As derivadas parciais e o gradiente

Arrasta o ponto pelo mapa de curvas de nível. As duas derivadas parciais dão os declives segundo os eixos. Roda o seletor de direção: «Declive nesta direção» mostra o declive que sentirias ao caminhar nesse rumo.

A derivada parcial	$f_{x} (x, y) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h , y ) - f ( x , y )}{h}$
O declive na direção de u	$D_{u} f = \nabla f \cdot u = ∣\nabla f ∣ cos (θ - θ_{g}) ∣\nabla f ∣ = f_{x}^{2} + f_{y}^{2}$
O plano tangente	$z = f (a, b) + f_{x} (a, b) (x - a) + f_{y} (a, b) (y - b)$
O teste das segundas derivadas, num ponto onde ∇f = 0 (D < 0: ponto de sela)	$D = f_{xx} f_{y y} - f_{x y}^{2} D > 0, f_{xx} > 0 : min D > 0, f_{xx} < 0 : max$

Exemplo resolvido — As derivadas parciais e o gradiente

Altura	3,5
∂f/∂x	3,000
∂f/∂y	4,000
Inclinação máxima \|∇f\|	5,000
Rumo de inclinação máxima	53,1°
Inclinação neste rumo	3,000
Plano tangente	3x + 4y − 3,5

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — As derivadas parciais e o gradiente

Uma derivada parcial de f(x, y) obtém-se derivando em relação a uma variável e mantendo a outra constante: f_x é o declive da superfície ao caminhar na direção de x; f_y, ao caminhar na direção de y.

O que significa cada símbolo

∇f: o gradiente, o vetor (f_x, f_y)
θ: o ângulo da direção, em graus a partir de este
D: o discriminante f_xx f_yy − f_xy²

De onde vem a fórmula

Mantém uma variável constante. Para calcular f_x, considera y constante e deriva como habitualmente; para f_y, faz o inverso.
$f = 1.5 x^{2} + 2 y^{2} : f_{x} = 3 x, f_{y} = 4 y$
O gradiente. As duas derivadas parciais formam um vetor, ∇f. A seta colorida no mapa representa-o: aponta no sentido da subida mais íngreme e a sua norma é o declive máximo.
$\nabla f = (f_{x}, f_{y}), ∣\nabla f ∣ = f_{x}^{2} + f_{y}^{2}$
Qualquer outra direção. O declive numa direção de ângulo θ é o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário dessa direção. Equivale ao declive máximo multiplicado pelo cosseno do ângulo entre as duas direções e é 0 na direção tangente à curva de nível.
$D_{u} f = f_{x} cos θ + f_{y} sin θ = ∣\nabla f ∣ cos (θ - θ_{g})$
O plano tangente. Perto de um ponto, a superfície aproxima-se de um plano cujos declives são as duas derivadas parciais. É a versão, para duas variáveis, da reta tangente da página sobre derivadas.
$z = f (a, b) + f_{x} (a, b) (x - a) + f_{y} (a, b) (y - b)$
Quando as duas derivadas parciais são 0. O ponto é crítico e a classificação depende do discriminante D: se D > 0 e f_xx > 0, há um mínimo; se D > 0 e f_xx < 0, há um máximo; se D < 0, há um ponto de sela. Para D = 0, o teste é inconclusivo.
$D = f_{xx} f_{y y} - f_{x y}^{2}$

Problemas resolvidos na íntegra

Derivadas parciais de primeira e segunda ordem 4 passos
Para f(x, y) = x³y² − 2xy + y³, calcula f_x, f_y e as três derivadas parciais de segunda ordem em (1, 2), e verifica que as duas derivadas mistas coincidem.

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1. Para calcular f_x, considera y constante; para calcular f_y, considera x constante:
  
  $f_{x} = 3 x^{2} y^{2} - 2 y, f_{y} = 2 x^{3} y - 2 x + 3 y^{2}$
2. Em (1, 2):
  
  $f_{x} (1, 2) = 12 - 4 = 8, f_{y} (1, 2) = 4 - 2 + 12 = 14$
3. Deriva novamente. A derivada parcial mista pode calcular-se por qualquer das ordens de derivação:
  
  $f_{xx} = 6 x y^{2}, f_{y y} = 2 x^{3} + 6 y, f_{x y} = (f_{x})_{y} = 6 x^{2} y - 2 = (f_{y})_{x} = f_{y x}$
4. Em (1, 2):
  
