Explorador de Somas de Riemann

Divide [a, b] em n faixas, atribui a cada uma uma altura lida na curva e soma as suas áreas. À medida que n aumenta, qualquer escolha das alturas conduz ao mesmo número: o integral definido.

O integral como limite de somas	$\int_{a}^{b} f (x) d x Δ x = n \to \infty lim i = 1 \sum n f (x_{i}^{*}) Δ x = \frac{b - a}{n}$
Onde cada soma lê as alturas	$L_{n} : x_{i - 1}, R_{n} : x_{i}, M_{n} : \frac{x _{i - 1} + x _{i}}{2} T_{n} = \frac{1}{2} (L_{n} + R_{n}), x_{i} = a + i Δ x$
O sentido dos erros	$f^{'} \geq 0 : L_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq R_{n} f^{''} \geq 0 : M_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq T_{n}$

Exemplo resolvido — Explorador de Somas de Riemann

Largura das faixas	0,25
Pontos de amostragem	0,125, 0,375, …, 1,875
Soma do ponto médio	2,65625
O integral	2,666667
Soma menos integral	−0,010417

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Explorador de Somas de Riemann

Uma soma de Riemann de f em [a, b] divide o intervalo em n faixas, escolhe uma altura f(x_i*) em cada uma e soma as áreas f(x_i*)Δx. O integral definido é o número para o qual estas somas convergem quando n → ∞.

O que significa cada símbolo

Δx: a largura de cada faixa, (b − a)/n
xᵢ*: o ponto de amostragem na faixa i, onde se lê a altura

De onde vem a fórmula

Divide o intervalo. Obténs n faixas de largura igual a Δx = (b − a)/n, com extremos x₀ = a, x₁, …, x_n = b.
$Δ x = \frac{b - a}{n} x_{i} = a + i Δ x, i = 0, 1, \dots, n$
Uma altura por faixa. Lê o valor de f num ponto de amostragem x_i* da faixa i. Nesta página podes escolher o extremo esquerdo, o extremo direito ou o ponto médio. A área da faixa é f(x_i*)Δx, e a soma de Riemann adiciona as áreas das n faixas. A regra dos trapézios usa ambos os extremos e dá a média das somas à esquerda e à direita.
$S_{n} = i = 1 \sum n f (x_{i}^{*}) Δ x, T_{n} = \frac{1}{2} (L_{n} + R_{n})$
Abaixo do eixo, o sinal é negativo. Onde f < 0, o termo f(x_i*)Δx é negativo. A soma mede, por isso, a área acima do eixo menos a área abaixo dele. As faixas a laranja são as que se subtraem.
$\int_{- 1}^{2} x d x = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$
Faz n aumentar. Para x² em [0, 1], a soma à direita é (n + 1)(2n + 1)/(6n²), que converge para 1/3. Se f for contínua, qualquer escolha dos pontos de amostragem conduz ao mesmo limite: o integral.
$R_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n \frac{i ^{2}}{n ^{2}} = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{2}} n \to \infty \frac{1}{3}$
Determina o sentido do erro. Se f for crescente em [a, b], a soma à esquerda é uma aproximação por defeito e a soma à direita é uma aproximação por excesso. Se f tiver a concavidade voltada para cima, a soma do ponto médio é uma aproximação por defeito e a dos trapézios é uma aproximação por excesso. Para uma função decrescente ou com a concavidade voltada para baixo, inverte-se a conclusão do respetivo par.
$f^{'} \geq 0 : L_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq R_{n} f^{''} \geq 0 : M_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq T_{n}$

por que a farmacologia muda de regra a meio do caminho 🖖

A exposição a um fármaco é uma soma de Riemann. Uma entidade reguladora quer a área sob a curva de concentração do doente ao longo do tempo; como só há cerca de uma dúzia de colheitas de sangue, o método habitual aplica a regra dos trapézios entre amostras consecutivas. Daí resulta o enviesamento mostrado nesta página. Uma curva de eliminação é convexa, a corda fica acima dela e o trapézio linear atribui ao doente uma exposição superior à real. Por isso, a prática corrente usa interpolação linear na fase ascendente da absorção e logarítmica na fase descendente.

