Lições Interativas de Matemática e Ciências

Três ferramentas que estruturam uma única lição: um valor de resumo é uma compressão com perdas, e a forma de comprimir determina sobre o que o resumo é honesto. Cada etapa entrega à seguinte uma limitação específica dos resumos de um único número.

1. 01Regra de três
2. 02Média ponderada
3. 03Média vs mediana
4. 04Dispersão e desvio

Seis ferramentas que constroem os resultados fundamentais do triângulo e do círculo na ordem em que realmente dependem uns dos outros. Nada aqui é imposto: cada regra surge como consequência da anterior, e o percurso termina ao colocar a primeira de novo num referencial, onde se transforma na fórmula da distância.

1. 01Área e perímetro
2. 02Triângulos semelhantes
3. 03Pitágoras
4. 04Resolver qualquer triângulo
5. 05Ângulos na circunferência
6. 06A circunferência unitária
7. 07Geometria analítica

Três ferramentas e um único argumento: há números que não se conseguem escrever até ao fim. A melhor versão curta de um deles procura-se em vez de se adivinhar, e cortar um número tem um custo que se pode medir.

1. 01Somar frações
2. 02Dízimas periódicas
3. 03Aproximação racional
4. 04Arredondamento

São seis ferramentas que estruturam a resolução de equações respeitando a ordem natural de dependência dos conceitos. Começam com o que um sinal de menos faz e chegam a um método mecânico para três incógnitas em simultâneo. Cada etapa entrega à seguinte algo muito específico: um passo algébrico, uma restrição a esse passo, ou um teste para confirmar se ele foi válido.

1. 01Números negativos
2. 02Equações lineares
3. 03Inequações
4. 04Manipulação de fórmulas
5. 05Duas equações em simultâneo
6. 06Três ou mais em simultâneo

Quatro ferramentas que fundamentam uma ideia: o dinheiro tem valores diferentes em momentos distintos, e um pagamento recorrente pode ser reduzido a uma única fórmula. Cada passo fornece algo específico ao seguinte.

1. 01Sucessões e séries
2. 02Juro simples vs. composto
3. 03Valor futuro de rendas
4. 04Prestação do empréstimo
5. 05Ajustador de Inflação

Três ferramentas, um hábito. Quando as grandezas diferem por fatores em vez de quantidades, pare de as contar e passe a contar expoentes. A primeira constrói a régua. A segunda percorre-a. A terceira marca um número nela sem qualquer dado inicial.

1. 01Logaritmos
2. 02Escala do universo
3. 03Estimativas de Fermi

O problema do aniversário parece um truque de salão, mas é, na verdade, a ferramenta padrão para analisar colisões. É na segunda etapa que os cientistas da computação o reencontram, sob um nome diferente.

1. 01Relógio de aritmética modular
2. 02Paradoxo do aniversário
3. 03Tabelas de hash

Quatro ferramentas, e cada uma existe porque a ferramenta anterior se esgota. A fatorização funciona quando as raízes são simples, a fórmula resolve quando não são, a divisão atua além do grau dois, e uma função racional é o que dois polinômios formam quando um repousa sobre o outro.

1. 01Desenvolvimento e fatorização
2. 02Resolução de quadráticas
3. 03Calculadora de números complexos
4. 04Divisão de polinómios
5. 05Funções racionais

Uma identidade é válida para qualquer ângulo em que ambos os membros estejam definidos. É essa garantia que nos permite trocar a função dada no problema por aquela que precisamos de calcular. O capítulo abre com as funções recíprocas e as três identidades pitagóricas, passa pelas funções inversas com que a calculadora nos responde, pelas equações que daí nascem e pelas fórmulas dos ângulos compostos, preparando o terreno para o ângulo duplo, as formas harmónicas e a demonstração de identidades.

1. 01Identidades pitagóricas
2. 02Funções trigonométricas inversas
3. 03Equações trigonométricas
4. 04Ângulos compostos

Três ferramentas. A ideia central desta sequência é percebermos que não se trata de três assuntos distintos. Uma onda senoidal é o aspeto de um movimento circular uniforme visto de perfil, e o pêndulo oscilante é o que observamos quando a gravidade assegura a rotação.