  $f_{xx} (1, 2) = 24, f_{y y} (1, 2) = 14, f_{x y} (1, 2) = f_{y x} (1, 2) = 10$
Resposta

f_x = 8, f_y = 14, f_xx = 24, f_yy = 14 e f_xy = f_yx = 10. As duas derivadas mistas coincidem onde são contínuas, pelo teorema de Schwarz, também frequentemente atribuído a Clairaut. Qualquer polinómio satisfaz esta condição.
Declive numa direção e declive máximo 4 passos
Para f(x, y) = x²y + y³, calcula a taxa de variação em (2, 1) na direção do vetor (3, 4), bem como a taxa de variação máxima nesse ponto e a respetiva direção.

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1. Começa pelo gradiente:
  
  $\nabla f = (2 x y, x^{2} + 3 y^{2}) \Rightarrow \nabla f (2, 1) = (4, 7)$
2. A direção tem de ser representada por um vetor unitário. Como (3, 4) tem norma 5:
  
  $u = \frac{1}{5} (3, 4) = (0.6, 0.8), θ = atan2 (4, 3) = 53.1 3^{\circ}$
3. A derivada direcional é o produto escalar:
  
  $D_{u} f = 4 (0.6) + 7 (0.8) = 2.4 + 5.6 = 8$
4. A taxa de variação máxima é a norma do gradiente e ocorre na direção e no sentido do próprio gradiente:
  
  $∣\nabla f ∣ = 4^{2} + 7^{2} = 65 = 8.062, θ_{g} = atan2 (7, 4) = 60. 3^{\circ}$
Resposta

8 na direção de (3, 4); o máximo é √65 = 8,062, na direção de 60,3°. Esquecer a divisão de (3, 4) pela sua norma dá 40, um resultado cinco vezes maior do que o correto. É o erro mais frequente neste exercício.
Plano tangente e aproximação 3 passos
Determina o plano tangente a z = √(x² + y²) em (3, 4) e usa-o para obter um valor aproximado de √(3,02² + 3,97²).

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1. Em (3, 4), a altura é 5. As derivadas parciais são x/√(x² + y²) e y/√(x² + y²):
  
  $f (3, 4) = 5, f_{x} = \frac{3}{5} = 0.6, f_{y} = \frac{4}{5} = 0.8$
2. O plano tangente constrói-se com a altura e os dois declives:
  
  $z = 5 + 0.6 (x - 3) + 0.8 (y - 4) = 0.6 x + 0.8 y$
3. Em (3,02; 3,97):
  
  $z = 0.6 (3.02) + 0.8 (3.97) = 1.812 + 3.176 = 4.988$
Resposta

O plano tangente é z = 0,6x + 0,8y e dá 4,988, face ao valor real de 4,988116. Perto de (3, 4), a superfície é quase plana e o plano acompanha-a de perto, tal como a reta tangente acompanhava a curva na página sobre derivadas.
Pontos críticos e teste das segundas derivadas 3 passos
Determina e classifica os pontos críticos de f(x, y) = x³ + y³ − 3xy.

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1. Iguala as duas derivadas parciais a 0:
  
  $f_{x} = 3 x^{2} - 3 y = 0, f_{y} = 3 y^{2} - 3 x = 0$
2. Da primeira equação obténs y = x². Substituindo na segunda, resulta x⁴ = x, pelo que x = 0 ou x = 1:
  
  $y = x^{2} \Rightarrow x^{4} = x \Rightarrow x (x^{3} - 1) = 0 \Rightarrow (0, 0), (1, 1)$
3. As derivadas parciais de segunda ordem são f_xx = 6x, f_yy = 6y e f_xy = −3. Aplica o teste a cada ponto:
  
  $D (0, 0) = 0 \cdot 0 - (- 3)^{2} = - 9 < 0, D (1, 1) = 6 \cdot 6 - (- 3)^{2} = 27 > 0, f_{xx} = 6 > 0$
Resposta

(0, 0) é um ponto de sela e (1, 1) é um mínimo local, com f(1, 1) = −1. A superfície atinge valores inferiores: ao longo da reta y = x, temos f = 2x³ − 3x², que decresce sem limite quando x → −∞.
Declive de uma encosta que sobe 3 metros para este e 4 para norte 6 passos
Numa encosta, o terreno sobe 3 metros por cada 100 percorridos para este e 4 metros por cada 100 percorridos para norte. Qual é o declive máximo da encosta, em que direção desce e que direção deve seguir uma estrada para subir com metade desse declive?

