Vantagem Mecânica do Sarilho

uma maçaneta, um volante e uma chave de fendas são a mesma máquina com números diferentes

Exemplo resolvido — Vantagem Mecânica do Sarilho

VM Ideal (R / r)	6,00
VM Real	5,40
Força Aplicada (E)	92,6 N
Corda na Roda por Volta	3,77 m
Raio da Roda (R)	60 cm
Raio do Eixo (r)	10 cm
Força de Carga (L)	500 N
Eficiência (η)	90%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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A razão dos raios é a razão das distâncias 🖖

A vantagem mecânica é R/r. Uma volta completa enrola 2πR no aro, em oposição a 2πr no eixo. O termo 2π anula-se. A razão das distâncias coincide, portanto, com a dos raios: o sarilho do poço converte 3,770 m de percurso da manivela em 0,628 m de corda. É uma proporção exata de seis para um, o mesmo seis da sua vantagem ideal. Qualquer mecanismo de roda e eixo nesta ferramenta obedece a esta lógica, visto ser a mesma afirmação escrita duas vezes.

É uma alavanca cujo curso nunca termina 🖖

Basta colocar o ponto de apoio no centro do eixo para perceber que os dois raios representam os dois braços de uma alavanca interfixa. A expressão R/r é a/b sob um nome diferente. A grande novidade da forma circular é que o curso nunca chega ao fim. Um pé-de-cabra esgota-se quando a barra atinge o chão, mas um sarilho continua a rodar. Eis a razão pela qual as máquinas que precisam de elevar cargas continuamente sem nunca reiniciar o movimento (como as dos poços, âncoras e elevadores) são construídas em torno de um eixo em vez de uma barra.

O destino dos joules em falta 🖖

A predefinição da maçaneta opera a 95%: num total de 33,1 J de trabalho de rotação, 31,4 J chegam ao trinco e 1,7 J aquecem o veio. Trata-se de uma máquina excelente. Com 85%, o sarilho do poço dissipa 66,5 J em cada 443,5 J. Sente-se essa diferença na manivela, que se torna mais pesada do que a aritmética prometia, exigindo 117,6 N em vez dos 100 N ideais. O rendimento é a razão entre a vantagem que a geometria oferece e a que as suas mãos obtêm.

Problemas resolvidos na íntegra

Por que motivo a manivela do sarilho percorre 3,77 metros para subir 63 centímetros de corda 6 passos
Carregue o Sarilho de Poço. Um raio de manivela de 60 cm num eixo de 10 cm, um balde de 600 N e 85% de eficiência. O painel indica uma vantagem ideal de 6,00 e um esforço de 117,6 N. Calcule ambos. Em seguida, calcule a distância que a sua mão percorre.

Abrir este problema na ferramenta
1. A vantagem corresponde à razão entre os dois raios. É um resultado direto do cálculo de momentos: o eixo é o mesmo, logo o binário ideal também o é. Uma força seis vezes menor, aplicada a uma distância de seis vezes o raio, estabelece o equilíbrio.
  
  $MA_{ideal} = \frac{R}{r} = \frac{60}{10} = 6.00$
2. As distâncias são o campo em que esta razão mostra o seu verdadeiro valor. Uma volta completa enrola a circunferência em cada raio.
  
  $one turn: s_{R} = 2 π R = 3.770 m, s_{r} = 2 π r = 0.628 m$
3. Ao dividir uma pela outra, o 2π anula-se. A razão das distâncias é exatamente a razão dos raios. Encontramos o mesmo 6 que a razão das forças nos deu. Chegámos a este valor através da geometria em vez dos momentos.
  
  $\frac{s _{R}}{s _{r}} = \frac{2 π R}{2 π r} = \frac{R}{r} = 6.0000$
4. A eficiência reduz a vantagem. A 85%, o seis passa a 5,10.
  
  $MA_{actual} = \frac{R}{r} η = 6.00 \times 0.85 = 5.10$
5. A manivela torna-se assim mais pesada do que a máquina ideal previa. Este acréscimo é de 17,6%, e não dos 15% perdidos no rendimento. Isto acontece porque dividir a vantagem por 0,85 corresponde a multiplicar o esforço por 1/0,85.
  
  $E = \frac{600}{5.10} = 117.6 N (ideal would be 100.0 N)$
6. Calcule o trabalho e os joules em falta aparecem por si mesmos. São 66,5 J dos 443,5 que introduziu, os quais aquecem a chumaceira.
  
