ウェイストランド信号ミキサー

3つのハーモニック振幅とノイズダイヤルを調整し、ウェイストランドの静電ノイズに埋もれた幽霊信号を探し出そう。

計算例 — ウェイストランド信号ミキサー

RMS	0.73
ピーク	1.26
クリアさ	83%
誤差	0.08
静電ノイズ	18%
基本周波数	3x

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どんなギザギザの波も、滑らかな波の積み重ね 🖖

どれほどギザギザに見える周期波でも、基本周波数の整数倍にあたるサイン波を重ね合わせることで作り出せます — 基本波にその倍音（ハーモニクス）を加えたものです。フーリエの発想は逆方向にも成り立ちます。声であれ、ラジオ放送であれ、ウェイストランドの静電ノイズであれ、複雑な信号は同じサイン波成分へと再び分解できます。上のクリアさスコアは、実はあなたの調合と埋もれた幽霊波との再構成誤差の逆数にすぎません — これは実際のラジオ受信機のフィルターが信号からノイズを取り除いたり、JPEGが画像をわずかな支配的周波数に圧縮したりするのと同じ種類の数学です。

同じ音高、違う波形 🖖

基本周波数のスライダーは音高、つまり波全体が繰り返す速さを決め、三つの振幅スライダーは波の形だけを変えます。どの倍音も基音の正確な整数倍なので、重ねても繰り返しの速さは変わらず、音の性格だけが豊かになります。フルートとバイオリンが同じ音を出しても明らかに違って聞こえ、それでも同じ音高を共有するのはこのためです。基音は同じで、倍音の配合が違うのです。ゴースト信号を捉えるには、音高と配合の両方を見つける必要があります。

耳が作り出す音高 🖖

ゴースト信号は周波数3の基音に支えられていますが、実は耳にその基音は必要ありません。基音を取り除き、高い倍音だけを残しても、脳は元の低い音高を聞き取ります。これはミッシング・ファンダメンタル(欠落基音)と呼ばれる現象です。小さなスマホのスピーカーが、深い低音を出すほど空気を動かせないのに低音を聞かせられるのはこのためで、倍音の間隔だけから基音を再構築しているのです。

全プロセスの詳細解説

0.73 RMS（y = 0.90·sin(3x) + 0.45·sin(6x) + 0.25·sin(9x) より） 5 ステップ
現在の方程式は y = 0.90·sin(3x) + 0.45·sin(6x) + 0.25·sin(9x) であり、統計ボックスの RMS は 0.73 と表示されている。 3 つのレバーの値からその 0.73 を導出し、計算に一切入らない要素に注目せよ。
1. RMSとはその名称が表す通りの意味である。すなわち、波形を2乗し、1周期全体で平均し、平方根をとる。3項の和を2乗すると3つの2乗項と3つの交叉項が残るため、問題全体はこれらの交叉項がどうなるかという点にかかっている。
  
  $y_{rms} = \overline{y^{2}}, \overline{f} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f d x$
2. 交叉項は何の寄与もしない。sin(3x)·sin(6x) は cos(3x) の半分から cos(9x) の半分を引いた形に書き直すことができ、余弦波の1周期全体の平均は 0 になる。同じ消失がどのペアについても起こる。ツールの内部計算において、この相殺は近似的ではなく厳密である。なぜなら、1周期にわたって 180 個のサンプルを合計しており、3, 6, 9 はすべて 180 を割り切るからである。
  
  $\overline{sin m x sin n x} = 0 (m \neq = n), \overline{sin^{2} n x} = \frac{1}{2}$
3. 生き残るのは 3 つの 2 乗項であり、それらはそれぞれ平均すると 0.5 になる。したがって、平均 2 乗値は 0.81 + 0.2025 + 0.0625 の半分となる。電力（パワー）は足し合わされるが、振幅は足し合わされない。
  
  $\overline{y^{2}} = \frac{1}{2} (A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + A_{3}^{2}) = \frac{1}{2} (0.81 + 0.2025 + 0.0625)$
4. 1.075 の半分は 0.5375 であり、その平方根は 0.7331 となる。これがボックスに表示されている 0.73 である。
  
  $\overline{y^{2}} = 0.5375 ⟹ y_{rms} = 0.5375 = 0.7331 \to 0.73$
5. 計算に入ったものを振り返ってみよ。3 つの振幅であり、それ以外には何もない。位相も周波数も入っていない。基本周波数のレバーは 1x から 8x の範囲に及ぶが、どの位置にしても RMS が 0.73 から動くことはない。ピーク値は別の性質のものである。|y| が 0.90 + 0.45 + 0.25 = 1.60 を超えることはあり得ないが、それにどれだけ近づくかは 3 つの波頂が重なるかどうかに完全に依存する。そのため、単一の正弦波の波高比（クレストファクター）が 1.414 に固定されるのに対し、ここでの波高比は最大 2.18 にまで達する。
  
  $∣ y ∣ \leq A_{1} + A_{2} + A_{3} = 1.60, \frac{1.60}{0.7331} = 2.18 (2 = 1.414)$
解答

