Por que os ângulos são medidos em radianos

Escolhe um raio e um ângulo e muda a unidade do ângulo. O arco, o setor, o declive do seno e a aproximação para ângulos pequenos acompanham a mudança: todos dependem da mesma definição.

Graus e radianos	$π rad = 18 0^{\circ}$
Comprimento do arco	$s = r θ$
Área do setor	$A = \frac{1}{2} r^{2} θ$
Declive do seno, θ em radianos	$\frac{d}{d θ} sin θ = cos θ$

Exemplo resolvido — Por que os ângulos são medidos em radianos

θ em graus	57,2958°
Comprimento do arco s	1
Área do setor A	0,5
sen θ	0,841471
Segmento circular entre arco e corda	0,079265
Inclinação do seno em θ	0,540302
Erro em sen θ ≈ θ	18,84%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Por que os ângulos são medidos em radianos

Um ângulo de um radiano delimita um arco cujo comprimento é exatamente igual ao raio. A medida de um ângulo em radianos é, portanto, uma razão entre dois comprimentos: o do arco e o do raio. Uma volta completa corresponde a 2π.

O que significa cada símbolo

r: o raio
θ: o ângulo ao centro, em radianos, salvo se tiver o símbolo de grau
s: o arco delimitado pelo ângulo
A: a área do setor, a região delimitada pelos dois raios e pelo arco

De onde vem a fórmula

O arco. Por definição, θ = s/r, logo s = rθ. Numa volta completa, o arco percorre toda a circunferência, de comprimento 2πr. Assim, uma volta completa corresponde a 2π radianos e meia volta, 180°, corresponde a π.
$θ = \frac{s}{r} \Rightarrow s = r θ s = 2 π r \Rightarrow θ = 2 π, π rad = 18 0^{\circ}$
O setor. A área do setor representa a mesma fração da área do círculo que o comprimento do arco representa do comprimento da circunferência: θ de um total de 2π. Essa fração de πr² é ½r²θ. Subtrai a área do triângulo formado pelos dois raios, ½r² sin θ, e obténs a área do segmento circular entre o arco e a corda, representada a ponteado na figura.
$A = \frac{θ}{2 π} \cdot π r^{2} = \frac{1}{2} r^{2} θ \frac{1}{2} r^{2} θ - \frac{1}{2} r^{2} sin θ = \frac{1}{2} r^{2} (θ - sin θ)$
Porque é que o seno começa com declive 1. Numa circunferência de raio 1, para um ângulo entre 0 e π/2, há três regiões contidas umas nas outras: o triângulo interior ao setor, o próprio setor e o triângulo que se estende até à reta tangente. Divide as respetivas áreas por ½ sin θ. Obténs θ/sin θ entre 1 e 1/cos θ. Como 1/cos θ tende para 1, sin θ/θ tende para 1 pela direita. A razão sin θ/θ é uma função par, pelo que o limite pela esquerda é o mesmo: o declive do seno em 0 é exatamente 1.
$\frac{1}{2} sin θ < \frac{1}{2} θ < \frac{1}{2} tan θ \Rightarrow 1 < \frac{θ}{sin θ} < \frac{1}{cos θ} \Rightarrow θ \to 0^{+} lim \frac{sin θ}{θ} = 1 \frac{sin ( - θ )}{- θ} = \frac{sin θ}{θ} \Rightarrow θ \to 0 lim \frac{sin θ}{θ} = 1$
O fator que os graus introduzem. x graus correspondem a πx/180 radianos. Medir em graus alonga o eixo horizontal por um fator de 180/π, pelo que todos os declives ficam multiplicados por π/180. Esse fator surge sempre que se deriva uma função trigonométrica cujo argumento está em graus.
$\frac{d}{d x} sin x^{\circ} = \frac{d}{d x} sin \frac{π x}{180} = \frac{π}{180} cos x^{\circ}$

Problemas resolvidos na íntegra

De graus para radianos e de radianos para graus 2 passos
Exprime 150° em radianos, como múltiplo de π, e 2,5 radianos em graus.

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1. 180° correspondem a π radianos, pelo que um grau corresponde a π/180 radianos. Multiplica e simplifica a fração antes de usares a calculadora:
  
  $15 0^{\circ} = 150 \times \frac{π}{180} = \frac{5 π}{6} \approx 2.61799$
2. Para converter de radianos para graus, multiplica por 180/π:
  
  $2.5 \times \frac{180}{π} = \frac{450}{π} \approx 143.2 4^{\circ}$
Resposta

150° = 5π/6 ≈ 2,61799 rad e 2,5 rad ≈ 143,24°. Num exame, a primeira resposta deve ficar na forma 5π/6; o valor decimal representa o mesmo ângulo, com arredondamento.
Arco, área e perímetro de um setor 3 passos
Um setor de um círculo de raio 8 cm tem um ângulo ao centro de 1,2 radianos. Determina o comprimento do arco, a área e o perímetro do setor.