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1. As duas medições são as derivadas parciais. É mais fácil lê-las como 3 e 4 por cada cem do que como 0,03 e 0,04, e o cálculo é o mesmo.
  
  $f_{x} = 3, f_{y} = 4$
2. O declive máximo é a norma do gradiente. Para o obter, aplica-se o teorema de Pitágoras aos declives medidos: 3 e 4 dão 5. É esse o maior declive que se sente ao caminhar.
  
  $∣\nabla f ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$
3. A direção é dada por atan2(4, 3), ou seja, 53,1° a partir de este. A descida faz-se no sentido oposto, a 233,1°. Nenhuma das medições foi feita nestas direções.
  
  $θ_{g} = atan2 (4, 3) = 53.1 3^{\circ}$
4. Para uma estrada com declive de 2,5 por cada cem, usa a identidade no sentido inverso. Numa direção que faz um ângulo θ com a direção de maior declive, o declive é 5 cos θ. Logo, cos θ = 2,5/5 e θ = 60°.
  
  $D_{u} f = ∣\nabla f ∣ cos θ \Rightarrow cos θ = \frac{2.5}{5}, θ = 6 0^{\circ}$
5. É preciso um desvio de 60°. A 45°, a estrada ainda subiria 3,54 por cada cem, ou seja, 71% do declive máximo, bastante acima de metade.
  
  $5 cos 4 5^{\circ} = 3.54 (71% of 5)$
6. O mesmo cosseno determina o comprimento do percurso. Para vencer um dado desnível com metade do declive, é preciso percorrer o dobro da distância horizontal, enquanto o declive se mantiver. É esta relação que explica as curvas em ziguezague das estradas de montanha.
  
  $length \propto 1/ cos 6 0^{\circ} = 2$
Resposta

O declive máximo da encosta é 5 m por cada 100 m, com subida na direção de 53,1° e descida a 233,1°. Uma estrada com declive de 2,5 m por cada 100 m tem de fazer um ângulo de 60° com a direção de maior declive e percorrer o dobro da distância. A ferramenta responde à primeira parte: escolhe uma direção e ela dá-te o declive. A segunda parte coloca o problema inverso, o mesmo que surge ao projetar uma estrada, cumprir uma norma de acessibilidade para rampas ou classificar uma pista de esqui: dado o declive permitido, que direção é preciso seguir?
A direção de declive nulo e até onde se mantém horizontal 6 passos
Em (1, 1), na superfície 1,5x² + 2y², o painel indica um declive de 0,000 na direção de 143,1°. Calcula como varia a altura do terreno se continuares a caminhar nessa direção e decide se podes segui-la para te manteres à mesma altura.

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1. Esta direção fica a um quarto de volta da direção de maior declive, de 53,1°. As duas parcelas do produto escalar são −2,4 e +2,4, pelo que o indicador de declive mostra 0,000.
  
  $D_{u} f = 3 cos 143.1 3^{\circ} + 4 sin 143.1 3^{\circ} = 3 (- 0.8) + 4 (0.6) = 0$
2. O declive nulo apenas nos informa sobre a primeira derivada. Calcula agora a segunda derivada na mesma direção. É a forma quadrática construída com as três derivadas parciais de segunda ordem, usando o mesmo cosseno e seno.
  
  $D_{u}^{2} f = f_{xx} cos^{2} θ + 2 f_{x y} cos θ sin θ + f_{y y} sin^{2} θ$
3. Nesta superfície, f_xx é 3, f_yy é 4 e a derivada parcial mista é 0. A segunda derivada na direção de declive nulo é, portanto, 3,36. Como é positiva, o terreno encurva para cima.
  
  $= 3 (0.64) + 0 + 4 (0.36) = 1.92 + 1.44 = 3.36$
4. A altura ao longo dessa reta descreve, por isso, uma parábola cujo ponto mais baixo é aquele onde estás. Ao avançares meia unidade, o terreno sobe 0,42, de 3,5 para 3,92. O painel do corte mostra precisamente essa curva.
  
