Simulador de Relação e Velocidade de Engrenagens

por que uma destas engrenagens não altera a relação, e uma delas faz tudo

Exemplo resolvido — Simulador de Relação e Velocidade de Engrenagens

Relação de Transmissão Total	3,00:1
Velocidade de Saída (RPM)	400,0 RPM
Torque de Saída	30,0 N·m
Sentido de Rotação	Anti-horário
Engrenagem 1 (N1)	12 dentes
Engrenagem 2 (N2)	36 dentes
Engrenagem 3 (N3)	24 dentes
Engrenagem 4 (N4)	36 dentes

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

As engrenagens do meio mudam o sentido e mais nada 🖖

Em um trem simples, a relação é o número de dentes da última engrenagem dividido pelo da primeira, e todas as engrenagens entre elas se anulam. A predefinição com intermediárias transmite de 12 para 36 dentes passando por engrenagens de 36 e 24, e o resultado é 3,00:1. Substitua essas duas por 20 e 90, 100 e 8, ou 12 e 12. O painel continuará marcando 3,00:1 e 400 rpm. Uma intermediária justifica sua presença ao inverter a rotação ou cobrir a distância entre eixos. É uma função importante. No entanto, não atua na relação de transmissão.

A composição é o que realmente multiplica 🖖

Fixe uma segunda roda dentada ao mesmo veio: as relações das etapas multiplicam-se, em vez de se anularem. A configuração composta usa rodas de 12, 36, 12 e 48 dentes, com relações sucessivas de 3,00 e 4,00, até chegar a 12,000. As rodas escolhidas são tão importantes como a divisão em etapas: se compuser as rodas de 12, 36, 24 e 36 dentes do próprio trem simples, o resultado será 4,50, pois as duas últimas têm 24 e 36 dentes, e não 12 e 48. É assim que uma caixa de velocidades obtém uma relação elevada num espaço reduzido. Há outras soluções; um parafuso sem-fim ou um conjunto planetário consegue o mesmo de outra forma.

Velocidade e torque são lados da mesma moeda, e a potência fica intacta 🖖

Uma relação de 12 reduz a velocidade para a décima segunda parte e multiplica o binário por 12: entram 1 200 rpm e 10 N·m; saem 100 rpm e 120 N·m. O produto é 12 000 em ambos os lados e mantém-se igual, quaisquer que sejam os números de dentes escolhidos. Invertendo o funcionamento com a configuração de sobremarcha, o mesmo cálculo transforma 500 rpm e 100 N·m em 4 500 rpm e 11,1 N·m. As engrenagens trocam velocidade angular por binário; não produzem potência.

Problemas resolvidos na íntegra

As duas engrenagens do meio que não fazem qualquer diferença 7 passos
Carregue Trem simples com roda intermédia: 12, 36, 24 e 36 dentes, com entrada a 1 200 rpm e 10 N·m. O painel indica uma relação de 3,00:1. Duas dessas quatro contagens de dentes não têm qualquer efeito nessa relação. Demonstre quais são; depois, altere a divisão em etapas e veja o que essas mesmas quatro rodas podem realmente fornecer.
1. Uma regra aplica-se a todos os engrenamentos: onde duas engrenagens se tocam, os dentes passam pelo ponto de contacto à mesma taxa, pelo que a engrenagem menor roda mais depressa na proporção exata do número de dentes.
  
  $\frac{ω _{1}}{ω _{2}} = \frac{N _{2}}{N _{1}} at every mesh$
2. Um trem simples consiste em três engrenamentos em série, pelo que se multiplicam os três.
  
  $\frac{ω _{in}}{ω _{out}} = \frac{N _{2}}{N _{1}} \cdot \frac{N _{3}}{N _{2}} \cdot \frac{N _{4}}{N _{3}}$
3. Ao introduzir os números, cada andar parece ter importância: um de 3,00, depois um de 0,667 e, em seguida, um de 1,50.
  
  $= \frac{36}{12} \cdot \frac{24}{36} \cdot \frac{36}{24} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 3.000$
4. Agora, cancele. Cada número do meio aparece uma vez no numerador e uma vez no denominador, pelo que todo o produto se reduz ao último sobre o primeiro, e as engrenagens entre eles não deixam qualquer rasto no resultado.
  
  $\frac{N _{2}}{N _{1}} \cdot \frac{N _{3}}{N _{2}} \cdot \frac{N _{4}}{N _{3}} = \frac{N _{4}}{N _{1}} = \frac{36}{12} = 3$
5. O resto decorre apenas da relação. A velocidade divide-se, o binário multiplica-se.
  
  $ω_{out} = \frac{1200}{3} = 400 rpm, τ_{out} = 10 \times 3 = 30 N m$
6. E o produto permanece intacto. As engrenagens transferem potência entre a velocidade e a força; nunca a criam, e a ferramenta mantém este princípio em todas as configurações.
  
  $ω τ (rpm \cdot N m) : 1200 \times 10 = 400 \times 30 = 12, 000$
7. Para que as engrenagens do meio influenciem o resultado, monte duas delas no mesmo eixo, obrigando-as a rodar em conjunto. Assim, as relações de cada estágio multiplicam-se em vez de se anularem, e as mesmas quatro contagens de dentes dão 4,50 em vez de 3,00.
  
  $compounded instead: \frac{36}{12} \cdot \frac{36}{24} = 3.00 \times 1.50 = 4.50$
Resposta

A relação de transmissão é 36/12 = 3, apresentada como 3,00:1, e as engrenagens 2 e 3 não têm qualquer efeito nesse valor. Mesmo percorrendo todos os pares de engrenagens intermediárias permitidos pela ferramenta, a relação não se altera.