1. 01Ondas seno e cosseno
2. 02Movimento circular
3. 03Pêndulo e MHS
4. 04Construtor de séries de Fourier

Cinco ferramentas para uma só ideia: uma curva suave, quando ampliada o suficiente, é indistinguível de uma reta. Esse fato isolado é o que a derivada mede, o que a série de Taylor expande e o que o gradiente faz em mais de uma direção. O percurso começa com a medida angular que deixa a aritmética elegante e termina numa encosta onde a inclinação mais íngreme supera todas as direções que você de fato mediu.

1. 01Radianos
2. 02Limites
3. 03A derivada
4. 04Explorador de Somas de Riemann
5. 05Série de Taylor
6. 06Mais de uma direção

Uma demonstração é um raciocínio que abrange todos os casos, incluindo aqueles que nunca ninguém chegará a verificar. Estas páginas constroem esse raciocínio de quatro formas: por indução, pela contagem de elementos em gavetas, através de uma quantidade inalterável e por emparelhamento. A primeira começa com uma fórmula que produz um número primo quarenta vezes seguidas e depois resulta em 41 × 41.

1. 01Demonstração por indução
2. 02O princípio das gavetas
3. 03Invariantes
4. 04O teorema dos números pentagonais

Uma derivada é uma taxa de variação. Cada regra de derivação mostra como essas taxas se combinam: num produto, numa função dentro de outra ou numa equação que ninguém resolveu em ordem a y. As duas últimas páginas aplicam as regras às perguntas que um curso realmente faz: quão depressa algo muda num instante e qual é a melhor escolha.

1. 01Regra do produto
2. 02Regra da cadeia
3. 03Derivação implícita
4. 04Taxas relacionadas
5. 05Otimização

Sete ferramentas que transformam uma imagem de pontos dispersos num número que se pode defender, para de seguida perguntarem como se chega a ele, que grau de confiança lhe devemos dar e o que acontece quando ninguém nos revela a resposta. Por fim, ensinam a classificar uma previsão que nunca passou de uma probabilidade. O percurso avança através da geometria em vez da estatística, pois é a geometria que torna a estatística honesta.

1. 01Vetores
2. 02Geometria dos mínimos quadrados
3. 03Regressão linear
4. 04Descida de gradiente
5. 05Sobreajuste
6. 06k-médias
7. 07Calibração

Uma pergunta, feita quatro vezes com cada vez menos informação: o que esta matriz realmente faz ao espaço? As colunas respondem de imediato. Os autovetores têm a resposta para as direções que sobrevivem. A SVD responde quando não existe nenhuma, e a PCA aponta a mesma maquinaria a uma nuvem de medições.

1. 01Transformações matriciais
2. 02Vetores próprios
3. 03Decomposição em valores singulares
4. 04Componentes principais

Quatro jogos e uma operação: descobrir a jogada que responde a qualquer ação do adversário. A operação resolve o primeiro jogo por si só. Requer um quadrado inteiro para ser encontrada no segundo e acarreta um custo no terceiro. No quarto jogo, ninguém sequer a calcula, mas a população chega à resposta na mesma.

1. 01Dilema do prisioneiro
2. 02Equilíbrio de Nash
3. 03Tragédia dos bens comuns
4. 04Evolução da cooperação

Uma soma infinita é o limite de somas finitas, e este limite depende de aspetos que nenhuma soma finita tem em conta: a ordem dos termos e a posição da singularidade mais próxima, mesmo quando esta se situa fora da reta real.

1. 01Convergência de séries
2. 02Reordenação de Riemann
3. 03Raio de convergência

O método de Newton, a regra de Simpson e o método de Euler assentam todos no mesmo princípio: dentro de um intervalo suficientemente pequeno, trate a curva como uma reta. Cada um tem, por isso, uma falha que não é um defeito. O conhecimento útil reside em saber qual falha pertence a qual método. Cada passo transmite ao seguinte um erro nomeado e a taxa a que este diminui.