A função que escapa às somas de Riemann 🖖

Nesta página, todas as somas convergem para o mesmo número, quaisquer que sejam os pontos de amostragem escolhidos. Um teorema garante-o para funções contínuas como estas; sem continuidade, a conclusão pode falhar. Em 1829, Dirichlet descreveu uma função que vale 1 em todos os valores racionais de x e 0 em todos os irracionais. Por mais estreita que seja, cada faixa contém pontos de ambos os tipos. Se escolheres um ponto racional em cada faixa, a soma em [0, 1] vale 1; se escolheres sempre um irracional, vale 0, qualquer que seja n. As somas não têm um limite comum e a função não é integrável à Riemann. O integral de Lebesgue, de 1902, agrupa os pontos segundo o valor que f toma neles, em vez de os agrupar pela sua posição no eixo. Para esta função, dá o integral 0.

TEORIA DA SOMA DE RIEMANN — A DEFINIÇÃO POR TRÁS DA INTEGRAL

Onde você amostra dentro de cada faixa?

Uma soma de Riemann corta [a, b] em n faixas e dá a cada faixa uma única altura, lida em um ponto de amostragem dentro dela. O ponto que você escolhe — borda esquerda, borda direita ou centro — muda a resposta enquanto n é pequeno. O notável é que, à medida que n cresce, todas as escolhas convergem para o mesmo número, e esse limite comum é o que a integral definida significa.

Extremo esquerdo — amostra no início de cada faixa Σ f(x_i) Δx

Extremo direito — amostra no fim de cada faixa Σ f(x_i+1) Δx

Ponto médio — amostra no centro de cada faixa Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Trapézio — as duas pontas, na média Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Extremo esquerdo — amostra no início de cada faixa

Ponto de amostragem: Altura lida em xᵢ, a borda esquerda da faixa i. O valor em b nunca é usado.

Soma: Σ f(x_i) Δx

Com n pequeno: x² em [0, 2] com n = 4 dá 1,75 contra a área real de 2,667 — bem aquém.

Abrir este caso: Quatro à esquerda

Extremo esquerdo — amostra no início de cada faixa. Cada retângulo tira a altura da própria borda esquerda, deixando de fora uma cunha da curva. Altura lida em xᵢ, a borda esquerda da faixa i. O valor em b nunca é usado. — Cada retângulo tira a altura da própria borda esquerda, deixando de fora uma cunha da curva.

Extremo direito — amostra no fim de cada faixa

Ponto de amostragem: Altura lida em xᵢ₊₁, a borda direita da faixa i. O valor em a nunca é usado.

Soma: Σ f(x_i+1) Δx

Com n pequeno: Mesma curva e n: 3,75 contra 2,667 — agora excede mais ou menos o que a soma da esquerda perdeu.

Abrir este caso: Seis à direita

Extremo direito — amostra no fim de cada faixa. As mesmas faixas amostradas na borda direita: agora cada retângulo excede. Altura lida em xᵢ₊₁, a borda direita da faixa i. O valor em a nunca é usado. — As mesmas faixas amostradas na borda direita: agora cada retângulo excede.

Ponto médio — amostra no centro de cada faixa

Ponto de amostragem: Altura lida no centro da faixa, sem privilegiar nenhuma borda.

Soma: Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Com n pequeno: Mesma curva e n: 2,625 contra 2,667 — uma ordem de grandeza mais perto que esquerda e direita.

Abrir este caso: Quarenta ao centro

Ponto médio — amostra no centro de cada faixa. Amostrar no centro deixa os dois erros de cada faixa se cancelarem. Altura lida no centro da faixa, sem privilegiar nenhuma borda. — Amostrar no centro deixa os dois erros de cada faixa se cancelarem.

Trapézio — as duas pontas, na média

Ponto de amostragem: As duas bordas da faixa são usadas e o topo se inclina entre elas.

Soma: Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Com n pequeno: Mesma curva e n: 2,75 contra 2,667 — melhor que qualquer soma de borda, ainda atrás do ponto médio.

Abrir este caso: sin x, trapézios

Trapézio — as duas pontas, na média. Um topo inclinado ligando as duas bordas — a média dos retângulos esquerdo e direito. As duas bordas da faixa são usadas e o topo se inclina entre elas. — Um topo inclinado ligando as duas bordas — a média dos retângulos esquerdo e direito.

Problemas resolvidos na íntegra

Estimar ∫₀² x² d x com 8 retângulos pela regra do ponto médio 5 passos
Estima ∫₀² x² dx com 8 retângulos pela regra do ponto médio. Depois, vai além da estimativa: combina duas respostas erradas para obter a resposta exata.
1. Dividir um intervalo de amplitude 2 em 8 faixas dá Δx = 0,25. A regra do ponto médio usa como altura de cada retângulo o valor da função no centro da faixa: 0,125; 0,375; e assim por diante. Escolher o centro tem uma vantagem matemática que ficará clara no passo 4.
  