Uma engrenagem intermediária tem utilidade, embora não altere a relação de transmissão. Inverte o sentido de rotação da saída, como mostram as setas que alternam ao longo do trem de engrenagens, e permite transmitir o movimento através de um espaço sem recorrer a uma corrente mais comprida nem a um par maior. Não consegue, porém, mudar a velocidade de rotação do último eixo. Quando é necessária uma relação elevada num espaço reduzido, usa-se um trem composto: altere a montagem dos estágios e, com as mesmas contagens de dentes, 3,00 × 1,50 = 4,50, 266,7 rpm e 45,0 N·m. É isso que distingue uma caixa de velocidades de uma simples fila de engrenagens.
O eixo que fica a meio de uma caixa de duas etapas 6 passos
Carregue Multiplicador (12:1): 12, 36, 12 e 48 dentes, entrada a 1.200 rpm com 10 N·m, saída a 100 rpm com 120 N·m. Entre esses dois eixos existe um terceiro que o painel nunca menciona. Calcule o que ele está a suportar e decida depois qual das duas etapas deve fazer a redução maior.
1. As duas etapas multiplicam-se porque as engrenagens 2 e 3 estão chavetadas ao mesmo eixo e não podem rodar uma sem a outra. Três vezes quatro é doze, e é só desse número que saem os cartões da velocidade e do binário.
  
  $i = \frac{N _{2}}{N _{1}} \cdot \frac{N _{4}}{N _{3}} = \frac{36}{12} \cdot \frac{48}{12} = 3.00 \times 4.00 = 12.00 ⟹ 100.0 rpm, 120.0 N m$
2. Esse eixo é onde a primeira etapa termina e a segunda começa. Roda à velocidade de entrada dividida pela primeira relação e suporta o binário de entrada multiplicado por ela.
  
  $n_{mid} = \frac{n _{in}}{r _{1}} = \frac{1200}{3.00} = 400 rpm, T_{mid} = T_{in} r_{1} = 10 \times 3.00 = 30 N m$
3. O que deixa o produto intacto uma segunda vez. O painel já o mostra a manter-se entre a entrada e a saída; mantém-se também no meio, porque um trem de engrenagens não tem onde guardar seja o que for.
  
  $n T (rpm \cdot N m) : 1200 \times 10 = 400 \times 30 = 100 \times 120 = 12, 000$
4. Agora troque as etapas: primeiro o quatro, depois o três. A relação total continua a ser 12,00:1 e a saída continua nas 100 rpm com 120 N·m, pelo que nada do que se vê na página mudou. O eixo intermédio mudou: roda mais devagar e suporta mais um terço de binário.
  
  $stages swapped (12/48/12/36) : i = 4.00 \times 3.00 = 12.00, n_{mid} = 300 rpm, T_{mid} = 40 N m$
5. O enunciado geral é curto. A primeira relação fixa por completo o eixo intermédio, e as duas relações têm de multiplicar até à relação total pretendida, pelo que o binário intermédio cai algures entre o da entrada e o da saída e nunca fora deles.
  
  $T_{mid} = T_{in} r_{1}, n_{mid} = \frac{n _{in}}{r _{1}}, r_{1} r_{2} = i fixed ⟹ T_{in} \leq T_{mid} \leq T_{out}$
6. Vale a pena escolher, porque um eixo é dimensionado pelo binário e não pela velocidade. Para uma dada tensão de corte admissível, o diâmetro varia com a raiz cúbica do binário.
  
  $d \propto T^{1/3} (torsion, one allowable shear stress) : (\frac{40}{30})^{1/3} = 1.10$
Resposta

400 rpm a 30 N·m, e 12.000 rpm·N·m, o mesmo produto que nas duas pontas.

Ponha primeiro a redução pequena e o eixo intermédio roda depressa e pouco carregado; ponha primeiro a grande e ele roda devagar e carregado. A disposição 3 e depois 4 desta predefinição dá 30 N·m, a disposição 4 e depois 3 dá 40, e a regra da raiz cúbica traduz isso em cerca de 10% no diâmetro do eixo e 21% no seu peso. O eixo rápido tem custos próprios: os seus rolamentos giram a 400 rpm em vez de 300 e as suas engrenagens engrenam a maior velocidade tangencial, pelo que a regra é um ponto de partida e não um veredito. O que torna isto fácil de ignorar é que a relação total, a velocidade de saída, o binário de saída e o sentido de rotação são idênticos nos dois casos. Todos os cartões da página são cegos a esta decisão.

$n_{mid} T_{mid} = n_{in} T_{in} always; min T_{mid} ⟺ min r_{1} (small stage first)$

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Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-09-03

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Problemas de exemplo

Trem Simples - Doze dentes para trinta e seis através de duas intermediárias: relação de 3,00:1. As duas engrenagens centrais poderiam ter quase qualquer tamanho sem alterar o resultado.
Redutor de Vel. (4:1) - Uma redução de quatro para um: 1.800 rpm na entrada contra 450 na saída, e torque passando de 15 para 60 N·m.
Multiplicador (12:1) - 12, 36, 12 e 48 dentes, em composição: 3,00 × 4,00 = 12,000; à saída, 100 rpm e 120 N·m.
Trem Acelerador - Composição no sentido inverso: 500 rpm transformam-se em 4.500, e 100 N·m passam a 11,1. A potência é 50.000 de cada lado.