1. 01Método de Newton
2. 02Integração numérica
3. 03Método de Euler

A derivação é um procedimento; a integração, uma busca. Por este motivo, os exercícios deste capítulo avaliam as respostas de uma única forma: derive o resultado e compare com o integrando. A substituição e a integração por partes são as regras da cadeia e do produto aplicadas às avessas. O método das frações parciais resolve a grande família de funções onde existe sempre uma solução elementar. Por fim, a última página demonstra que para e⁻ˣ² não há qualquer solução desse tipo.

1. 01Primitivas
2. 02Substituição
3. 03Integração por partes
4. 04Frações parciais
5. 05Integrais trigonométricos
6. 06Escolher uma técnica
7. 07Sem fórmula possível

Um integral é uma quantidade acumulada: área, distância, volume. Este capítulo começa pelo teorema que liga essa acumulação às taxas de variação e avança depois para áreas entre curvas, movimento e volumes obtidos por fatiamento.

1. 01O teorema fundamental
2. 02Área entre curvas
3. 03Acumulação e movimento
4. 04Volume por fatiamento
5. 05O método das cascas
6. 06Combinação de dois sólidos
7. 07Integrais duplas
8. 08Integrais duplas em polares

Como se lê na respetiva página, a lei de Ohm descreve uma resistência a temperatura constante, em corrente contínua e sem mais nenhum componente no circuito. Cada página seguinte repõe um dos elementos que ficaram de fora: outro componente, o fio, a bateria, um circuito que não admite simplificação e uma tensão variável.

1. 01Lei de Ohm
2. 02Série e paralelo
3. 03Resistividade
4. 04Resistência interna
5. 05Leis de Kirchhoff
6. 06CA e valor eficaz

Duas ferramentas e um atalho: quando só precisa de velocidades e alturas, pode ignorar as forças por completo e deixar o balanço a cargo da energia.

1. 01Queda livre
2. 02Montanha-russa
3. 03Laboratório de Momento e Colisões

Uma lente é uma fronteira que alguém curvou. Nenhuma página neste percurso introduz física que a primeira não contenha já. O que muda é o que lhe exigimos: uma superfície, depois uma lente ideal, e por fim um pedaço de vidro.

1. 01Lei de Snell
2. 02Traçado de raios de uma lente
3. 03Lentes reais

Cinco máquinas e um compromisso. Nenhuma delas cria energia, e todas permitem escolher como a gastar: uma força menor num percurso mais longo, ou o inverso. Cada etapa entrega à seguinte uma parte específica desse compromisso. No final, conseguirá decifrar qualquer máquina fazendo duas perguntas sobre ela.

1. 01Classes de alavancas
2. 02Roda e eixo
3. 03Sistemas de roldanas
4. 04Plano inclinado, parafuso e cunha
5. 05Trens de engrenagens
6. 06Rosca de parafuso

Um condensador não tem resistência e, ainda assim, limita a corrente; o que determina é um tempo, não um número de ohms. A segunda página mostra que esse tempo surge em qualquer sistema com um elemento de armazenamento e um mecanismo de dissipação. A terceira acrescenta outro elemento de armazenamento, e o tempo transforma-se numa frequência.

1. 01Circuito RC
2. 02Resposta ao degrau
3. 03Ressonância RLC

Três ferramentas, e a terceira inutiliza as duas primeiras. A aceleração constante possui solução analítica, logo as duas primeiras etapas são álgebra. A resistência do ar não é constante e, a partir daí, o único método honesto é integrar passo a passo.

1. 01Cinemática
2. 02Lançamento de projéteis
3. 03Resistência do ar e vento

Duas ferramentas construídas sobre um único resultado. A água sai de um orifício exatamente à velocidade que uma pedra atinge ao cair a mesma distância, e tudo o mais decorre de como essa velocidade é gasta: lateralmente, é um projétil; para baixo, é o tanque a esvaziar-se.

