As derivadas parciais e o gradiente

Arraste o ponto pelo mapa de curvas de nível. As duas derivadas parciais são as inclinações ao longo dos eixos; rode o seletor de rumo e a última leitura é a inclinação que sentiria se caminhasse nessa direção.

Exemplo resolvido — As derivadas parciais e o gradiente

∂f/∂x	3,000
∂f/∂y	4,000
Inclinação máxima \|∇f\|	5,000
Rumo de inclinação máxima	53,1°
Inclinação neste rumo	3,000

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

A colina é mais íngreme do que tudo o que mediu 🖖

Coloque-se em (1, 1) na superfície 1,5x² + 2y². Caminhe para leste e o terreno sobe a 3. Caminhe para norte e sobe a 4. Nenhuma delas é a inclinação máxima nesse ponto: a mais acentuada é 5, num rumo de 53,1°, e não a percorreu. Uma derivada parcial é a inclinação ao longo de um eixo e nada mais, e os eixos são um acidente de onde alguém decidiu pousar o papel. O que as combina é Pitágoras em vez da adição. Assim, a inclinação máxima é √(f_x² + f_y²), que nunca pode ser inferior a qualquer uma das duas, sendo estritamente maior a não ser que uma delas seja zero. A diferença é maior quando ambas são iguais: meça 1 ao longo de cada eixo e o terreno estará na verdade a subir a 1,414, o que representa mais 41% do que qualquer medição indicou.

Todos os rumos em simultâneo, num só cosseno 🖖

Dê uma volta completa ao seletor e observe a indicação do declive. O valor descreve um cosseno, |∇f| cos(θ − θ_g), em que θ_g é a direção de maior declive. É assim que qualquer superfície suave se comporta num ponto. O mapa mostra uma consequência: onde o gradiente não é nulo, há duas direções sem declive, situadas a um quarto de volta para cada lado da direção mais íngreme. Ambas são tangentes à curva de nível. Por isso, o caminho de subida mais íngreme cruza as curvas de nível perpendicularmente, e um mapa de curvas de nível se lê de relance. O mesmo cosseno desfaz uma ideia à primeira vista razoável. A 45° da direção mais íngreme, ainda se sobe a 71% do gradiente máximo, e não a metade; cortar caminho numa encosta poupa muito menos do que parece.

Plano em ambas as direções não é o topo 🖖

Prima Nem topo nem fundo. Na origem de x² − y², ambas as derivadas parciais são nulas, mas o ponto não é máximo nem mínimo: sobre o eixo x, fica no fundo de um vale; sobre o eixo y, no alto de uma crista. Prima agora Ambos os eixos planos, correspondente à superfície xy. Os dois eixos são rigorosamente horizontais: o painel das secções desenha uma linha plana a 0° e outra a 90°. Ainda assim, o ponto é de sela. A subida e a descida encontram-se nas diagonais, precisamente onde ninguém pensou procurar. A distinção é feita pelo discriminante f_xxf_yy − f_xy², que vale −4 na primeira superfície e −1 na segunda. Um valor negativo indica um ponto de sela; um valor positivo indica um máximo ou um mínimo, conforme o sinal de f_xx. Em x³ − 3xy², o discriminante é 0 e o teste nada permite concluir. A partir da origem, a superfície tem três cunhas ascendentes e três descendentes, invisíveis para todas as derivadas de segunda ordem usadas no cálculo.

Problemas resolvidos na íntegra

Inclinação de uma encosta que sobe 3 metros para este e 4 metros para norte 6 passos
Encontra-se numa encosta onde o terreno sobe 3 metros por cada 100 percorridos para leste e 4 metros por cada 100 percorridos para norte. Qual é a inclinação da colina, para onde desce, e que rumo deve tomar uma estrada para subir a metade desse gradiente?
1. Essas duas medições são as derivadas parciais. Mantê-las como 3 e 4 por cada cem lê-se mais facilmente do que 0,03 e 0,04, e não altera nada.
  
  $f_{x} = 3, f_{y} = 4$
2. A inclinação máxima é o comprimento do gradiente, que não corresponde à soma das partes nem à maior delas. Três e quatro dão cinco, e cinco é aquilo que um caminhante sente.
  
  $∣\nabla f ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$
3. O seu rumo é atan2(4, 3), o que equivale a 53,1° a partir do leste. A descida faz-se na direção oposta, a 233,1°. Nada foi medido ao longo de qualquer uma delas.
  
  $θ_{g} = atan2 (4, 3) = 53.1 3^{\circ}$
4. Para uma estrada a 2,5 por cada cem, inverta a identidade. A inclinação num rumo θ afastado desse rumo de maior declive é 5 cos θ, logo cos θ = 2,5/5 e θ = 60°.
  
  $D_{u} f = ∣\nabla f ∣ cos θ \Rightarrow cos θ = \frac{2.5}{5}, θ = 6 0^{\circ}$
5. Sessenta, não quarenta e cinco. Uma estrada a 45° continuaria a subir a 3,54 por cada cem, o que corresponde a 71% do gradiente máximo e não fica sequer perto de metade.
  
  $5 cos 4 5^{\circ} = 3.54 (71% of 5)$
6. O comprimento resulta do mesmo cosseno. Para vencer uma altura fixa com metade do gradiente, é preciso percorrer o dobro da distância enquanto o declive se mantiver. É esse fator de dois que dá origem às curvas apertadas de uma estrada de montanha.
  