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1. Com θ em radianos, o comprimento do arco é o produto do raio pelo ângulo:
  
  $s = r θ = 8 \times 1.2 = 9.6 cm$
2. A área corresponde à mesma fração da área do círculo:
  
  $A = \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 64 \times 1.2 = 38.4 c m^{2}$
3. O perímetro é a soma do comprimento do arco com os comprimentos dos dois raios. Esquecer os raios é um erro frequente:
  
  $P = 2 r + s = 16 + 9.6 = 25.6 cm$
Resposta

s = 9,6 cm, A = 38,4 cm² e o perímetro é 25,6 cm.
Determinar o raio e o ângulo a partir do arco e da área 3 passos
Um setor tem um arco de comprimento 12 cm e uma área de 48 cm². Determina o raio e o ângulo.

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1. Escreve os dois dados em função de r e θ:
  
  $r θ = 12, \frac{1}{2} r^{2} θ = 48$
2. A área é metade do produto do raio pelo comprimento do arco, ½r·(rθ) = ½rs. Assim, podes determinar o raio sem conhecer θ:
  
  $\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r \cdot r θ : 48 = \frac{1}{2} \times r \times 12 \Rightarrow r = 8 cm$
3. Depois, usa o comprimento do arco para obter o ângulo:
  
  $θ = \frac{s}{r} = \frac{12}{8} = 1.5 rad \approx 85.9 4^{\circ}$
Resposta

r = 8 cm e θ = 1,5 rad, cerca de 85,94°. Com o raio em 8 e o ângulo em 1,5 na página, voltas a obter um arco de comprimento 12 e uma área de 48.
O segmento circular delimitado por uma corda 3 passos
Numa circunferência de raio 6 cm, uma corda subtende um ângulo ao centro de 120°. Determina a área do menor segmento circular, em valor exato e com três algarismos significativos.

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1. Começa pela conversão. As duas fórmulas de área usadas aqui exigem o ângulo em radianos:
  
  $12 0^{\circ} = 120 \times \frac{π}{180} = \frac{2 π}{3}$
2. A área do segmento circular é a área do setor menos a do triângulo formado pelos dois raios, que é ½r² sin θ:
  
  $A = \frac{1}{2} r^{2} θ - \frac{1}{2} r^{2} sin θ = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{3}{2}$
3. Simplifica cada parcela e calcula depois o valor aproximado:
  
  $A = 12 π - 93 \approx 37.6991 - 15.5885 = 22.1107$
Resposta

12π − 9√3 cm², aproximadamente 22,1 cm². A página usa ½r²(θ − sin θ): a mesma diferença, com ½r² em evidência.

$A = 12 π - 93 \approx 22.1 c m^{2}$
sin 3° sem calculadora 3 passos
Estima sin 3° sem calculadora e indica o erro da estimativa.

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1. Converte o ângulo. A aproximação sin θ ≈ θ só é válida em radianos:
  
  $3^{\circ} = 3 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{60} \approx 0.0523599$
2. Para um ângulo pequeno, o seno é aproximadamente igual ao próprio ângulo:
  
  $sin 3^{\circ} \approx \frac{π}{60} \approx 0.05236$
3. O primeiro termo omitido é −θ³/6, pelo que a estimativa excede o valor verdadeiro em cerca de θ³/6. Isso corresponde a uma fração de aproximadamente θ²/6 do resultado:
  
  $\frac{θ ^{3}}{6} \approx 2.39 \times 1 0^{- 5}, \frac{θ ^{2}}{6} \approx 0.000457 \approx 0.046%$
Resposta

sin 3° ≈ 0,05236, uma estimativa por excesso com um erro de cerca de 0,046%. A página apresenta o valor do seno, 0,052336, e o mesmo erro de 0,046%.
Diâmetro da Lua: 0,5181° no céu a 384 400 km de distância 6 passos
A Lua ocupa 0,5181° no céu e está a 384 400 km de distância. Calcula o seu diâmetro e o efeito de te esqueceres de converter a unidade.

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1. Para um objeto pequeno e distante, a fórmula é dimensão = distância × ângulo. É a relação s = rθ, com a distância à Lua no lugar do raio. θ tem de estar em radianos.
  
