pas besoin de connaître la moindre de ses amplitudes pour l'affirmer. L'encadré Erreur n'affichera pas 0,62, car il calcule la moyenne de la différence absolue plutôt que de la différence au carré ; la borne porte sur une moyenne différente de la même onde.
  
  $\overline{d^{2}} = 0.385 + \overline{g^{2}} \geq 0.385 ⟹ d_{rms} \geq 0.62$
5. À 5x, chaque levier relevé aggrave donc l'écart, et le minimum est atteint avec 0,50, 0,60 et 0,40 tous ramenés à 0. À 3x, les 2 ensembles d'harmoniques coïncident au contraire, l'onde de différence a pour amplitudes A_i − G_i, et ces 3 mêmes leviers peuvent réduire l'écart à exactement 0.
  
  $f = 3 : \overline{d^{2}} = \frac{1}{2} i \sum (A_{i} - G_{i})^{2} A_{i} \to G_{i} 0$
Réponse

Le mieux que ces leviers puissent faire à 5x est de s'éteindre : ne rien transmettre vaut mieux que transmettre ceci. Cela fait de la commande de fréquence une porte, pas un réglage. 3 curseurs continus ne valent strictement rien tant que 1 entier n'est pas correct, et aucun soin apporté à leur réglage ne permet d'obtenir la moindre fraction du verrouillage — ce qui est une règle plus stricte que ce qu'implique habituellement un jeu d'accordage. Cela donne également une seconde fonction à l'encadré RMS. En temps normal, il indique votre niveau sonore ; lorsque la fréquence fondamentale est mauvaise, il constitue une limite inférieure à votre erreur, car toute votre puissance vient alimenter l'erreur au lieu d'annuler une partie de celle du fantôme. L'orthogonalité est ce qui rend cette porte absolue : 2 ondes construites sur des ensembles disjoints d'harmoniques entières ne peuvent pas s'annuler, même légèrement, quelle que soit la façon dont vous les modifiez.

$A_{1}, A_{2}, A_{3} min \overline{d^{2}} = \overline{g^{2}}_{A_{1} = A_{2} = A_{3} = 0}$

Références (2)

The decomposition the clarity score is built on: J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur. Firmin Didot, Paris, 1822.
The same transform as used in image compression: N. Ahmed, T. Natarajan and K. R. Rao, "Discrete Cosine Transform." IEEE Transactions on Computers C-23(1), 90–93, 1974.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-29

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Exemples de problèmes

Signal pur - Fondamentale pure : y = sin(3x) — harmonique unique, bruit nul
Doof Warrior - Mélange à trois harmoniques avec freq=3 et bruit modéré — diffusion par défaut du désert
Enfer statique - Bruit élevé avec freq=5 — la clarté s'effondre sous les 10%
Correspondance fantôme - Mélange proche de la cible — affinez pour verrouiller le signal fantôme