RMS 0.73 は 3 つのレバー位置のみから定まり、他には何も関係しない。 1.075 を項ごとに分解すると、基本波がその 75.3% を占め、第 2 高調波が 18.8%、第 3 高調波が 5.8% を占める。したがって、この送信機が放射するエネルギーの 24.7% は、本来の音名（基音）より上の帯域に存在する。その比率には全高調波歪（THD）という標準的な名称があり、√(A₂² + A₃²) / A₁ = 57.2% となるが、パネル上のどのボックスにもこれは表示されない。また、パネルはこれらのレバーが直面する 2 つの限界を区別して表示することもない。平均電力は RMS に従うが、ステップ 5 で示したように RMS は位相の影響を受けない。ヘッドルームはピーク値に従うが、ピーク値は位相の影響を大きく受ける。同じ 3 つの振幅によって波形の最大値は 1.60 に制限され、実際には 0.73 と 1.60 の間のどの値をとるかは位相のみによって決定される。RMS の表示値は電力に関する問いに答えるものであり、もう一方の問いについては何も示さない。

$THD = \frac{A _{2}^{2} + A _{3}^{2}}{A _{1}} = \frac{0.265}{0.90} = 57.2%$
3 つの振幅レバーで到達できる最小のミスマッチ 5 ステップ
これは スタティック・ヘル である。レバーは 0.50、0.60、0.40 に設定され、基本周波数は 5x であるため、送信波形は y = 0.50·sin(5x) + 0.60·sin(10x) + 0.40·sin(15x) となる。追跡対象のゴーストは 3x を基本波とし、6x と 9x に高調波を持つ。周波数を固定したまま、3 つの振幅レバーで達成できる最小のミスマッチを求めよ。
1. ミスマッチを d = y − g と置き、それを 2 乗する。1 周期にわたって平均すると、d² は自身の平均 2 乗値、ゴーストの平均 2 乗値、および交叉項に分解される。負の値を取り得るのは交叉項のみであるため、何かを相殺できるのも交叉項のみである。
  
  $d = y - g, \overline{d^{2}} = \overline{y^{2}} - 2 \overline{y g} + \overline{g^{2}}$
2. しかし、ここでは相殺できない。交叉項の中のあらゆる積は、{5, 10, 15} の高調波の 1 つと {3, 6, 9} の高調波の 1 つをペアにしている。この 2 つの集合は共通の要素を持たない。そして、2 つの異なる整数倍の周波数を持つ正弦波の積は、周期全体で平均すると 0 になる。交叉項は単に小さいのではない。0 なのである。
  
  ${5, 10, 15} \cap {3, 6, 9} = \emptyset ⟹ \overline{y g} = 0$
3. 残るものは 2 つの非負の項の和であり、レバーが作用できるのは最初の項のみである。送信側の値は 0.25 + 0.36 + 0.16 の半分であり、これは 0.385 となる。その平方根 0.6205 が、パネルに RMS として表示される 0.62 である。
  
  $\overline{y^{2}} = \frac{1}{2} (0.25 + 0.36 + 0.16) = 0.385 ⟹ y_{rms} = 0.6205 \to 0.62$
4. したがって、ゴーストがどのようなものであれ、ミスマッチは d_rms ≥ 0.62 を満たす。そう断言するために、ゴーストの振幅の値を 1 つとして知る必要はない。Error ボックスの表示は 0.62 にはならない。なぜなら、絶対値の差を平均しており、2 乗の差を平均しているわけではないからである。この下限値は、同じ波形の異なる平均値に対するものである。
  
  $\overline{d^{2}} = 0.385 + \overline{g^{2}} \geq 0.385 ⟹ d_{rms} \geq 0.62$
5. したがって 5x では、レバーを上げると常にミスマッチが悪化し、最小値は 0.50、0.60、0.40 をすべて 0 にしたときに得られる。一方 3x では、2 つの高調波集合が一致するため、差分波形の振幅は A_i − G_i となり、同じ 3 つのレバーによってミスマッチを正確に 0 にすることができる。
  
  $f = 3 : \overline{d^{2}} = \frac{1}{2} i \sum (A_{i} - G_{i})^{2} A_{i} \to G_{i} 0$
解答

5x においてこれらのレバーができる最善の操作は、自らをオフにすることである。つまり、何も送信しない方が、これを送信するよりも優れている。これにより、周波数コントロールは調整機能ではなく、ゲート（開閉器）として機能することになる。1 つの整数値が正しくなるまでは、3 つの連続スライダーには全く価値がなく、どれほど慎重に操作しても同期を得ることはできない。これは通常のチューニングゲームが示唆するよりも厳しい規則である。また、これにより RMS ボックスには第 2 の役割が生じる。通常は音の大きさを報告するが、基本周波数が誤っている場合、それは誤りの下限を表すことになる。なぜなら、すべての電力がゴーストを少しも相殺することなく、そのまま誤差になってしまうからである。直交性こそがこのゲートを絶対的なものにしている。互いに素な整数倍の高調波集合から構築された 2 つの波形は、どのようにスケールを変更しても、少しさえ相殺し合うことができない。 text

$A_{1}, A_{2}, A_{3} min \overline{d^{2}} = \overline{g^{2}}_{A_{1} = A_{2} = A_{3} = 0}$

参考文献 (2)

The decomposition the clarity score is built on: J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur. Firmin Didot, Paris, 1822.
The same transform as used in image compression: N. Ahmed, T. Natarajan and K. R. Rao, "Discrete Cosine Transform." IEEE Transactions on Computers C-23(1), 90–93, 1974.

42Math チーム · 更新 2026-07-29

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例題

純粋な信号 - 純粋な基本波:y = sin(3x)——単一の倍音、ノイズなし
ドゥーフ・ウォリアー - freq=3で中程度のノイズを含む3倍音の混合——荒野放送の初期設定
ノイズ地獄 - freq=5で高ノイズ——明瞭度が10%を下回って崩壊する
ゴースト一致 - 目標に近い混合——微調整してゴースト信号を捕捉する