Explorador de Séries de Taylor

aproximação local com controles de grau e centro

Exemplo resolvido — Explorador de Séries de Taylor

Termos	0.83333
Valor real	0.84147
Erro absoluto	0.0081377

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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por que Taylor é local, não global 🖖

Um polinômio de Taylor é construído a partir das derivadas em um único ponto, por isso capta a geometria local da função exatamente ali. Mais longe, os mesmos coeficientes podem deixar de descrever bem a função: o erro depende da suavidade da função, do grau e do raio de convergência.

Reconstruir uma curva derivada a derivada 🖖

Esta ferramenta reconstrói uma função curva usando apenas somas, multiplicações e potências — as operações que um processador realmente sabe executar. O termo de grau 0 iguala a altura da função no centro, o de grau 1 a sua inclinação, o de grau 2 a sua curvatura, e cada termo seguinte fixa mais uma derivada. Aumente o grau n e observe o polinômio tracejado se ajustar cada vez mais à curva contínua perto do centro a.

Quando a suavidade ainda não basta 🖖

Seria de esperar que uma função infinitamente suave fosse sempre capturada por um polinômio de Taylor de grau suficiente — mas isso não é garantido. O contraexemplo clássico é f(x)=e^−1/x² (com f(0)=0): todas as derivadas em 0 valem zero, então o seu polinômio de Taylor em torno de 0 é 0 em qualquer grau, embora a função seja positiva em todo o resto. Acrescentar termos nunca ajuda. Ser 'suave' (todas as derivadas existem) é mais fraco do que ser 'analítica' (igual à sua própria série).

SÉRIES DE TAYLOR — ATÉ ONDE DÁ PARA CONFIAR

Em que caso de Taylor você está?

Um polinômio de Taylor iguala o valor e as n primeiras derivadas de uma função num ponto e depois se afasta conforme você se distancia. Duas coisas decidem a rapidez disso: quão depressa os coeficientes encolhem e se há uma singularidade por perto. Acrescentar termos ajuda dentro do raio de convergência e não faz absolutamente nada fora dele — e mudar o centro costuma valer mais do que acrescentar termos.

Boa perto do centro, inútil longe ε ∝ (x − a)ⁿ⁺¹

Os fatoriais vencem — a série converge em toda parte xⁿ/n! → 0, R = ∞

Um raio de convergência — além dele, mais termos não ajudam ln(1 + x): R = 1

Mude o centro — mais barato que acrescentar termos Δa ≠ 0, Δn = 0

Boa perto do centro, inútil longe

O que você sabe: Uma expansão de grau baixo de uma função bem comportada. Precisa perto do centro, com erro que cresce rápido ao se afastar.

Série: ε ∝ (x − a)ⁿ⁺¹

Exemplo resolvido: sin x ≈ x − x³/6 dá em x = 1 o valor 0,8333 contra o verdadeiro 0,8415 — erro de 0,008. Em x = 3 dá −1,5 contra 0,141

Abrir este caso: sen perto de 0

Boa perto do centro, inútil longe. A cúbica acompanha o seno por cerca de um radiano e depois sai na direção errada. Uma expansão de grau baixo de uma função bem comportada. Precisa perto do centro, com erro que cresce rápido ao se afastar. — A cúbica acompanha o seno por cerca de um radiano e depois sai na direção errada.

Os fatoriais vencem — a série converge em toda parte

O que você sabe: Os coeficientes trazem um fatorial no denominador, então encolhem mais rápido do que qualquer potência cresce. O raio de convergência é infinito.

Série: xⁿ/n! → 0, R = ∞

Exemplo resolvido: eˣ ≈ 1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24 + x⁵/120 dá em x = 1 o valor 2,71667 contra e = 2,71828 — cinco termos, quatro dígitos corretos

Abrir este caso: exp rápida

Os fatoriais vencem — a série converge em toda parte. Cinco termos já traçam a exponencial em toda a faixa visível. Os coeficientes trazem um fatorial no denominador, então encolhem mais rápido do que qualquer potência cresce. O raio de convergência é infinito. — Cinco termos já traçam a exponencial em toda a faixa visível.

Um raio de convergência — além dele, mais termos não ajudam

O que você sabe: A função tem uma singularidade a distância finita do centro. Dentro dessa distância a série converge; fora, diverge por mais termos que você tome.

Série: ln(1 + x): R = 1

Exemplo resolvido: ln(1 + x) com seis termos dá em x = 0,8 o valor 0,5701 contra 0,5878 — ainda convergindo, devagar. Em x = 1,2 os termos crescem e a soma foge

Abrir este caso: ln na borda

Um raio de convergência — além dele, mais termos não ajudam. Dentro do raio o polinômio acompanha a curva; passando dele, vai embora e não volta. A função tem uma singularidade a distância finita do centro. Dentro dessa distância a série converge; fora, diverge por mais termos que você tome. — Dentro do raio o polinômio acompanha a curva; passando dele, vai embora e não volta.