1. 01Três orifícios num tanque
2. 02O tanque a esvaziar

Uma força restauradora, levada até ao limite. Uma massa presa a uma mola oscila, uma sucessão delas propaga a oscilação, duas, ao encontrarem-se, decidem se se somam ou anulam, e uma fronteira em cada extremo descarta toda a frequência que não encaixe.

1. 01Lei de Hooke
2. 02Ressonância
3. 03Interferência
4. 04Ondas estacionárias

A óptica geométrica diz-nos que a luz viaja em linha reta e que uma aresta projeta uma sombra nítida. Cada página desenha esta resposta como um fantasma ao lado da solução ondulatória. O obstáculo no caminho da luz muda ao longo do percurso: duas superfícies, uma fenda, uma abertura circular e, por fim, um disco opaco cuja sombra é brilhante no centro.

1. 01Películas finas
2. 02Fenda simples
3. 03O limite de difração
4. 04O ponto de Arago

A trajetória percorrida por um raio de luz, por uma conta a deslizar ou por uma bola lançada é aquela ao longo da qual uma pequena variação não produz alterações de primeira ordem num valor total: o tempo, para os dois primeiros casos, e a ação, para a bola. Cada página permite curvar o trajeto e observar que o total mal se altera. Duas delas encontram uma trajetória cujo total é estacionário sem ser mínimo.

1. 01Princípio de Fermat
2. 02Miragens
3. 03A braquistócrona
4. 04Ação mínima

Um corpo em rotação transporta um vetor, o seu momento angular, e quase tudo o que surpreende no movimento rotativo resulta de esse vetor se recusar a mudar. Recolha os braços numa plataforma giratória e rodará mais depressa; uma roda vira para o lado em vez de cair; uma raquete inverte-se; o plano de um pêndulo permanece fixo enquanto o chão gira por baixo dele.

1. 01Momento angular
2. 02O giroscópio
3. 03O teorema da raquete de ténis
4. 04Coriolis e Foucault

A lei de Ohm descreve apenas um tipo de componente. Os cinco reunidos aqui guardam energia numa tensão ou numa corrente, conduzem num único sentido, amplificam e amplificam com precisão. Por si só, nenhum é fiável: o ganho de corrente β de um transístor chega a variar o triplo entre exemplares do mesmo tipo. É o circuito em torno do componente que o torna previsível, e cada página mostra como.

1. 01Condensador
2. 02Indutor
3. 03Díodo
4. 04Amplificador a transístor
5. 05Amp-op

A luz chega em pacotes e a mesma constante h atribui depois a cada partícula um comprimento de onda. Tudo o resto resulta de levar essa onda a sério. Obrigada a caber numa caixa, tem uma energia mínima que não é nula. Foge através de paredes que não consegue transpor. E, comprimida num espaço reduzido, dispersa-se por muitos números de onda, sendo esse o princípio da incerteza.

1. 01O efeito fotoelétrico
2. 02Ondas de matéria
3. 03Partícula numa caixa
4. 04Efeito túnel quântico
5. 05Incerteza e pacotes de ondas

Sete páginas em torno de uma pergunta: que parte de uma estrutura suporta realmente o peso, e sob que forma. Começamos no interior de uma única viga, onde a zona central quase nada faz, e terminamos numa treliça com mais barras do que equações, capaz ainda assim de indicar exatamente quando irá colapsar.

1. 01Flecha de vigas
2. 02Torção de veios
3. 03Círculo de Mohr
4. 04Análise de treliças
5. 05Encurvadura de Euler
6. 06Arcos e cabos
7. 07Barras redundantes

Três equações construídas sobre um único operador, o Laplaciano, que diferem apenas no papel do tempo. O calor esquece, apagando primeiro o detalhe mais nítido. Uma onda transporta uma perturbação e, numa superfície, nunca termina totalmente de chegar. A equação de Laplace não contém tempo algum. É o destino a que o calor chega ao esquecer: cada ponto é a média dos seus vizinhos.