  $s = r θ (θ in radians)$
2. Converte: 0,5181 × π/180 = 0,0090426 radianos.
  
  $0.518 1^{\circ} \times \frac{π}{180} = 0.0090426$
3. Multiplica. 384 400 × 0,0090426 = 3 476 km, face a um diâmetro médio medido de 3 474,8 km.
  
  $384, 400 \times 0.0090426 = 3, 476 km$
4. Agora ignora a conversão e multiplica diretamente por 0,5181. Obténs 199 158 km: uma Lua cujo diâmetro já seria uma boa parte da distância entre a Terra e a Lua.
  
  $384, 400 \times 0.5181 = 199, 158 km$
5. A razão entre os dois resultados é 57,30, ou seja, 180/π. Sempre que se omite esta conversão, o resultado fica errado por esse mesmo fator, quaisquer que sejam os números usados.
  
  $\frac{199 , 158}{3 , 476} = 57.30 = \frac{180}{π}$
6. Antes de confiar no resultado, convém verificar a aproximação. A fórmula trata o diâmetro da Lua como um arco, em vez de um segmento de reta que a atravessa. Para este ângulo, a diferença é de 12 metros em 3 476 km, ou 3 partes por milhão. A precisão do resultado não é limitada por esta aproximação.
  
  $arc - chord = 12 m in 3, 476 km$
Resposta

3 476 km; esquecer a conversão para radianos introduz um fator de 57,3. A precisão do quarto algarismo depende dos dados que se combinam. Ao longo de um mês, a distância à Lua varia entre cerca de 363 300 km e 405 500 km, uma variação de 11%, acompanhada por uma mudança no seu diâmetro angular. Mesmo combinando um ângulo médio com uma distância média, o resultado fica desviado em 1,2 km: é a diferença entre os 3 476 acima e os 3 474,8 medidos. Isto acontece porque o diâmetro angular varia como 1/d, e a média dos inversos não é o inverso da média. Se combinares esse ângulo médio com a distância desta noite, o erro chega a 190 km no perigeu, mesmo com todas as contas certas. A equação não tem como detetar que os dois valores introduzidos correspondem a momentos diferentes.
O declive do seno em graus 4 passos
Uma calculadora no modo de graus calcula f(x) = sin x, com x em graus. Determina f′(60) e compara o resultado com o declive do seno em π/3 radianos.

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1. x graus correspondem a πx/180 radianos, pelo que f é o seno de uma variável com uma mudança de escala:
  
  $f (x) = sin x^{\circ} = sin \frac{π x}{180}$
2. A mudança de escala do eixo multiplica todos os declives pelo mesmo fator, π/180:
  
  $f^{'} (x) = \frac{π}{180} cos \frac{π x}{180} = \frac{π}{180} cos x^{\circ}$
3. Em x = 60, cos 60° = ½:
  
  $f^{'} (60) = \frac{π}{180} \times \frac{1}{2} = \frac{π}{360} \approx 0.008727$
4. O mesmo ponto em radianos é π/3, onde o declive é cos(π/3) = ½. Os dois resultados diferem apenas pelo fator π/180:
  
  $\frac{d}{d θ} sin θ_{θ = π /3} = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$
Resposta

f′(60) = π/360 ≈ 0,008727 por grau, face a ½ por radiano.

$f^{'} (60) = \frac{π}{360} \approx 0.008727$
θ fica entre o seno e a tangente, mas não a meio 6 passos
A 10°, o painel apresenta um arco de comprimento 0,174533, um seno de 0,173648 e um erro de 0,51%. Calcula a tangente do mesmo ângulo e verifica se 0,51% é o menor erro que se pode obter com estes dois valores trigonométricos.

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1. 10 graus correspondem a 10 × π/180 = 0,174533 radianos. Numa circunferência de raio 1, o comprimento do arco é igual à medida do ângulo. É precisamente o que diz s = rθ.
  
  $θ = 1 0^{\circ} \times \frac{π}{180} = 0.174533 rad, s = r θ = θ (r = 1)$
2. O seno fica um pouco abaixo, em 0,173648. O painel divide essa diferença pelo seno e apresenta um erro de 0,51%.
  
  $sin θ = 0.173648, \frac{θ - sin θ}{sin θ} = \frac{0.000885}{0.173648} = 0.51%$
3. É possível prever a ordem de grandeza da diferença. Como sin θ = θ − θ³/6 + …, θ − sin θ deve ser aproximadamente θ³/6 = 0,000886, face ao valor medido de 0,000885.
  
