Equação de Vis-Viva

A equação de vis-viva é a conservação de energia expressa em forma orbital. Em cada ponto, a energia mecânica específica total é ε = ½v² − GM/r = −GM/(2a) — uma constante determinada apenas pelo semieixo maior a. Duas órbitas com o mesmo a, mas excentricidades diferentes, têm a mesma energia e o mesmo período; a excentricidade molda a trajetória sem alterar o orçamento energético. A velocidade é máxima no periélio (energia potencial mínima) e mínima no afélio. A trajetória de escape é o caso-limite a → ∞, com v_esc = √(2GM/r) = √2 · v_c — exatamente √2 vezes a velocidade circular no mesmo raio.

A equação vis-viva diz que a velocidade de um objeto em órbita depende de apenas duas coisas: sua distância atual r ao corpo central e o tamanho global da órbita, o semieixo maior a. Coloque ambos em v = √(GM(2/r − 1/a)) e você obtém a velocidade. A massa do próprio objeto nunca aparece: um clipe de papel e uma estação espacial na mesma órbita viajam exatamente à mesma velocidade.

Vis viva é o latim para 'força viva', o termo que Leibniz cunhou na década de 1680 para a grandeza mv² — a antecessora da energia cinética. Ele desencadeou uma disputa de décadas com os seguidores de Newton, que defendiam que a quantidade de movimento mv era a verdadeira 'medida do movimento'. Ambos os lados tinham parte da razão, e o v² que sobrevive nesta equação é um eco direto da força viva de Leibniz.