1. 01A equação do calor
2. 02Estações do ano no subsolo
3. 03A equação da onda
4. 04A equação de Laplace

De uma porta lógica a um programa em execução. Só com portas NAND podemos construir qualquer circuito. Um somador construído com portas lógicas também faz subtrações. No Little Man Computer, esse somador trabalha com uma centena de caixas de correio: o programa ocupa a mesma memória que os números, e a máquina executa o que encontrar no endereço indicado pelo contador de programa.

1. 01Portas lógicas
2. 02Aritmética binária
3. 03O Little Man Computer
4. 04Memória e bytes
5. 05A pilha de chamadas
6. 06Cache e localidade

Cada cifra aqui esconde as letras e deixa outra coisa à vista. A substituição preserva a contagem das letras, a cifra com palavra-chave organiza-as em colunas e o bloco de uso único usado duas vezes expõe os espaços. Só uma chave aleatória tão longa quanto a mensagem não revela rigorosamente nada. O difícil é fazer chegar essa chave ao outro lado, proeza que as duas últimas páginas realizam em público.

1. 01Cifra de substituição
2. 02Cifra de Vigenère
3. 03Bloco de uso único
4. 04Diffie–Hellman
5. 05RSA

Cada estrutura responde depressa a uma pergunta, mas paga por isso noutro ponto. Um filtro de Bloom não guarda nenhuma chave e ainda assim consegue dizer de certeza que não. Uma árvore de prefixos responde a perguntas sobre prefixos que uma tabela de dispersão não consegue resolver; um amontoado sabe sempre qual é a sua menor chave e pouco mais. Na última página, é preciso decidir que página retirar da memória. A melhor escolha exige conhecer o futuro.

1. 01Filtro de Bloom
2. 02Árvore de prefixos
3. 03Amontoado binário
4. 04Substituição de páginas

Um codificador de vídeo não é um algoritmo, mas oito etapas numa ordem fixa, e a ordem não é arbitrária: cada etapa existe porque a anterior tornou o seu trabalho possível. Esta ferramenta modela uma delas. A cadeia abaixo liga às outras sete.

1. 01Amostragem
2. 02Subamostragem de croma
3. 03Estrutura GOP
4. 04Estimação de movimento
5. 05Quantização
6. 06Codificação entrópica
7. 07Controle de taxa
8. 08Orçamento de tamanho

Duas metades do mesmo problema, na ordem em que um estúdio se depara com elas. Primeiro, uma chave foi exposta e a licença tem de continuar a funcionar para todos os outros, o que acaba por custar um cabeçalho que não cresce de todo com a dimensão do sistema. Depois vem a parte mais complexa: saber de quem era a chave a partir de uma cópia que vários subscritores construíram em conjunto com o propósito expresso de não identificar ninguém.

1. 01Revogação de dispositivos
2. 02Marca de água forense

Duas ferramentas que desvendam um grande modelo de linguagem no instante em que ele escolhe uma palavra. A segunda opera literalmente sobre a primeira: os candidatos que ela classifica são entradas do vocabulário que a primeira constrói.

1. 01Tokenizador
2. 02Vetores de tokens e semelhança
3. 03Temperatura e amostragem

Um cronômetro mede o seu computador. Contar operações mede o algoritmo. Duas ferramentas nascidas desse único hábito.

1. 01Crescimento em O grande
2. 02Corrida de Algoritmos de Ordenação
3. 03Explorador da Árvore de Recursão
4. 04Procura de caminhos

Um sinal é uma soma de setas giratórias. Na prática, qualquer interpretação acarreta custos que as fórmulas dos manuais omitem. Uma janela finita dispersa por todas as bandas os tons que nela não couberem. Janelas curtas compram tempo. Pagam em afinação. Uma média também atua como um filtro com forma própria. A última página explica a lógica que permite calcular tudo isto atempadamente.