  $f (s) \approx 3.5 + \frac{1}{2} (3.36) s^{2} = 3.5 + 1.68 s^{2}; s = 0.5 : 3.92$
5. Podemos usar este resultado para estudar a curva de nível. A curva que mantém a altura afasta-se da tangente com uma curvatura igual à segunda derivada dividida pela norma do gradiente: 0,672, o que corresponde a um raio de curvatura de 1,488.
  
  $κ = \frac{D _{u}^{2} f}{∣\nabla f ∣} = \frac{3.36}{5} = 0.672, R = \frac{1}{κ} = 1.488$
6. A fórmula habitual da curvatura de uma curva de nível dá o mesmo resultado apenas a partir das derivadas parciais, sem ser preciso indicar uma direção. Por ambos os métodos, o valor exato é 84/125.
  
  $κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{3 ( 16 ) + 4 ( 9 )}{125} = \frac{84}{125}$
Resposta

Não. Nessa direção, o declive só é nulo no instante inicial; depois, começas a subir. Ao percorreres meia unidade, ganhas 0,42 de altura, embora a primeira derivada previsse 0. As duas direções de declive nulo definem a tangente à curva de nível. Para manter a altura, tens de virar continuamente, com um raio de curvatura de 1,488 neste ponto. O painel dá-te a tangente; a curvatura indica até onde ela é uma boa aproximação.

$κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{84}{125} = 0.672$

A colina é mais íngreme do que tudo o que mediu 🖖

Coloca-te em (1, 1) na superfície 1,5x² + 2y². Caminha para este e o terreno sobe com declive 3. Para norte, o declive é 4. O maior declive neste ponto é 5, na direção de 53,1°, que não seguiste. Uma derivada parcial dá apenas o declive segundo um eixo, e a orientação dos eixos depende de como alguém colocou a folha. Os dois declives combinam-se pelo teorema de Pitágoras. Assim, o maior declive é √(f_x² + f_y²): nunca é inferior ao valor absoluto de qualquer das derivadas parciais e é superior a ambos quando nenhuma é nula. A diferença é maior quando as duas têm o mesmo valor: se medires 1 segundo cada eixo, o maior declive do terreno é 1,414, ou seja, 41% acima do que cada medição indicou.

Todos os rumos em simultâneo, num só cosseno 🖖

Dá uma volta completa ao seletor e observa o indicador de declive. Os valores descrevem um cosseno, |∇f| cos(θ − θ_g), em que θ_g é a direção de maior declive. Esta expressão resume todo o comportamento de primeira ordem de uma superfície suave num ponto. Uma das suas consequências vê-se no mapa: onde o gradiente não é nulo, há duas direções de declive nulo, a um quarto de volta para cada lado da direção de maior declive. Ambas são tangentes à curva de nível. É por isso que o caminho de subida mais íngreme cruza as curvas de nível em ângulo reto e que basta olhar para um mapa de curvas de nível para perceber o relevo. O mesmo cosseno desfaz uma ideia tentadora: com um desvio de 45° em relação à direção mais íngreme, ainda sobes com 71% do declive máximo. Desviar o caminho numa encosta reduz o declive bastante menos do que parece.

Plano em ambas as direções não é o topo 🖖

Prima Nem topo nem fundo. Na origem de x² − y², ambas as derivadas parciais são nulas, mas o ponto não é máximo nem mínimo: sobre o eixo x, fica no fundo de um vale; sobre o eixo y, no alto de uma crista. Prima agora Ambos os eixos planos, correspondente à superfície xy. Os dois eixos são rigorosamente horizontais: o painel das secções desenha uma linha plana a 0° e outra a 90°. Ainda assim, o ponto é de sela. A subida e a descida encontram-se nas diagonais, precisamente onde ninguém pensou procurar. A distinção é feita pelo discriminante f_xxf_yy − f_xy², que vale −4 na primeira superfície e −1 na segunda. Um valor negativo indica um ponto de sela; um valor positivo indica um máximo ou um mínimo, conforme o sinal de f_xx. Em x³ − 3xy², o discriminante é 0 e o teste nada permite concluir. A partir da origem, a superfície tem três cunhas ascendentes e três descendentes, invisíveis para todas as derivadas de segunda ordem usadas no cálculo.

Percurso de aprendizagem

Por que tudo parece reto de perto

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.