Mude o centro — mais barato que acrescentar termos

O que você sabe: Você precisa de precisão num ponto distante de onde a série está centrada. Reexpandir em torno de um ponto mais próximo não custa nenhum grau a mais.

Série: Δa ≠ 0, Δn = 0

Exemplo resolvido: Grau 4 para cos x em x = 2: centrado em 0 dá −0,333 contra −0,416; centrado em 1 dá −0,4086 — um erro onze vezes menor

Abrir este caso: centro deslocado

Mude o centro — mais barato que acrescentar termos. Mesmo grau, centro diferente: a expansão em torno de 1 abraça a curva em x = 2. Você precisa de precisão num ponto distante de onde a série está centrada. Reexpandir em torno de um ponto mais próximo não custa nenhum grau a mais. — Mesmo grau, centro diferente: a expansão em torno de 1 abraça a curva em x = 2.

Problema resolvido na íntegra

Aproximação de sin 1 com o polinómio de Maclaurin de grau 3 e limitação do erro 5 passos
Aproxime sin 1 com o polinómio de Maclaurin de grau 3 e limite o erro antes de consultar o valor real. Um limite de erro que só se pode calcular depois de conhecer a resposta não vale nada.
1. Maclaurin precisa das derivadas em 0, e o seno percorre-as com período quatro. Duas das quatro primeiras são zero, razão pela qual o polinómio acaba por ser tão curto.
  
  $f (x) = sin x : f (0) = 0, f^{'} (0) = 1, f^{''} (0) = 0, f^{'''} (0) = - 1$
2. Assim, P₃ tem dois termos, e x³/6 é a correção completa. Faz passar 1 para 0,83333 — uma redução de quase 17%, o que é já um indício de que o termo seguinte também não será desprezável.
  
  $P_{3} (x) = x - \frac{x ^{3}}{6} ⟹ P_{3} (1) = 1 - \frac{1}{6} = 0.83333$
3. Este é o passo que justifica a secção. A série do seno é alternada com termos que diminuem, pelo que o erro de truncatura é menor do que o primeiro termo omitido. Esse termo é x⁵/120, e calculá-lo não exige saber absolutamente nada sobre sin 1.
  
  $∣ R_{3} ∣ \leq \frac{∣ x ∣ ^{5}}{5 !} = \frac{1}{120} = 0.0083333$
4. Agora verifique a promessa. O valor real é 0,84147, pelo que o erro real é 0,0081377 — e fica de facto abaixo dos 0,0083333 garantidos de antemão.
  
  $sin 1 = 0.84147 ⟹ ∣ sin 1 - P_{3} (1) ∣ = 0.0081377$
5. O limite é ajustado, e consegue-se ver porquê. O erro é toda a cauda omitida, e a cauda também alterna: 1/5! ultrapassa por excesso, subtrair 1/7! ultrapassa pelo outro lado, e 1/9! aproxima-o do valor final. Três termos já reproduzem o erro exibido dígito por dígito.
  
  $\frac{1}{5 !} - \frac{1}{7 !} + \frac{1}{9 !} - \dots = 0.0081377, \frac{0.0083333}{0.0081377} = 1.0240$
Resposta

P₃(1) = 0,83333 contra um valor real de 0,84147, um erro de 0,0081377 — todos os três no painel acima. O que o painel não pode mostrar é a ordem pela qual os números chegaram. 1/120 = 0,0083333 estava disponível antes de sin 1 estar, e ultrapassou o erro real por apenas 2,4%. Essa é a diferença entre uma aproximação e um palpite: uma aproximação vem com um certificado. Aumente o grau para 5 e o mesmo argumento entrega-lhe 1/5040 — três casas decimais garantidas antes de ser calculado um único dígito da resposta.

$P_{3} (1) = 0.83333, ∣ R_{3} ∣ \leq \frac{1}{120} first, then 0.0081377$

Percurso de aprendizagem

Por que tudo parece reto de perto

Conduz a Mais de uma direção a mesma construção para além do primeiro termo, e um resto que se pode limitar em vez de apenas estimar.

Referências (1)

What turns “local” from a caution into a quantity — the remainder term: U. Abel, "On the Lagrange Remainder of the Taylor Formula." The American Mathematical Monthly 110(7), 627–633, 2003.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-29

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

sen perto de 0 - Uma expansão de sin de grau baixo é precisa perto de x=0.
exp rápida - A série de Taylor da exponencial converge rapidamente em torno de 0.
ln na borda - A série do logaritmo perde precisão perto da borda do raio de convergência.
centro deslocado - Mudar o centro de expansão melhora o ajuste local em outro ponto.