  $W_{in} = 117.65 \times 3.7699 = 443.5 J, W_{out} = 600 \times 0.6283 = 377.0 J$
Resposta

Seis para um. O esforço na manivela atinge 117,6 N em vez dos 100,0 N necessários num sarilho ideal, trocando-se 3,770 m de percurso da mão por cada 0,628 m de corda.

Um pé-de-cabra interrompe o movimento assim que a barra bate no chão. Uma alavanca capaz de elevar um balde do fundo de um poço teria de ser tão comprida quanto a profundidade do próprio poço. Um eixo simplesmente continua a rodar, pelo que a mesma vantagem de seis para um se mantém ao longo dos metros que desejar. Este é o motivo pelo qual as máquinas de tração contínua sem reposição inicial assentam num eixo: o guincho da âncora, o elevador e a torneira que abriu hoje de manhã.
O que a chave de fendas faz assim que se larga a mão 6 passos
Carregue a Chave de Fendas (5:1): um raio de cabo de 15 cm sobre um veio de 3 cm, 50 N de carga, 90% de eficiência e 11,1 N no bordo. Calcule o que a carga faz no instante em que retira a mão e decida depois quão mau tem de ser um sarilho para segurar um balde sozinho.

Abrir este problema na ferramenta
1. O painel: cinco para um a partir dos raios, 4,50 depois de aplicados os 90%, pelo que onze newtons no bordo equilibram cinquenta no veio.
  
  $MA = \frac{R}{r} η = 5.00 \times 0.90 = 4.50, E = \frac{50}{4.50} = 11.11 N$
2. Conte os joules de uma volta completa. O bordo percorre 0,94 m, o veio 0,19 m, e um dos dez joules e meio vai para a chumaceira.
  
  $one turn: W_{in} = 11.11 \times 0.9425 = 10.472 J, W_{out} = 50 \times 0.1885 = 9.425 J, W_{loss} = 1.047 J$
3. Agora deixe que seja a carga a acionar o conjunto. As mesmas superfícies deslizam a mesma distância sob as mesmas forças, pelo que a chumaceira leva o mesmo joule, só que desta vez ele sai do trabalho da carga em vez de se somar ao seu. Essa igualdade é a única suposição do cálculo, e é o que torna o caso inverso sequer calculável.
  
  $driven from the axle, same surfaces and same travel ⟹ W_{loss}^{'} = W_{loss} = 1.047 J$
4. Assim, a eficiência inversa é o que sobra do trabalho da própria carga, e reduz-se a uma expressão que não tem lá dentro nada além da eficiência direta.
  
  $η_{rev} = \frac{9.425 - 1.047}{9.425} = \frac{8.378}{9.425} = 0.8889 = 2 - \frac{1}{0.90}$
5. Em força: a carga empurra de volta no bordo com 8,89 N. Tem de a segurar quase com a mesma força com que a rodou.
  
  $F_{hold} = \frac{L r}{R} η_{rev} = 50 \times 0.200 \times 0.8889 = 8.89 N (against 11.11 N to raise it)$
6. A expressão esgota-se em um meio. Abaixo disso a carga não consegue mover a máquina de todo, e a ferramenta mostra o que isso custa, porque levantar a mesma carga a 50% exige o dobro do esforço ideal.
  
  $η_{rev} \leq 0 ⟺ η \leq 0.50; η = 0.50 ⟹ E = 20.0 N = 2 \times \frac{50}{5.00}$
Resposta

Desenrola-se. 8,89 N no bordo, contra os 11,11 N necessários para a levantar.

Uma máquina segura a sua própria carga apenas quando é pior do que 50% eficiente, e nenhuma das quatro predefinições desta ferramenta chega perto: a maçaneta a 95% devolve 94,7%, o volante e a chave de fendas a 90% devolvem 88,9%, o sarilho de poço a 85% devolve 82,4%. Arraste o cursor da eficiência até ao seu mínimo de 10% e o valor inverso é −8, o que significa que a carga não a consegue mexer por mais pesada que fique. É por isso que um sarilho de poço se constrói com um linguete e uma chave de fendas se constrói com a mão à volta dela. Um diferencial é a única máquina em que se paga a eficiência duas vezes: uma ao comprá-la e outra no roquete que se tem de lhe aparafusar por causa dela.

$η_{rev} = 2 - \frac{1}{η} : 0.95 \to 0.947, 0.90 \to 0.889, 0.85 \to 0.824, 0.50 \to 0, 0.10 \to - 8$

Percurso de aprendizagem

Máquinas simples: trocar força por distância

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.