1. 01Transformada discreta de Fourier
2. 02Espectrograma
3. 03Média móvel como filtro
4. 04Transformada rápida de Fourier

Um algoritmo está correto por uma razão que se pode enunciar, e incorreto por uma falha que um pequeno teste revela. Cada página confronta uma versão correta com uma alternativa plausível mas errada: catorze das dezasseis formas de programar uma busca binária falham. O algoritmo guloso para o troco perde nas antigas moedas britânicas. Nunca falha com os cêntimos americanos. Kruskal e Prim concordam por um motivo claro. E um código concebido para corrigir um bit invertido torna duas inversões ainda piores.

1. 01Busca binária
2. 02Troco em moedas
3. 03Árvore de expansão mínima
4. 04Código de Hamming

Quatro codificadores que poderia fazer no papel, ordenados por aquilo que cada um consegue ver e que o anterior não conseguia. O quarto não comprime absolutamente nada, e é a razão pela qual o primeiro funciona com texto.

1. 01Run-length
2. 02Huffman
3. 03LZ77
4. 04Burrows-Wheeler

Uma exponencial, lida de três maneiras. No sentido direto, diz-nos quanto resta; no sentido inverso, revela a idade de algo; e, aplicada ao ADN em vez de aos núcleos, precisa de uma rocha para ser calibrada.

1. 01Decaimento radioativo
2. 02Datação radiométrica
3. 03Relógio molecular

Numa superfície curva as regras demonstradas no papel deixam de se aplicar, e a exata medida em que cada uma falha quantifica a curvatura a partir do interior. Uma rota retilínea altera o seu rumo na bússola, uma seta transportada sem rodar regressa rodada, um círculo fica com o comprimento errado e, no plano hiperbólico, nenhum triângulo consegue conter mais do que π.

1. 01Rotas de círculo máximo
2. 02Transporte paralelo
3. 03Theorema egregium
4. 04O plano hiperbólico

O calor liberado por uma reação não determina se ela avança; o gelo derrete absorvendo calor. Estas quatro páginas constroem a contabilidade que efetivamente toma essa decisão: a entalpia, que se soma como as equações; a energia livre padrão, que é uma constante de equilíbrio em outras unidades; a diferença entre deslocar o K e deslocar o Q; e uma pilha que lê essa diferença como uma voltagem.

1. 01Lei de Hess
2. 02Energia livre de Gibbs
3. 03Princípio de Le Chatelier
4. 04Equação de Nernst

Um gás numa mistura atua segundo a sua própria pressão parcial, a qual define o limite de profundidade de um mergulhador. Um líquido ferve quando a sua pressão de vapor atinge a pressão acima de si. Dois líquidos que se misturam de forma imperfeita limitam um alambique a cerca de 95,6% de etanol em massa, as partículas dissolvidas fazem um kelvin de descida no ponto de congelação valer treze bar de pressão osmótica, e um sal só se dissolve até os seus iões alcançarem um produto fixo.

1. 01Pressão parcial
2. 02Pressão de vapor e ebulição
3. 03Destilação fracionada
4. 04Propriedades coligativas
5. 05Produto de solubilidade

Cada população aqui é travada por algo, e esse algo torna-se menos complacente a cada passo: primeiro o próprio adensamento que provoca, depois uma captura fixa subtraída ao total, a seguir um predador que é, por si só, uma população, e por fim ficar sem pessoas para infetar.

1. 01Crescimento logístico
2. 02Captura
3. 03Predador e presa
4. 04Epidemias

Uma previsão é um modelo avançado no tempo a partir de um estado inicial que ninguém conhece com exatidão. Por isso, os meteorologistas executam o modelo várias vezes e deixam que a divergência indique o nível de confiança a depositar. A segunda página abre o modelo e encontra uma falha que nada tem a ver com o caos. A terceira regressa às equações de Lorenz de 1963, onde a posição exata rapidamente se perde, mas a forma traçada nunca desaparece.