  $length \propto 1/ cos 6 0^{\circ} = 2$
Resposta

A encosta sobe 5 m por cada 100 m na direção de 53,1° e desce na direção de 233,1°; uma estrada limitada a 2,5 m por cada 100 m terá de seguir a 60° da direção mais íngreme e percorrer o dobro da distância. A ferramenta responde à primeira parte: basta apontá-la numa direção para obter o declive. A segunda parte põe a questão ao contrário, como fazem na prática um engenheiro rodoviário, uma norma de acessibilidade para rampas ou a classificação de uma pista de esqui. Se o declive admissível já está definido, que direção tenho de seguir?
O rumo sem inclinação, e por quanto tempo se mantém plano 6 passos
Em (1, 1) sobre 1,5x² + 2y², o painel coloca a inclinação num rumo de 143,1° com o valor 0,000. Determine o que o terreno faz se continuar a caminhar nessa direção e decida se é um rumo que poderia seguir para se manter ao mesmo nível.
1. Um quarto de volta a contar do rumo de maior declive, que está em 53,1°. Os dois termos do produto escalar dão −2,4 e +2,4, pelo que o cartão da inclinação indica 0,000.
  
  $D_{u} f = 3 cos 143.1 3^{\circ} + 4 sin 143.1 3^{\circ} = 3 (- 0.8) + 4 (0.6) = 0$
2. Inclinação nula é uma afirmação sobre a primeira derivada e sobre mais nada. Tome a segunda ao longo do mesmo rumo. É a forma quadrática construída a partir das três derivadas parciais de segunda ordem, com o mesmo cosseno e o mesmo seno lá dentro.
  
  $D_{u}^{2} f = f_{xx} cos^{2} θ + 2 f_{x y} cos θ sin θ + f_{y y} sin^{2} θ$
3. Nesta superfície f_xx vale 3, f_yy vale 4 e a parcial mista é 0, pelo que a segunda derivada ao longo do rumo plano é 3,36. Positiva, portanto o terreno curva para cima.
  
  $= 3 (0.64) + 0 + 4 (0.36) = 1.92 + 1.44 = 3.36$
4. A altura ao longo dessa reta é, então, uma parábola com o ponto mais baixo exatamente onde está. A meia unidade de distância, o terreno subiu 0,42, de 3,5 para 3,92, e o painel do corte desenha precisamente essa curva.
  
  $f (s) \approx 3.5 + \frac{1}{2} (3.36) s^{2} = 3.5 + 1.68 s^{2}; s = 0.5 : 3.92$
5. Transforme isto numa propriedade da curva de nível. A curva que efetivamente mantém a altura afasta-se da tangente com uma curvatura igual à segunda derivada dividida pelo gradiente: 0,672, o que corresponde a um raio de 1,488.
  
  $κ = \frac{D _{u}^{2} f}{∣\nabla f ∣} = \frac{3.36}{5} = 0.672, R = \frac{1}{κ} = 1.488$
6. A fórmula habitual para a curvatura de um conjunto de nível dá o mesmo número apenas a partir das parciais, sem que apareça qualquer rumo. Dois caminhos, uma resposta, e é exatamente 84/125.
  
  $κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{3 ( 16 ) + 4 ( 9 )}{125} = \frac{84}{125}$
Resposta

Não. Esse rumo é plano durante um instante e depois sobe. Percorra meia unidade por ele e terá ganho 0,42, onde a primeira derivada previa 0. Os dois rumos de inclinação nula são tangentes à curva de nível e não a própria curva de nível, e manter-se ao mesmo nível obriga a virar continuamente, sobre uma circunferência de raio 1,488 neste ponto. O painel dá-lhe a tangente; a curvatura diz até onde vale a pena confiar nela.

$κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{84}{125} = 0.672$

Percurso de aprendizagem

Por que tudo parece reto de perto

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-09-03

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

Todas as lições de Matemática →

Problemas de exemplo

Três leste, quatro norte - No ponto (1, 1), o terreno sobe 3 para leste e 4 para norte. Caminhando para leste, a inclinação lida é 3. A inclinação máxima possível aqui é 5, num rumo de 53,1°, e nenhuma das medições apontava nessa direção.
Na curva de nível - O mesmo ponto e o mesmo gradiente de 5, mas agora a inclinação é 0. Um rumo de 143,1° acompanha a curva de nível, que cruza a direção de maior declive num ângulo reto.
Nem máximo nem mínimo - Ambas as derivadas parciais são nulas e o ponto não é um pico nem um poço. O discriminante é −4. Num rumo de 0°, o corte é o fundo de um vale; a 90°, o mesmo ponto é o topo de uma crista.
Ambos os eixos planos - Na superfície xy, ambos os eixos são perfeitamente planos. O painel de corte desenha uma linha horizontal a 0° e novamente a 90°. Ainda assim, o ponto é uma sela, com um discriminante de −1. A subida e a descida encontram-se nas diagonais.
O teste não responde - Todas as derivadas de segunda ordem se anulam neste ponto; o discriminante é 0 e o teste nada permite concluir. Daqui partem três cunhas ascendentes e três descendentes.