  $sin θ = θ - \frac{θ ^{3}}{6} + \dots ⟹ θ - sin θ \approx \frac{θ ^{3}}{6} = 0.000886$
4. A tangente fica acima de θ por um termo do mesmo tipo, mas com o dobro do coeficiente: tan θ = θ + θ³/3 + …, o que dá tan θ − θ = 0,001794. Assim, sin θ < θ < tan θ. É este enquadramento que, pelo teorema das sucessões enquadradas, permite provar que o declive do seno em zero é exatamente 1 quando o ângulo está em radianos. A página só apresenta a metade inferior desse enquadramento.
  
  $tan θ = θ + \frac{θ ^{3}}{3} + \dots = 0.176327 ⟹ tan θ - θ = 0.001794 \approx \frac{θ ^{3}}{3}$
5. O intervalo não é simétrico. A diferença entre a tangente e θ é 2,03 vezes a diferença entre θ e o seno. Por isso, θ fica a cerca de um terço do caminho entre o seno e a tangente.
  
  $sin θ < θ < tan θ, \frac{tan θ - θ}{θ - sin θ} = 2.03 ⟹ θ lies one third of the way up$
6. Uma média ponderada nessa proporção anula os termos cúbicos, pois 2(−⅙) + ⅓ = 0. Obtém-se (2 sin θ + tan θ)/3 = 0,1745411, com um erro de 8,2 × 10⁻⁶, ou 0,0047%. Com os mesmos dois valores, o erro fica mais de cem vezes menor do que usando apenas o seno.
  
  $2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3} = 0 : \frac{2 sin θ + tan θ}{3} = 0.1745411, out by 8.2 \times 1 0^{- 6} = 0.0047%$
Resposta

A tangente é 0,176327, acima do comprimento do arco, e é possível fazer muito melhor do que 0,51%. Esta ponderação tem uma longa história sob outra forma. Um polígono regular inscrito numa circunferência de raio unitário tem perímetro 2n sin(π/n), e o circunscrito tem perímetro 2n tan(π/n). São o mesmo seno e a mesma tangente, com θ = π/n. Dividindo os perímetros pelo diâmetro, obtêm-se os limites clássicos para π. Com 96 lados, esses limites são 3,14103195 e 3,14271460, que, por si só, permitem fixar π em 3,14. Combinados na forma (2 × 3,14103195 + 3,14271460)/3, dão 3,14159283, face ao valor verdadeiro de 3,14159265. A tangente já fazia parte do modelo da ferramenta; só o seno tem um cartão próprio, porque é a aproximação para ângulos pequenos que se usa nas aulas de Física.

$n = 96 : \frac{2 ( 3.14103195 ) + 3.14271460}{3} = 3.14159283 (π = 3.14159265)$

A derivada do seno só é o cosseno em radianos 🖖

Prima O cálculo do declive depende de. Em θ = 0, o declive do seno é exatamente 1. Mude agora a unidade: o mesmo ponto da mesma curva passa a indicar 0,017453, pois um grau é um passo menor do que um radiano e, a cada passo, o seno aumenta proporcionalmente menos. A regra simples d/dx sen x = cos x só é válida, portanto, quando x está em radianos. O mesmo vale para a série do seno, para cada termo de Fourier e para o resultado da aproximação de ângulos pequenos apresentado abaixo. É perfeitamente possível fazer cálculo diferencial e integral em graus, mas o fator permanece sempre presente: a primeira derivada traz π/180, a segunda traz o quadrado desse fator e a integral traz o seu inverso. Por isso, ninguém adota esse sistema.

A aproximação resiste muito mais do que seria esperado 🖖

Para um ângulo pequeno, sin θ ≈ θ. O termo seguinte da série é −θ³/6, pelo que o erro relativo cresce aproximadamente como θ²/6, ou seja, com o quadrado do ângulo. Por isso, mantém-se pequeno durante bastante tempo. A 1°, o erro é de 0,005%; a 5°, de 0,127%; mesmo a 10°, é de apenas 0,51%. Aos 30°, a aproximação já falha de forma apreciável: o erro chega a 4,72%. É esta aproximação que permite tratar o movimento de um pêndulo como harmónico simples: na equação, substitui-se sin θ por θ. Num relógio de pêndulo real, quanto maior for a amplitude da oscilação, mais o relógio se atrasa. Esse atraso relativo também cresce com o quadrado do ângulo.

Percurso de aprendizagem

Por que tudo parece reto de perto

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.