1. 01Previsão por conjuntos
2. 02O tempo numa malha
3. 03O atrator de Lorenz

Cinco ferramentas constroem um único argumento: o DNA é um autêntico meio de armazenamento e um verdadeiro computador, e ambos esbarram em limites que se podem calcular em vez de adivinhar. Cada etapa fornece à seguinte um número específico.

1. 01Armazenar dados em ADN
2. 02Escala da computação com ADN
3. 03O paradoxo de Levinthal
4. 04Porta de deslocamento de cadeia
5. 05Energia por operação

Seis ferramentas e uma distribuição. Tudo aqui é a binomial num limite diferente, ou a binomial lida ao contrário: conte os sucessos, deixe a contagem crescer e veja surgir uma curva em sino que ninguém ali colocou.

1. 01Binomial
2. 02Poisson
3. 03Distribuição normal
4. 04Teorema do limite central
5. 05Valor z
6. 06Intervalo de confiança

Quatro ferramentas exploram uma única questão com cada vez menos dados de partida: dois grupos, depois uma quantidade qualquer, e a seguir contagens sem qualquer média. A última ferramenta coloca a questão antes mesmo de os dados existirem.

1. 01Teste t
2. 02ANOVA
3. 03Qui-quadrado
4. 04Tamanho da amostra

Ninguém contesta a aritmética do teorema de Bayes. Contestam o a priori: de onde veio o primeiro número e quem o escolheu. Estas três ferramentas abordam a questão por ordem de dificuldade: um a priori que se pode consultar, um a priori que o mecanismo nos entrega, e um a priori que ninguém tem.

1. 01Teorema de Bayes
2. 02Bilhar de Bayes
3. 03Bioassinaturas

Um valor-p responde a uma só pergunta sobre um teste planeado. Na prática, os estudos fazem vinte testes, espreitam os dados à medida que chegam e publicam apenas os resultados significativos. Cada uma destas decisões altera o valor real de p < 0,05. Aqui, cada página pega num procedimento aparentemente inofensivo e calcula com rigor o que ele custa.

1. 01Comparações múltiplas
2. 02Paragem opcional
3. 03A maldição do vencedor
4. 04Falsas descobertas

O valor esperado é uma promessa sobre a média de um grande número de jogadores. Cada jogador, porém, conta apenas com a sua própria banca. Um jogo pode ser justo, ou até favorável a quem aposta, e ainda assim levar quase todos os jogadores à ruína. Em cada página, a média aparece como uma linha tracejada, quase um fantasma, enquanto acompanhas o que acontece aos jogadores que a compõem.

1. 01A ruína do jogador
2. 02O sistema de duplicação
3. 03O paradoxo de São Petersburgo
4. 04O critério de Kelly

Seis ferramentas sobre os mesmos 98 anos de retornos, cada uma passando à seguinte uma quantidade específica. A sequência responde a uma pergunta em seis passos: o que é de facto arriscado num investimento, e quanto do que nos dizem sobre ele pode ser comprovado?

1. 01Onde está o risco
2. 02Drawdown e travão
3. 03A ordem conta
4. 04Rebalancear
5. 05Que certeza tens?
6. 06A fronteira, mantida

Nada se pode deduzir sobre uma estrela a partir do seu brilho aparente até sabermos a que distância se encontra. É esta a ordem seguida por estes quatro, e foi este o percurso da astronomia — cada degrau aferido pelo que lhe fica abaixo, desde o triângulo topográfico até aos limites do universo observável.

1. 01Distância de paralaxe
2. 02Luminosidade solar
3. 03Magnitude estelar
4. 04A escada de distâncias

Uma órbita é definida pelo seu tamanho e forma, e quase tudo o resto deriva disso. Estas cinco ferramentas vão da elipse ao combustível: onde se encontra uma nave espacial, a que velocidade se desloca, quanto tempo demora a viagem, qual o trajeto mais económico e o respetivo custo em propelente.

1. 01Órbitas de Kepler
2. 02Vis-viva
3. 03Período orbital
4. 04Transferência de Hohmann
5. 05Equação do foguetão