ブロッホ球エクスプローラー

θ = 90° の量子ビットは 50/50 を示します。一見するとコインのようですが、なぜそうではないのか、そして確実性がどこへ失われたのかを解き明かしましょう。

1. 量子ビットの純粋状態は、球上の2つの角度で表されます。θ は |0⟩ と |1⟩ の間で確率がどのように分割されるかを定め、φ は Z 測定では全く観測できない位相を定めます。

   $$|\psi ⟩=\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+e^{i\varphi }\sin \frac{\theta }{2}|1⟩,\theta =\frac{\pi }{2},\varphi =0$$

2. θ = 90° では2つのコサインの値が等しくなるため、両方の測定結果はきっちり半分ずつになります。Z 基底で測定する限り、これは公平なコイン投げと全く区別がつきません。

   $$P(|0⟩)={\cos }^2\frac{\pi }{4}=0.5,P(|1⟩)={\sin }^2\frac{\pi }{4}=0.5$$

3. しかし、この状態にはそれら2つの確率以上の情報が含まれています。ブロッホベクトルは +x 方向を向いており、その長さは 1 です。

   $$\vec{b}=(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta )=(1,0,0)$$

4. 長さ 1 は状態が純粋であること、すなわち球の表面に位置することを意味します。真正なランダムコインは中心に位置する長さ 0 の混合状態であり、どちらも Z 基底では 50/50 を与えます。

   $$|\vec{b}|=1⟹\text{a PURE state lies on the surface, not inside}$$

5. その違いは別の基底で顕著になります。この状態は |+⟩ であり、x 軸方向に測定すると毎回確実に + が得られます。

   $$\text{this is}|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0⟩+|1⟩\right):\text{random in }Z,\text{certain in }X$$