Explorador de Séries de Taylor
aproximação local com controles de grau e centro
por que Taylor é local, não global 🖖
Um polinômio de Taylor é construído a partir das derivadas em um único ponto, por isso capta a geometria local da função exatamente ali. Mais longe, os mesmos coeficientes podem deixar de descrever bem a função: o erro depende da suavidade da função, do grau e do raio de convergência.
Reconstruir uma curva derivada a derivada 🖖
Esta ferramenta reconstrói uma função curva usando apenas somas, multiplicações e potências — as operações que um processador realmente sabe executar. O termo de grau 0 iguala a altura da função no centro, o de grau 1 a sua inclinação, o de grau 2 a sua curvatura, e cada termo seguinte fixa mais uma derivada. Aumente o grau n e observe o polinômio tracejado se ajustar cada vez mais à curva contínua perto do centro a.
Quando a suavidade ainda não basta 🖖
Seria de esperar que uma função infinitamente suave fosse sempre capturada por um polinômio de Taylor de grau suficiente — mas isso não é garantido. O contraexemplo clássico é f(x)=e−1/x² (com f(0)=0): todas as derivadas em 0 valem zero, então o seu polinômio de Taylor em torno de 0 é 0 em qualquer grau, embora a função seja positiva em todo o resto. Acrescentar termos nunca ajuda. Ser 'suave' (todas as derivadas existem) é mais fraco do que ser 'analítica' (igual à sua própria série).
Problemas de exemplo
- sen perto de 0 - Uma expansão de sin de grau baixo é precisa perto de x=0.
- exp rápida - A série de Taylor da exponencial converge rapidamente em torno de 0.
- ln na borda - A série do logaritmo perde precisão perto da borda do raio de convergência.
- centro deslocado - Mudar o centro de expansão melhora o ajuste local em outro ponto.