レッスン
理論 — フラクタル・エクスプローラー
フラクタル次元は、「次元」という語に拡大したとき細部がどう増えるかという意味を持たせ、それを繰り返しで作られた図形に当てはめたときに現れます。パネルは画面上の図形について次元を表示し、その数は整数ではありません。コッホ雪片は 1.262、シェルピンスキーの三角形は 1.585、カントール集合は 0.631。図形は線より多く、面より少なくありえます。このメニューにはそれが八つ入っています。
0 から 2 までのフラクタル次元の水平軸に、メニューにある八つの図形をそれぞれの次元の位置、線と面のあいだに配置した図。
- 0.631 のカントール集合が驚きです。次元 1 より下、点の塵よりは多く、線よりは少ない。全長はゼロでありながら、非可算無限個の点を含みます。
- 1.262 のコッホと 1.585 のシェルピンスキーは、「フラクタル」という語が作られたまさにその領域を占めます。本当に線と面のあいだであり、近似でも丸めでもありません。
- ≈ 1.893 のバーンズリーのシダは、平面を埋めることに迫りながら決して埋めません。値が近似なのは、四つの変換が重なるからです。
- 三つの構成がちょうど 2 に着地します — ドラゴン曲線、レヴィの C 曲線、そしてヒルベルト。埋めることに迫る曲線ではなく、極限では実際に埋めるのです。
各記号の意味
N- 規則が一段ごとに自分自身の何個の複製を作るか。コッホは 1 本の線分を 4 本に、シェルピンスキーは 1 個の三角形を 3 個に置き換えます。
r- 各複製がどれだけ小さいか。コッホは ⅓、シェルピンスキーは ½、レヴィの C 曲線は 1/√2 に縮小します。
D- パネルが表示するハウスドルフ次元
log N / log(1/r)— 複製の個数と縮小率を釣り合わせる指数です。 depth- 画面上で規則が実際に何回適用されたか。7 で止まり、上のどの D も無限回の極限です。
公式の導き方
- すでに信頼している図形から始めましょう。線を半分にすると元に戻すには 2 個、正方形なら 4 個、立方体なら 8 個の複製が要ります。形は
N = (1/r)^Dで、D はそれぞれ 1、2、3 — 次元とは複製と縮小を結ぶ指数であり、この定義のどこにも答えが整数であれという要求はありません。 - D について解きます。
N = (1/r)^Dの両辺の対数をとるとD = log N / log(1/r)。これがパネルの表示する式で、その各部分はすぐ上の作図規則の中に見えています。 - ページから規則を読み取って代入しましょう。コッホは 1 本の線分を長さ ⅓ の 4 本に置き換えるので N = 4、1/r = 3、つまり
log 4 / log 3 ≈ 1.262。シェルピンスキーはlog 3 / log 2 ≈ 1.585。どちらも整数ではなく、これは近似ではありません。図形そのものがそうなのです。 - では驚きのある場所で計算してみましょう。レヴィの C 曲線は 1 本を 1/√2 の 2 本に置き換えるので
log 2 / log √2 = 2、ちょうど 2 です。ヒルベルトは 1 本を ½ の 4 本に置き換えるのでlog 4 / log 2 = 2。次元がちょうど 2 とは、これらが曲がりくねる曲線ではないということ。極限では面を埋めます。パネルが小数ではなく「空間充填」と書くのはそのためです。
表示の読み方
図形を切り替えて、個数の行が名前を変えるのを見てください。シェルピンスキーでは三角形、コッホでは線分、木では枝、カントールでは区間、ヒルベルトとシダでは点。これは飾りではありません。「いくつの部分か」は構成ごとに本当に別のことを意味しており、パネルはそれを一語に押し込めることを拒んでいます。どの個数も隣に印字された式と一致します。深さ 4 でシェルピンスキーは 81 = 3⁴、コッホは 768 = 3·4⁴、カントールは 16 = 2⁴、ヒルベルトは 256 = 4⁴、木は 31 = 2⁵ − 1。深さを 0 にしてから一段ずつ上げてみてください。個数の列こそが規則であり、目に見える形にされた算術です。
- 前提
- 複製が厳密であり、重なり合わないこと。
D = log N / log(1/r)は厳密な自己相似性についての主張です。だからこそパネルはコッホとシェルピンスキーには対数の正確な比を表示し、バーンズリーのシダには≈ 1.893、木には≈ 1と書きます。シダは比の異なる四つのアフィン変換で作られ、それらは重なります。木は枝の角度を変えれば次元が変わります。この波線は本当に働いています。 - 成り立たない場合
- 画面上のどれもフラクタルではありません。深さのスライダーは 7 で止まり、深さ 7 のコッホ曲線は 3·4⁷ = 49,152 本の直線分で、総延長は完全に有限 — 次元がちょうど 1 のありふれた多角形です。パネルのどの値も、描画が向かってはいるが決して到達しない極限であり、逆もまた同じです。空間充填曲線は、選べるどの深さでも面積ゼロしか囲みません。このページの正直な読み方は、あなたが見ているのは数列であり、フラクタルとはその数列が何のためにあるかだ、というものです。
全プロセスの詳細解説
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深さ 5 のシェルピンスキーの三角形（243 ピース） 5 ステップ
深さ5において、シェルピンスキーの三角形には243個のピースが存在する。これを導いた上で、元の面積の1%未満しか残らなくなる深さを求めよ。また、面積が消失していく間に周囲長がどうなるかも求めよ。
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構成は単一の漸化式である。すなわち、すべての三角形が3つになる。これを解くには、それが等比数列であると気づくだけで十分である。
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分割された各三角形の辺の長さは半分なので面積は4分の1になり、それが3つできる。この2つの要素を掛け合わせると、面積の法則が現れる。
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深さ5において両者を評価する。面積は4分の1弱 — 23.7% — しか残っておらず、境界の長さはすでに元の7.59倍に達している。
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次元は、規則のもとで 個数 × サイズD を一定に保つ指数によって定義される。半分の縮尺で3つの複製ができることから 3 = 2D が導かれ、図の描き方の細部は一切関係しない。
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次に、残りの面積が1%になる深さを求めるため、面積の法則を解く。対数を計算すると 16.01 となるため深さは 17 であり、その頃には三角形の個数は 129 百万を超えている。ツールがそれよりずっと手前で停止するのはそのためである。
解答
深さ17であり、その時点で129,140,163個の三角形が存在する。この2つの量は互いに反対の方向へ変化し、いずれも幾何級数的に推移する。面積は (3/4)ⁿ としてゼロに向かって減少し、周囲長の合計は (3/2)ⁿ として限りなく増大する。面積がゼロに収束し、境界が無限大に向かう図形は、性質が悪いわけではない。単に1次元でも2次元でもないというだけである。そして、その2つを調和させる指数 log 3 / log 2 = 1.585 こそが、このような図形を認めたときに「次元」が意味せざるを得ない値なのである。なお、これは描かれた図形から計測されるものではなく、個数を数える規則のみから自然に定まるものである。
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参考文献 (3)
- Where fractional dimension entered general use — the paper behind the dimensions quoted here: B. Mandelbrot, "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension." Science 156, 636–638, 1967.
- The chaos game and the fern, from the book that introduced both: Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere. Academic Press, 1988. ISBN 978-0-12-079062-3.
- The dragon curve as a storytelling device, section by section: Michael Crichton, Jurassic Park. Alfred A. Knopf, 1990. ISBN 978-0-394-58816-2.