Sistemas de Polias e Vantagem Mecânica

Carregue a Talha: quatro segmentos de corda, uma carga de 800 N, 85% de eficiência. O painel indica 235,3 N de tração e 4 m de corda por metro de elevação. Calcule ambos. Depois, diga exatamente no que os 15% foram gastos.

1. Comece pela máquina ideal. Quatro segmentos de corda dividem a carga, logo cada um suporta um quarto dela, e a mão que segura um deles sente um quarto. Essa é a vantagem mecânica: trata-se da contagem, não de uma fórmula.

   $${\mathrm{MA}}_{\text{ideal}}=n=4,E_{\text{ideal}}=\frac{800}{4}=200\mathrm{N}$$

2. A corda precisa vir de algum lugar. Erguer o moitão em 1 m encurta todos os quatro segmentos em 1 m cada, de modo que 4 m precisam passar pelas suas mãos. A vantagem e o comprimento da corda são o mesmo número pelo mesmo motivo.

   $$\ell =n\times h=4\mathrm{m}\text{of rope per }1\mathrm{m}\text{of lift}$$

3. Agora adicione a máquina real. A eficiência multiplica a vantagem, não a corda: as roldanas giram contra os seus mancais e a corda resiste a ser dobrada ao redor delas, e ambos custam força.

   $${\mathrm{MA}}_{\text{actual}}=n\eta =4\times 0.85=3.40$$

4. Assim a tração aumenta. Observe a segunda forma: dividir os 200 N ideais por 0,85 dá a mesma resposta, que é o que "85% de eficiência" quer dizer.

   $$E=\frac{L}{n\eta }=\frac{800}{3.40}=235.3\mathrm{N}=\frac{200}{0.85}$$

5. Conte os joules de ambos os lados. Você move 4 m contra 235,3 N; a carga move-se 1 m contra 800 N.

   $$W_{\text{in}}=235.3\times 4=941.2\mathrm{J},W_{\text{out}}=800\times 1=800\mathrm{J}$$

6. A diferença é a perda, e corresponde exatamente à fração que a eficiência indicou.

   $$W_{\text{lost}}=141.2\mathrm{J}=(1-\eta )W_{\text{in}}$$

Carregue Guindaste Pesado (6×): seis segmentos de corda, 1.500 N de carga, 80% de eficiência e 312,5 N de tração. A página diz três vezes distintas que acrescentar segmentos acaba por deixar de ajudar. Descubra onde deixa e decida depois se vale a pena passar um sétimo segmento neste guindaste.

1. Primeiro o painel. Seis segmentos a 80% dão uma vantagem de 4,80, pelo que a tração é 1.500 a dividir por esse valor, e passam-lhe pelas mãos seis metros de corda por cada metro que o gancho sobe.

   $$\mathrm{MA}=n\eta =6\times 0.80=4.80,E=\frac{1500}{4.80}=312.5\mathrm{N},\ell =6.0\mathrm{m}$$

2. A ferramenta permite definir a contagem e a eficiência em separado; um aparelho real não. Cada roldana leva a sua fatia, uma chumaceira e uma dobra da corda, pelo que as perdas se acumulam segmento a segmento. As próprias predefinições da ferramenta concordam quanto ao tamanho da fatia de cada segmento: 80% em seis segmentos e 85% em quatro dão ambas cerca de 96%.

   $$\eta ={\eta }_s^n⟹{\eta }_s=0.80^{1/6}=0.9635;\text{block and tackle: }0.85^{1/4}=0.9602$$

3. Substitua isso e a tração deixa de ser uma divisão simples. Derive e o número de segmentos em que os dois efeitos se equilibram sai sozinho, sem carga nem aparelho lá dentro.

   $$E(n)=\frac{L}{n{\eta }_s^n},\frac{d}{dn}\ln E=-\frac{1}{n}-\ln {\eta }_s=0⟹n^{\ast }=\frac{1}{\ln (1/{\eta }_s)}$$

4. Com roldanas a 96,3% o equilíbrio fica nos vinte e sete segmentos. Nada do intervalo da ferramenta chega perto: com dez segmentos a tração continua a cair com força.

   $${\eta }_s=0.9635:n^{\ast }=26.9;E(6)=312.5,E(7)=278.0,E(10)=217.6\mathrm{N}$$

5. Piore as roldanas e a resposta desloca-se imenso. A 85% cada uma, seis segmentos são o mínimo, e o sétimo já pesa mais do que o sexto.

   $${\eta }_s=0.85:n^{\ast }=6.15;E(5)=676.1,E(6)=662.9,E(7)=668.4\mathrm{N}$$

6. O cartão da eficiência não é o que se deve observar enquanto faz isto. Dez segmentos com as roldanas deste mesmo guindaste dão 68,9% de eficiência, bem abaixo dos 80% agora visíveis, e a tração é um terço mais leve.

   $$\eta (10)=0.9635^{10}=0.689<0.80,E(10)=\frac{1500}{10\times 0.689}=217.6\mathrm{N}$$