Explorador de Ondas Seno/Cosseno

ondas trigonométricas parametrizadas, visualizadas em tempo real

Exemplo resolvido — Explorador de Ondas Seno/Cosseno

Amplitude \|A\|	1
Deslocamento vertical D	0

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Explorador de Ondas Seno/Cosseno

Todas as ondas sinusoidais que encontrar são a mesma curva à qual foram aplicados quatro números: y = A·sin(Bx + C) + D. A estica-a verticalmente, B comprime-a horizontalmente, C desloca-a lateralmente e D eleva-a. Nada mais na sua forma pode mudar.

O que significa cada símbolo

A: a amplitude — metade da distância do vale à crista. A leitura indica |A| porque um A negativo inverte a onda sem alterar a sua altura.
B: o fator de frequência, e repare na designação: não é a frequência. Conta quantos radianos o argumento avança por unidade de x.
C: o termo de fase, em radianos. Está dentro dos parênteses, razão pela qual não é o desfasamento em si.
D: o deslocamento vertical — a linha média em torno da qual a onda oscila.

De onde vem a fórmula

O seno repete-se quando o seu argumento avança 2π. Portanto, a onda repete-se quando Bx + C aumenta 2π.
C é constante, pelo que todo esse aumento tem de vir de Bx: precisa de B·Δx = 2π.
Portanto, o período é T = 2π/|B| — 6.2832 quando B = 1, e reduzido para metade quando B = 2. O valor absoluto está lá porque um B negativo inverte a onda, mas não lhe pode dar um comprimento negativo.

Como ler o que vê

Arraste B e observe a linha do desfasamento: é a forma mais rápida de ver que o desfasamento depende de ambos os números. A equação é apresentada de volta com os seus quatro números inseridos e, em seguida, cada propriedade é deduzida em vez de ser meramente enunciada: |A|, o período como 2π/|B|, o desfasamento como −C/B e D.

Pressupõe: O ângulo está em radianos, razão pela qual surge 2π em vez de 360. Os quatro parâmetros também são independentes — esta forma não pode produzir uma onda cuja amplitude decaia, independentemente de como os defina.
Falha quando: A armadilha é o desfasamento, e a leitura é deliberadamente explícita a esse respeito: a onda desloca-se −C/B, e não −C. Com B = 2 e C = π, o desfasamento é −π/2, metade do que os parênteses parecem prometer, porque C é medido na coordenada comprimida e não em x. Leia sin(Bx + C) como sin(B(x + C/B)) e o fator de B deixa de ser uma surpresa.

como uma roda giratória cria o seno e o cosseno 🖖

Seno e cosseno não são realmente sobre triângulos — são a sombra horizontal e vertical de um ponto que se move a velocidade constante ao redor de um círculo. À medida que o ponto percorre o ângulo θ = Bx + C, sua posição vertical traça sin(θ) enquanto sua posição horizontal traça cos(θ), o que explica exatamente por que as duas curvas são idênticas, exceto por uma defasagem de um quarto de volta (π/2). Isso também explica por que B controla a frequência, mas nunca a amplitude: B só muda a velocidade com que o ponto percorre a roda, não o quanto sua sombra oscila. A mesma ideia do vetor girante — uma roda giratória disfarçada — é como os engenheiros descrevem a corrente alternada, o som e os sinais de rádio como fasores.

«seno» vem de um erro de tradução 🖖

A palavra seno é um acidente histórico. Os matemáticos indianos a chamavam de jyā (corda de arco); os sábios árabes a adotaram como jayb, que por acaso também significava «baía» ou «dobra». Quando os tradutores latinos leram a palavra, traduziram esse sentido alheio literalmente como sinus — latim para uma baía ou a dobra de uma veste. Assim, cada vez que você escreve sin, usa um erro de tradução do século XII de «corda de arco».

Prática

Verifique você mesmo

Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.

A predefinição fase π/2 fixa C = 1.5708 e a linha da desfasagem mostra −1.5708 — a onda desliza para a esquerda apesar de C ser positivo. Muda agora B para 2 e deixa C como está. Prevê a desfasagem antes de olhares.

Mostrar a resposta

−0.7854, exatamente metade; com B = 4 são −0.3927. A linha calcula −C/B, não −C, por isso subir a frequência encolhe o deslocamento na mesma proporção. C mede-se em radianos do argumento enquanto o deslocamento se mede ao longo de x, e B é a taxa de câmbio entre os dois. O sinal menos é a outra metade da surpresa: sin(x + C) faz em x = −C o que o seno simples faz em 0, portanto somar ao argumento recua a imagem. Este caso em concreto tem ainda um nome — com B = 1 e C = π/2, sin(x + π/2) é cos x. Muda a função para cos e repõe C em 0 para veres a mesma curva chegar pelo outro caminho.
A predefinição deslocamento combinado desenha 1.5·cos(x − 0.7854) + 1, e a linha da amplitude mostra 1.5. Que valores máximo e mínimo atinge realmente esta onda, e porque é que nenhuma linha os imprime?