  $Δ x = \frac{2 - 0}{8} = 0.25, x_{i}^{*} = 0.125, 0.375, \dots, 1.875$
2. Soma os quadrados dos 8 pontos médios e multiplica pela largura comum. Até aqui, a única aproximação foi a própria escolha de representar a região por retângulos.
  
  $M_{8} = 0.25 i = 1 \sum 8 (x_{i}^{*})^{2} = 0.25 \times 10.625 = 2.65625$
3. O integral exato é 8/3, pelo que a estimativa fica aquém por 0,0104167. Vale a pena perceber de onde vem essa diferença.
  
  $I = \int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{8}{3} = 2.66667 ⟹ M_{8} - I = - 0.0104167$
4. O erro da regra do ponto médio é −(b − a)h²f″(ξ)/24. Para x², a segunda derivada é 2 em todo o domínio. A posição de ξ é, portanto, irrelevante, e a fórmula dá o erro exato, em vez de apenas o limitar. O resultado é −1/96, que coincide com o erro com sinal apresentado pela ferramenta até ao último algarismo.
  
  $E_{M} = - \frac{( b - a ) h ^{2}}{24} f^{''} (ξ) = - \frac{2 ( 0.25 ) ^{2} ( 2 )}{24} = - \frac{1}{96} = - 0.0104167$
5. A regra dos trapézios erra no sentido oposto e pelo dobro: num retângulo de ponto médio, parte da área retirada é compensada pela área acrescentada; a corda de um trapézio fica inteiramente acima de uma curva com a concavidade voltada para cima. Combina as estimativas com pesos na proporção de 2 para 1 e os erros anulam-se.
  
  $T_{8} = 2.6875, T_{8} - I = + 0.0208333 = - 2 (M_{8} - I) ⟹ \frac{2 M _{8} + T _{8}}{3} = 2.66667$
Resposta

A regra do ponto médio dá 2,65625, enquanto o valor exato é 2,666667. Como x² é crescente em [0, 2], as somas à esquerda e à direita, 2,1875 e 3,1875, enquadram o integral. Mas guarda sobretudo a última igualdade: (2M + T)/3 = 8/3 exatamente, com 8 faixas e sem calcular mais valores da função. Esta média ponderada é a regra de Simpson, publicada por Thomas Simpson em 1743 e usada por Kepler, para uma única faixa, em 1615, para medir a capacidade de pipas de vinho. Os erros das duas regras mantêm uma proporção fixa, o que permite construir uma combinação que os anula. Muda a função para x³: as somas do ponto médio e dos trapézios são 3,96875 e 4,0625; combinadas, dão exatamente 4, pois a regra de Simpson é exata para qualquer polinómio de grau três. Com x⁴ surge finalmente um erro: 0,000065 em relação ao valor exato de 6,4.

$M_{8} = 2.65625, E = - \frac{1}{96} \frac{2 M + T}{3} = \frac{8}{3} exactly$
Somas à esquerda e à direita para uma função decrescente 4 passos
Estima ∫₁² (1/x) dx com 4 faixas, usando a soma à esquerda e a soma à direita. Qual delas dá um valor por excesso? Como podes sabê-lo sem conhecer o valor do integral?

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1. Dividindo [1, 2] em 4 faixas, cada uma tem largura 0,25. A soma à esquerda usa as alturas em 1; 1,25; 1,5; e 1,75. A soma à direita usa as alturas em 1,25; 1,5; 1,75; e 2.
  
  $Δ x = \frac{2 - 1}{4} = 0.25$
2. Soma as alturas nos extremos esquerdos e multiplica pela largura:
  
  $L_{4} = 0.25 (1 + \frac{4}{5} + \frac{2}{3} + \frac{4}{7}) = 0.25 \times \frac{319}{105} = 0.759524$
3. Na soma à direita, sai f(1) = 1 e entra f(2) = 0,5. O resultado diminui, portanto, 0,25 × 0,5:
  
  $R_{4} = L_{4} - 0.25 (f (1) - f (2)) = 0.759524 - 0.125 = 0.634524$
4. A função 1/x é decrescente neste intervalo, pelo que, em cada faixa, a maior altura está no extremo esquerdo e a menor no extremo direito. A soma à esquerda dá um valor por excesso e a soma à direita dá um valor por defeito:
  
