Explorador de Somas de Riemann

aproximação de área por partições com comparação de métodos

Exemplo resolvido — Explorador de Somas de Riemann

Estimativa	2.65625
Integral exata	2.66667
Erro absoluto	0.0104167
Erro com sinal	-0.0104167
Soma inferior	2.1875
Soma superior	3.1875
Diferença superior-inferior	1
Largura da partição	0.25

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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por que a farmacologia muda de regra a meio do caminho 🖖

A exposição a um fármaco é uma soma de Riemann. Uma entidade reguladora quer a área sob a curva de concentração do doente ao longo do tempo; como só há cerca de uma dúzia de colheitas de sangue, o método habitual aplica a regra dos trapézios entre amostras consecutivas. Daí resulta o enviesamento mostrado nesta página. Uma curva de eliminação é convexa, a corda fica acima dela e o trapézio linear atribui ao doente uma exposição superior à real. Por isso, a prática corrente usa interpolação linear na fase ascendente da absorção e logarítmica na fase descendente.

dividir a área em formas mensuráveis 🖖

Calcular a área exata sob uma curva é difícil, mas somar retângulos é simples. Cada método apresentado aqui estima de maneira diferente a altura de cada faixa: pela extremidade esquerda ou direita, pelo ponto médio ou por um topo inclinado, formando um trapézio. Nenhum dá o valor exato. No entanto, convergem a ritmos diferentes: ao duplicar o número de faixas, as somas à esquerda e à direita reduzem o erro para metade, enquanto as regras do ponto médio e dos trapézios o reduzem para um quarto.

a regra de Simpson é uma mistura oculta 🖖

A regra do ponto médio costuma ser mais precisa do que a regra dos trapézios, e os respetivos erros têm sentidos opostos. Quando a curva tem concavidade voltada para baixo, o ponto médio dá um valor por excesso e o trapézio, por defeito. Ao combiná-los na forma (2M + T)/3, o termo dominante do erro anula-se, dando origem à regra de Simpson. A fórmula de integração mais célebre é, afinal, uma média ponderada de duas somas que já aparecem neste ecrã.

TEORIA DA SOMA DE RIEMANN — A DEFINIÇÃO POR TRÁS DA INTEGRAL

Onde você amostra dentro de cada faixa?

Uma soma de Riemann corta [a, b] em n faixas e dá a cada faixa uma única altura, lida em um ponto de amostragem dentro dela. O ponto que você escolhe — borda esquerda, borda direita ou centro — muda a resposta enquanto n é pequeno. O notável é que, à medida que n cresce, todas as escolhas convergem para o mesmo número, e esse limite comum é o que a integral definida significa.

Extremo esquerdo — amostra no início de cada faixa Σ f(x_i) Δx

Extremo direito — amostra no fim de cada faixa Σ f(x_i+1) Δx

Ponto médio — amostra no centro de cada faixa Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Trapézio — as duas pontas, na média Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Extremo esquerdo — amostra no início de cada faixa

Ponto de amostragem: Altura lida em xᵢ, a borda esquerda da faixa i. O valor em b nunca é usado.

Soma: Σ f(x_i) Δx

Com n pequeno: x² em [0, 2] com n = 4 dá 1,75 contra a área real de 2,667 — bem aquém.

Abrir este caso: esquerda grosseira

Extremo esquerdo — amostra no início de cada faixa. Cada retângulo tira a altura da própria borda esquerda, deixando de fora uma cunha da curva. Altura lida em xᵢ, a borda esquerda da faixa i. O valor em b nunca é usado. — Cada retângulo tira a altura da própria borda esquerda, deixando de fora uma cunha da curva.

Extremo direito — amostra no fim de cada faixa

Ponto de amostragem: Altura lida em xᵢ₊₁, a borda direita da faixa i. O valor em a nunca é usado.

Soma: Σ f(x_i+1) Δx

Com n pequeno: Mesma curva e n: 3,75 contra 2,667 — agora excede mais ou menos o que a soma da esquerda perdeu.

Abrir este caso: viés à direita

Extremo direito — amostra no fim de cada faixa. As mesmas faixas amostradas na borda direita: agora cada retângulo excede. Altura lida em xᵢ₊₁, a borda direita da faixa i. O valor em a nunca é usado. — As mesmas faixas amostradas na borda direita: agora cada retângulo excede.

Ponto médio — amostra no centro de cada faixa

Ponto de amostragem: Altura lida no centro da faixa, sem privilegiar nenhuma borda.

Soma: Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Com n pequeno: Mesma curva e n: 2,625 contra 2,667 — uma ordem de grandeza mais perto que esquerda e direita.

Abrir este caso: refinar n

Ponto médio — amostra no centro de cada faixa. Amostrar no centro deixa os dois erros de cada faixa se cancelarem. Altura lida no centro da faixa, sem privilegiar nenhuma borda. — Amostrar no centro deixa os dois erros de cada faixa se cancelarem.

Trapézio — as duas pontas, na média

Ponto de amostragem: As duas bordas da faixa são usadas e o topo se inclina entre elas.

Soma: Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Com n pequeno: Mesma curva e n: 2,75 contra 2,667 — melhor que qualquer soma de borda, ainda atrás do ponto médio.

Abrir este caso: trapézio suave

Trapézio — as duas pontas, na média. Um topo inclinado ligando as duas bordas — a média dos retângulos esquerdo e direito. As duas bordas da faixa são usadas e o topo se inclina entre elas. — Um topo inclinado ligando as duas bordas — a média dos retângulos esquerdo e direito.

