Lições Interativas de Matemática e Ciências

Plano Inclinado, Parafuso e Cunha

o mesmo triângulo, enrolado num cilindro ou cravado num tronco

A carregar a simulação interativa...

Uma rampa suave vence sempre, e a vitória sai sempre mais cara 🖖

A vantagem ideal é 1/sin θ. No papel, um declive menor é preferível: a 15° a geometria oferece 3,86 contra 1,41 a 45°. O atrito encarrega-se de anular grande parte desta diferença. Se fixarmos μ em 0,2, o valor real passa a ser 2,21 face a 1,18. A opção por uma inclinação suave adquire 1,03 de vantagem real quando a geometria prometia 2,45, ou seja, 42% desse valor. Varrer todos os ângulos não revela qualquer ponto de viragem. Um ângulo de 5° atinge uns superiores 3,49, melhorando ainda mais abaixo disso. O preço a pagar é a eficiência, que cai para 30,4%, e 11,47 metros de empurrão por cada metro de elevação.

Um parafuso é esta rampa enrolada 🖖

Desenrole uma volta da rosca e obtém um triângulo. A altura corresponde ao passo, a base equivale à circunferência. A predefinição do parafuso padrão tem um passo de 3 mm num raio de 10 mm. A sua inclinação é de 2,734° e a vantagem ideal atinge os 20,94. Nenhuma rampa que consiga subir a pé lhe dará este número. O preço encontra-se na mesma linha. Com uma eficiência de 24,0%, três quartos do trabalho perdem-se na rosca. Os parafusos servem para aplicar força, nunca para mover coisas.

Abaixo de um determinado ângulo, fica onde o colocar 🖖

Uma carga mantém-se num declive quando a tan θ não excede μ, e escorrega no instante em que o faz. Para μ = 0,2, a fronteira situa-se nos 11,31°. Aos 11,3° a carga segura-se, aos 11,4° desliza. Esta é a condição que torna um parafuso autobloqueante. É por esta razão que uma porca se mantém apertada sem roquete nem lingueta. Uma máquina ineficiente a devolver trabalho é uma máquina que dispensa travões.

Quarenta vezes o peso, e nem um número se move 🖖

Arraste a carga de 50 N até 2000 N e observe o veredito acima da rampa. Não muda. A vantagem também não: a 20° com μ = 0.36 a ferramenta indica 1,4699 para uma caixa de 50 N e 1,4699 para uma de 2000 N. O peso entra no problema duas vezes e cancela-se. Puxa a carga encosta abaixo como mg sin θ, e comprime-a contra a rampa como mg cos θ, que é a força com a qual o atrito tem de lidar. Se duplicar a massa, duplica ambas; logo, a condição de repouso é tan θ ≤ μ e o m não aparece em lado nenhum. Um seixo e um piano largados na mesma encosta, no mesmo instante, mantêm-se lado a lado até cá abaixo. O esforço, claro, acompanha a proporção: 34,02 N contra 1360,62 N, exatamente quarenta vezes mais. A rampa propõe o mesmo acordo a qualquer carga e não tem opinião sobre o quão pesada ela é.

Problema resolvido na íntegra

  1. Desenrolar uma volta de uma rosca de parafuso num triângulo 7 passos

    Carregue em Parafuso Padrão: um passo de 3 mm num raio de 10 mm, 1.000 N de carga, μ = 0,15. O painel indica uma vantagem ideal de 20,94 e uma eficiência de 24,0%. Ambas provêm do mesmo triângulo. Encontre-o.

    1. Pegue numa volta completa da rosca e desenrole-a. A rosca sobe o equivalente ao passo enquanto dá uma volta ao eixo. Constitui assim a hipotenusa de um triângulo retângulo cuja altura é o passo e cuja base é a circunferência. Um parafuso é um plano inclinado que foi enrolado num cilindro. Esta frase é a tradução aritmética desse conceito.

    2. A inclinação desse triângulo é o ângulo de hélice. Fica abaixo dos três graus. É por isso que um parafuso não se assemelha a uma rampa, apesar de o ser.

    3. A vantagem ideal é a distância percorrida por si sobre a distância que a carga se move: uma volta à circunferência para avançar um passo.

    4. O atrito entra como um ângulo próprio. O ângulo de atrito é a inclinação na qual uma superfície começa a ceder. Adicioná-lo ao ângulo de hélice é a forma padrão de incorporar o atrito num parafuso.

    5. O esforço resulta diretamente disto. Em vez de 1.000 a dividir por 20,94, o que dá 47,8 N, precisa de quatro vezes mais.

    6. A vantagem efetiva é a carga dividida pelo esforço: 1 000/199,2 = 5,02. O rendimento é, portanto, a razão entre o que se obteve e o que a geometria permitia obter.

    7. A mesma comparação, escrita com uma tangente em vez de um ângulo, indica se o parafuso se mantém imóvel sem lhe tocar.

    Resposta

    Uma vantagem ideal de 20,94 obtida de um triângulo com 3 mm de altura e 62,83 mm de base. A eficiência é de 24,0% porque o atrito acrescenta 8,531° a uma inclinação que, para começar, era de apenas 2,734°.

    Três quartos do trabalho perdem-se na rosca. Isso não é um defeito tolerado, mas sim a funcionalidade pela qual pagamos. Uma máquina tão ineficiente a devolver trabalho não pode ser empurrada para trás pela sua própria carga. É precisamente isso que tan λ ≤ μ afirma: 0,0477 contra 0,15, pelo que bloqueia automaticamente com folga. Eis a razão pela qual uma porca se mantém apertada sem roquete, sem lingueta e sem mola. Explica também porque um macaco de automóvel sustém uma tonelada no ar enquanto larga a manivela. Mude o modo para Rampa e tente encontrar um ângulo que bloqueie automaticamente e, em simultâneo, forneça uma vantagem de 20. Não existe nenhum. Numa rampa aberta, as duas condições puxam em sentidos opostos. Enrolar o triângulo num cilindro é o que permite ao parafuso ter ambas.

Percurso de aprendizagem

Máquinas simples: trocar força por distância

Conduz a Trens de engrenagens

· Atualizado

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

Todas as lições de Física →

Problemas de exemplo

  • Rampa Suave (15°) - Uma rampa de 15° com μ = 0,2: 500 N empurrados com 226,0 N. A geometria oferece 3,86 e o atrito devolve 2,21, a 57,3% de eficiência.
  • Rampa Íngreme (45°) - Uma rampa de 45° com μ = 0,3: 459,6 N de empurrão para uma vantagem quase nula de 1,09. Ainda assim, é a configuração mais eficiente aqui presente, atingindo os 76,9%.
  • Parafuso Padrão - Um passo de 3 mm num raio de 10 mm: uma inclinação de 2,734°, vantagem ideal de 20,94 e 24,0% de eficiência. Autobloqueante, como qualquer perno deve ser.
  • Cunha de Rachar (15°) - Uma cunha de rachar de 15° a μ = 0,25: 631,4 N de martelada para aplicar 800 N lateralmente, com 16,7% de eficiência. A máquina menos eficiente do capítulo, e, no entanto, continua a rachar o tronco.