  $R_{4} = 0.634524 < \int_{1}^{2} \frac{d x}{x} = ln 2 = 0.693147 < 0.759524 = L_{4}$
Resposta

L₄ = 0,759524 é uma aproximação por excesso e R₄ = 0,634524 é uma aproximação por defeito; o integral, ln 2 = 0,693147, fica entre ambas. Quando uma função é decrescente em todo o intervalo, ou crescente em todo ele, as somas à esquerda e à direita enquadram sempre o integral. A diferença entre elas é Δx·|f(b) − f(a)|, neste caso 0,125.
A regra dos trapézios e o sentido do erro 4 passos
Usa a regra dos trapézios com 4 faixas para estimar ∫₀⁴ √x dx. A estimativa é por excesso ou por defeito?

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1. Temos Δx = 1. A regra dos trapézios usa as alturas nos cinco pontos da divisão, contando em dobro as três interiores:
  
  $T_{4} = \frac{Δ x}{2} [f (0) + 2 f (1) + 2 f (2) + 2 f (3) + f (4)]$
2. Substitui pelos valores:
  
  $= \frac{1}{2} [0 + 2 + 22 + 23 + 2] = 2 + 2 + 3 = 5.146264$
3. O resultado é também a média das somas à esquerda e à direita:
  
  $T_{4} = \frac{1}{2} (L_{4} + R_{4}) = \frac{1}{2} (4.146264 + 6.146264) = 5.146264$
4. A função √x tem a concavidade voltada para baixo, pois f″(x) = −¼x^−3/2 < 0. Todas as cordas ficam abaixo da curva, pelo que a cada trapézio falta uma pequena parcela de área:
  
  $\int_{0}^{4} x d x = [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{4} = \frac{16}{3} = 5.333333 > T_{4}$
Resposta

T₄ = 5,146264 fica aquém do integral por 0,187069, porque √x tem a concavidade voltada para baixo. Se a concavidade estiver voltada para cima, as cordas ficam acima da curva e a regra dos trapézios dá uma aproximação por excesso. Em ambos os casos, a regra do ponto médio erra no sentido oposto, pelo que as duas somas enquadram o integral.
O integral como limite de somas à direita 4 passos
Escreve a soma à direita para ∫₀³ x² dx com n faixas e calcula o integral como limite dessa soma.

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1. Temos Δx = 3/n e os extremos direitos são x_i = 3i/n. Assim, a faixa i contribui com (3i/n)²·(3/n):
  
  $R_{n} = i = 1 \sum n (\frac{3 i}{n})^{2} \frac{3}{n} = \frac{27}{n ^{3}} i = 1 \sum n i^{2}$
2. A soma dos primeiros n quadrados é n(n + 1)(2n + 1)/6:
  
  $R_{n} = \frac{27}{n ^{3}} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = \frac{9 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{2 n ^{2}}$
3. Antes de aceitar a fórmula, verifica um caso. Para n = 6, o resultado é 11,375, precisamente o valor da soma à direita com 6 faixas:
  
  $R_{6} = \frac{9 \cdot 7 \cdot 13}{2 \cdot 36} = \frac{819}{72} = 11.375$
4. Faz agora n tender para infinito. Divide o numerador e o denominador por n²:
  
  $R_{n} = \frac{9}{2} (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n}) n \to \infty \frac{9}{2} \cdot 2 = 9$
Resposta

∫₀³ x² dx = 9. Com 6 faixas, o excesso é 2,375. Em geral, a fórmula dá um excesso de 27/(2n) + 9/(2n²), que decresce como 1/n, a ordem de convergência de uma soma pelos extremos.
Interpretar um limite de somas como um integral 3 passos
Calcula o limite, quando n → ∞, de Σ (2/n)·√(1 + 2i/n), com a soma de i = 1 a n.

