Lições Interativas de Matemática e Ciências

Rosca de parafuso

When does a screw hold its load without input?

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O ângulo decide se a rosca trava 🖖

Desenrole uma volta da rosca e terá uma rampa. Ela sobe a altura do passo enquanto contorna o eixo uma vez, sendo a sua inclinação tan λ = p / 2πr. O atrito tem a sua própria inclinação. Incline uma tábua até um bloco nela começar a deslizar, e o ângulo que mediu será φ = arctan μ. A rosca trava sempre que λ ≤ φ.

Falta, porém, um elemento nesta comparação. O peso da carga não está em nenhum dos lados. A gravidade puxa a carga para baixo ao longo da rosca e empurra-a contra os flancos na mesma proporção. Os dois efeitos anulam-se por completo. Um parafuso que trava a 200 N continua a travar a 20 kN. Arraste o cursor da carga desde os 100 N até aos 5 000 N e o veredicto nunca muda.

Cinquenta por cento marca o limite 🖖

Em toda a gama onde um fuso trava, o rendimento aumenta com o ângulo de avanço, e travar é o que limita o ângulo de avanço a φ. Assim, o fuso mais eficiente que ainda trava é aquele que se encontra exatamente na fronteira, onde λ = φ transforma η = tan λ / tan(λ + φ) em tan φ / tan 2φ. Isso simplifica-se para (1 − μ²)/2.

Aproxima-se de metade à medida que o atrito desaparece. Como uma rosca sem atrito nada sustenta, nenhum fuso alguma vez lá chega. Para μ = 0,15 o teto é 48,9%. Carregue o fuso de avanço de 5 mm e suba o passo para 6,0 mm: ele ainda trava, a 49,2%. Mais um incremento, para 6,5 mm, e inverte o movimento a 51,1%. Entre as 116 280 combinações de raio, passo e atrito que os cursores alcançam, o melhor que qualquer fuso autoblocante atinge é 49,86%.

O passo troca força por velocidade 🖖

Cada volta faz a porca avançar exatamente um passo, logo a vantagem ideal é o perímetro a dividir pelo passo e nada mais. Duplique o passo do M10 de 1,5 mm para 3 mm e a vantagem desce para metade, de 20,94 para 10,47.

O rendimento evolui no sentido inverso, de 24,0% para 38,3%. Isso não salva o esforço. Aquilo que a sua mão empurra é o produto dos dois, e o produto simplifica-se para cot(λ + φ), que apenas encolhe quando o passo aumenta. O esforço passa de 199,2 N para 249,1 N. Ao longo de todas as 116 280 posições dos cursores, não existe nenhuma em que um passo mais largo seja mais fácil de rodar. Menos voltas é tudo o que se ganha em troca.

Problema resolvido na íntegra

  1. Mil newtons suspensos por um parafuso que se aperta com dois dedos 6 passos

    Carregue na predefinição M10 coarse: um passo de 1,5 mm num veio de 5 mm de raio, μ = 0,15, a suster 1.000 N. O painel indica 199,2 N de esforço com um rendimento de 24,0%. Determine de onde vêm os 199,2 N, converta-os na força que a sua mão sente de facto numa chave e decida depois se 24,0% é um número com que se preocupar.

    1. Comece por desenrolar uma volta da rosca. Ela sobe o valor do passo e percorre uma vez o contorno do veio, portanto é uma rampa cujo declive é o passo a dividir pela circunferência. Tome o arco-tangente desse declive e tem o ângulo de avanço.

    2. O atrito recebe o mesmo tratamento, e é esse o passo que torna fácil tudo o que se segue. μ = 0,15 é a tangente do ângulo a que um bloco sobre uma tábua inclinada começa a deslizar, pelo que o atrito são 8,531° de declive. A rosca é menos inclinada do que isso, e é por isso que o parafuso continua apertado de manhã.

    3. Empurrar uma carga por um declive rugoso custa o seu peso vezes a tangente da soma dos dois ângulos: a rampa que se sobe mais o atrito que se arrasta. Um parafuso é essa rampa enrolada em torno de um veio, pelo que a mesma expressão dá o esforço, medido como uma força que atua no raio da rosca.

    4. O painel chega pelo lado oposto, dividindo a carga pela vantagem ideal e depois pelo rendimento, e aterra nos mesmos 199,2 N. Concordam por uma razão que vale a pena guardar: a vantagem ideal é 1/tan λ e o rendimento traz tan λ em cima, pelo que o ângulo de avanço se cancela e a vantagem real de qualquer parafuso é simplesmente cot(λ + φ).

    5. Agora o passo que a página não dá por si. Esses 199,2 N atuam a 5 mm do eixo, portanto o que tem de fornecer é um momento, e é pequeno.

    6. Uma chave sobre uma cabeça M10 tem cerca de 150 mm e a sua mão está na ponta mais afastada. A chave é uma segunda máquina em série com a rosca, e é ela que faz a maior parte do trabalho.

    Resposta

    199,2 N na rosca, 0,996 N m de momento e 6,64 N na ponta da chave. Menos de 700 gramas de força a segurar cem quilos no ar. A vantagem ideal da rosca é 20,94 e a chave multiplica-a por mais 30, o que dá 628 num mundo sem atrito; tome 24,0% disso e obtém os 151 que a aritmética acima entregou de facto. É aí que o rendimento surge finalmente como algo que se consegue sentir.

    Então, vale a pena preocupar-se com os 24,0%? Conte o que isso custa aqui. Uma volta completa mete 6,26 J na rosca e eleva a carga 1,5 mm, ou seja, 1,5 J de trabalho; os outros 4,76 J vão para os flancos sob a forma de calor. Seis voltas e dois terços elevam a carga 10 mm e perdem 32 J, menos de um segundo de braço humano, e ninguém na história dos parafusos deu por isso.

    Ponha a mesma rosca sob um motor a acionar um fuso de avanço oito horas por dia e esses mesmos 76% fixam o tamanho do motor, a temperatura de funcionamento da porca e a rapidez com que ambos se desgastam. Um número, dois veredictos, e o que decide entre eles é a frequência com que a máquina trabalha e não algo relativo ao parafuso.

    Uma coisa que esta página deixa de fora. Um parafuso real arrasta também a face da cabeça contra a junta e, em aço nu, esse termo leva aproximadamente outro tanto de momento. Os 0,996 N m são a parcela da rosca, não uma especificação de aperto.

Percurso de aprendizagem

Máquinas simples: trocar força por distância

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Problemas de exemplo

  • M10 coarse - Um passo de 1,5 mm num raio de 5 mm cria uma hélice de 2,73°, contra um ângulo de atrito de 8,53°, logo a rosca sustenta os seus 1 000 N sem a chave. Essa margem é o que se paga com o rendimento: 24,0%, e 199,2 N de força na rosca para sequer erguer a carga.
  • 5 mm lead screw - Passo de 5 mm num raio de 8 mm: a hélice chega aos 5,68° e o rendimento quase duplica, para 44,8%. Continua a travar, mas com escassamente um grau de margem onde o M10 tinha quase seis. É por isso que um fuso de avanço pode ficar em repouso sob carga e um fuso de esferas precisa de travão.
  • fast pitch - Um passo de 12 mm num raio de 5 mm coloca a hélice nos 20,91°, bem além do ângulo de atrito de 4,57°, logo a carga faz o fuso recuar no instante em que o largamos. O rendimento é de 80,2%, mais do triplo do M10, e o esforço continua nos 285,9 N, pois a vantagem ideal ruiu para 2,62.