Problema resolvido na íntegra

Estimativa de ∫₀² x² d x com oito retângulos de ponto médio 5 passos
Estime ∫₀² x² dx com oito retângulos pelo ponto médio. Depois faça melhor do que estimar: combine duas respostas erradas para obter a exata.
1. Oito faixas ao longo de uma largura de 2 dão Δx = 0,25, e a regra do ponto médio toma a altura de cada retângulo no centro da sua faixa — 0,125, 0,375, e assim sucessivamente. Fazer a amostragem no centro não é uma preferência estética; o passo 4 é o que ela proporciona.
  
  $Δ x = \frac{2 - 0}{8} = 0.25, x_{i}^{*} = 0.125, 0.375, \dots, 1.875$
2. Some os oito pontos médios elevados ao quadrado e multiplique pela largura comum. Nada até agora é aproximado, exceto a própria decisão de usar retângulos.
  
  $M_{8} = 0.25 i = 1 \sum 8 (x_{i}^{*})^{2} = 0.25 \times 10.625 = 2.65625$
3. O integral exato é 8/3, pelo que a estimativa se situa abaixo por 0,0104167. Abaixo, e por um valor que vale a pena explicar em vez de ignorar.
  
  $I = \int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{8}{3} = 2.66667 ⟹ M_{8} - I = - 0.0104167$
4. O erro do ponto médio é −(b − a)h²f″(ξ)/24. Para x², a segunda derivada é 2 em toda a parte, pelo que não importa onde ξ está, e a fórmula deixa de ser um limite para passar a ser uma igualdade. Devolve −1/96, que é o erro com sinal da ferramenta até ao último dígito que imprime.
  
  $E_{M} = - \frac{( b - a ) h ^{2}}{24} f^{''} (ξ) = - \frac{2 ( 0.25 ) ^{2} ( 2 )}{24} = - \frac{1}{96} = - 0.0104167$
5. A regra dos trapézios erra no sentido oposto e por exatamente o dobro: um retângulo pelo ponto médio corta tanto quanto adiciona, enquanto a corda do trapézio fica inteiramente acima de uma curva convexa. Pondere-os na proporção de dois para um e os erros cancelam-se.
  
  $T_{8} = 2.6875, T_{8} - I = + 0.0208333 = - 2 (M_{8} - I) ⟹ \frac{2 M _{8} + T _{8}}{3} = 2.66667$
Resposta

O ponto médio dá 2,65625 contra o valor real de 2,66667, enquadrado pelas somas inferior e superior que a ferramenta apresenta em 2,1875 e 3,1875. Mas guarde a última linha: (2M + T)/3 = 8/3, exatamente, a partir de oito faixas e sem avaliações adicionais. Essa combinação tem um nome — é a regra de Simpson, e é daqui que ela vem. Não se trata de uma forma mais inteligente de desenhar retângulos; é a observação de que dois métodos rudimentares falham numa proporção fixa, de modo que os seus erros podem ser cancelados por construção. Mude a função para x³ e a ferramenta apresenta um ponto médio de 3,96875 e um trapézio de 4,0625 — combine-os e obtém 4, com exatidão, porque a regra de Simpson é exata para qualquer função cúbica. Mude para x⁴ e finalmente falha, por 6 partes em 100 000.

$M_{8} = 2.65625, E = - \frac{1}{96} \frac{2 M + T}{3} = \frac{8}{3} exactly$

Percurso de aprendizagem

Por que tudo parece reto de perto

Conduz a Série de Taylor

Referências (4)

The definition itself, in the paper it first appeared in: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe." Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13, 87–132, 1867 — the section that asks what an integral is to mean for a function with infinitely many discontinuities, and answers with the sum this tool draws.
Upper and lower sums, and the criterion for the two to meet: G. Darboux, "Mémoire sur les fonctions discontinues." Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure 4, 57–112, 1875.
How the definition was arrived at, and what it could not handle: D. M. Bressoud, A Radical Approach to Lebesgue’s Theory of Integration. Cambridge University Press, 2008.
Why medicine runs the trapezoid one way going up and another coming down: K. C. Yeh and K. C. Kwan, "A comparison of numerical integrating algorithms by trapezoidal, Lagrange, and spline approximation." Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 6(1), 79-98, 1978.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-29

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

esquerda grosseira - Quatro retângulos à esquerda sob x² dão 1,75, contra o valor exato de 2,666667. A combinação (2M + T)/3 das mesmas quatro faixas é exata.
refinar n - Quarenta faixas pela regra do ponto médio deixam um erro de 0,000417; com oito, o erro é 0,010417. Cinco vezes mais faixas dão uma precisão vinte e cinco vezes maior.
trapézio suave - sin(x) anula-se nas duas extremidades de [0, π], pelo que as regras à esquerda, à direita e dos trapézios dão todas o mesmo resultado: 1,983524. Só a do ponto médio difere, com 2,008248.
viés de concavidade - Para e^x em [0, 1], a regra dos trapézios dá 1,720519 e a do ponto médio, 1,717164; o valor exato é 1,718282. O erro do ponto médio é metade do outro e tem sinal oposto.
intervalo invertido - Integrar sin de π até 0 dá -2,005723. Inverter os limites muda apenas o sinal, pois a largura de cada faixa passa a ser negativa.
viés à direita - Seis retângulos à direita dão um valor por excesso de 3,370370, enquanto seis à esquerda dão 2,037037. Numa função crescente, a resposta fica sempre entre ambos.