Mostrar a resposta

2.5 e −0.5. A amplitude é uma meia-altura medida a partir da linha central da onda, e aqui essa linha central não é y = 0: a linha do deslocamento vertical diz D = 1. Os extremos são portanto D + |A| e D − |A|. Nenhuma linha os imprime porque estas quatro linhas são os quatro *parâmetros* da forma padrão A·sin(Bx + C) + D, e não as suas saídas. Ler |A| como o máximo é o deslize habitual, e a linha do deslocamento vertical, mesmo por baixo, é precisamente o que te impede de o cometer.

Problema resolvido na íntegra

Um cosseno deslocado mostrado como um seno simples mais um cosseno simples 6 passos
y = 1,5 cos(x − 0,7854) + 1. Identifique a amplitude, o período e os deslocamentos — depois mostre que o cosseno deslocado é um seno simples mais um cosseno simples. Este é o estado deslocamento combinado.
1. Quatro parâmetros, e cada um move a curva de uma forma diferente. Apenas dois deles interagem.
  
  $y = A cos (B x + C) + D = 1.5 cos (x - 0.7854) + 1$
2. A amplitude é a meia-altura, pelo que a curva se situa numa faixa de largura 2|A| centrada em D. Mais nada afeta o contradomínio.
  
  $∣ A ∣ = 1.5 ⟹ y \in [D - ∣ A ∣, D + ∣ A ∣] = [- 0.5, 2.5]$
3. O período depende apenas de B. Um B maior significa que o argumento varia mais rapidamente, pelo que o período encurta.
  
  $T = \frac{2 π}{∣ B ∣} = \frac{2 π}{1} = 6.2832$
4. O deslocamento horizontal é onde o argumento é zero, ou seja, −C/B. Dividir por B é o passo que as pessoas omitem, e é o passo que importa assim que B não é 1.
  
  $B x + C = 0 ⟹ x = - \frac{C}{B} = + 0.7854 — the shift is - C / B, not C$
5. Agora expanda. O cosseno de uma diferença desdobra-se em dois termos, e cos(π/4) e sin(π/4) são ambos 1/√2.
  
  $1.5 cos (x - \frac{π}{4}) = 1.5 (cos x cos \frac{π}{4} + sin x sin \frac{π}{4}) = 1.0607 cos x + 1.0607 sin x$
6. Faça o caminho inverso para verificar. Os dois coeficientes voltam a combinar-se na amplitude original, e a sua razão recupera a fase.
  
  $1.060 7^{2} + 1.060 7^{2} = 1.5, arctan \frac{1.0607}{1.0607} = \frac{π}{4}$
Resposta

1,0607 cos x + 1,0607 sin x + 1 e os dois coeficientes são 1,5/√2. A expansão do deslocamento com a fórmula da soma transforma uma onda com desfasamento numa soma ponderada de um seno e um cosseno sem desfasamento à mesma frequência — e o processo inverte-se, pelo que qualquer a cos x + b sin x regressa a uma única onda de amplitude √(a² + b²) e fase arctan(b/a). Essa equivalência é a razão pela qual as séries de Fourier apenas precisam de senos e cossenos e nunca de um terceiro parâmetro por termo: a fase já está incluída, oculta na razão entre os dois coeficientes. A outra coisa que vale a pena reter deste painel é o sinal menos — o deslocamento horizontal é −C/B, e não C, e quando B ≠ 1 os dois nem sequer têm o mesmo tamanho.

$Δ x = - \frac{C}{B} = 0.7854; a cos x + b sin x = a^{2} + b^{2} cos (x - arctan \frac{b}{a})$

Percurso de aprendizagem

Círculos e ondas são o mesmo movimento

Conduz a Movimento circular os quatro números que descrevem qualquer sinusoidal, bem como o período como T = 2π/|B|.

Referências (2)

The phase shift is −C/B and not −C, which is the trap the readout is explicit about: D. G. Fraser, "A Method for Finding the Period and Phase Shift of Trigonometric Functions." The Mathematics Teacher 61(8), 762–763, 1968.
On what students actually take away from amplitude, period and phase: K. Weber, "Students' understanding of trigonometric functions." Mathematics Education Research Journal 17(3), 91–112, 2005.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-05-11

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Problemas de exemplo

seno básico - y=sin(x) — amplitude 1, período 2p≈6.28
frequência dupla - y=sin(2x) — frequência dobrada, período reduzido à metade, p≈3.14
deslocamento de fase de π/2 - y=sin(x+p/2) — deslocamento de fase de p/2 para a esquerda, equivale a cos(x)
deslocamento combinado - y=1.5·cos(x-p/4)+1 — combinação de amplitude, fase e deslocamento vertical