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1. Identifica os elementos de Σ f(x_i)Δx. O fator 2/n corresponde a Δx, logo b − a = 2. Além disso, x_i = 1 + 2i/n parte de a = 1 quando i = 0 e chega a b = 3 quando i = n:
  
  $Δ x = \frac{2}{n}, x_{i} = 1 + i Δ x, f (x) = x$
2. Trata-se, portanto, da soma à direita de √x em [1, 3], cujo limite é o integral:
  
  $n \to \infty lim i = 1 \sum n \frac{2}{n} 1 + \frac{2 i}{n} = \int_{1}^{3} x d x$
3. Integra:
  
  $[\frac{2}{3} x^{3/2}]_{1}^{3} = \frac{2}{3} (33 - 1) = 2.797435$
Resposta

O limite é ⅔(3√3 − 1) = 2,797435. Também podes interpretar a soma tomando x_i = 2i/n e a função √(1 + x) em [0, 2]. Esse integral vale igualmente 2,797435, uma forma rápida de confirmar a interpretação.
A área abaixo do eixo entra com sinal negativo 3 passos
Calcula ∫₋₁² x dx, compara-o com a área entre a reta y = x e o eixo dos x e verifica o resultado com a soma à esquerda com 6 faixas.

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1. A reta fica abaixo do eixo em [−1, 0] e acima dele em [0, 2]. Os dois triângulos têm áreas ½ e 2:
  
  $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$
2. No integral, o triângulo abaixo do eixo entra com sinal negativo; no cálculo da área, entra com sinal positivo:
  
  $\int_{- 1}^{2} x d x = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$
3. As 6 faixas à esquerda, de largura 0,5, usam as alturas −1; −0,5; 0; 0,5; 1; e 1,5. As duas primeiras são negativas e subtraem-se:
  
  $L_{6} = 0.5 (- 1 - 0.5 + 0 + 0.5 + 1 + 1.5) = 0.5 \times 1.5 = 0.75$
Resposta

∫₋₁² x dx = 3/2, enquanto a área entre a reta e o eixo é 5/2. Uma soma de Riemann adiciona os termos f(x_i*)Δx com o respetivo sinal, pelo que converge para o primeiro valor. Para obter a área, integra |x|. A soma à esquerda, 0,75, é uma aproximação por defeito porque a função é crescente. Já a soma do ponto médio vale exatamente 1,5 para qualquer n: sob uma reta, o retângulo do ponto médio tem a mesma área que o trapézio correspondente.
Uma soma a partir de uma tabela de medições 3 passos
A velocidade de um carro, medida nos instantes t = 0, 2, 5, 7 e 10 s, é, respetivamente, 0, 8, 14, 17 e 20 m/s. Estima a distância percorrida nesses 10 segundos com uma soma à esquerda, uma soma à direita e a regra dos trapézios.
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1. As faixas têm larguras diferentes: 2, 3, 2 e 3 s. A área de cada uma é o produto da sua largura por uma altura, pelo que não há um Δx comum que se possa pôr em evidência. A soma à esquerda usa a velocidade no início de cada intervalo:
  
  $L = 2 (0) + 3 (8) + 2 (14) + 3 (17) = 0 + 24 + 28 + 51 = 103 m$
2. A soma à direita usa a velocidade no fim de cada intervalo:
  
  $R = 2 (8) + 3 (14) + 2 (17) + 3 (20) = 16 + 42 + 34 + 60 = 152 m$
3. A regra dos trapézios usa a média das alturas nos extremos de cada faixa. Mesmo com larguras diferentes, o resultado continua a ser a média das somas à esquerda e à direita:
  
  $T = \frac{1}{2} (L + R) = \frac{1}{2} (103 + 152) = 127.5 m$
Resposta

L = 103 m, R = 152 m, T = 127,5 m. Os valores da velocidade na tabela nunca diminuem. Se a velocidade também nunca diminuiu entre medições, a distância está entre 103 m e 152 m. A tabela não o garante: o carro pode ter travado entre duas medições, sem que nenhuma soma destes cinco valores o revele.

Percurso de aprendizagem

Por que tudo parece reto de perto

Referências (4)

The definition itself, in the paper it first appeared in: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe." Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13, 87–132, 1867 — the section that asks what an integral is to mean for a function with infinitely many discontinuities, and answers with the sum this tool draws.
Upper and lower sums, and the criterion for the two to meet: G. Darboux, "Mémoire sur les fonctions discontinues." Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure 4, 57–112, 1875.
How the definition was arrived at, and what it could not handle: D. M. Bressoud, A Radical Approach to Lebesgue’s Theory of Integration. Cambridge University Press, 2008.
Why medicine runs the trapezoid one way going up and another coming down: K. C. Yeh and K. C. Kwan, "A comparison of numerical integrating algorithms by trapezoidal, Lagrange, and spline approximation." Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 6(1), 79-98, 1978.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.