Pêndulo Simples / MHS

Determine o período de um pêndulo de 1 m libertado a 20° e descubra quão errada está a fórmula do manual — porque a fórmula do manual não é a resposta. Considere g = 9,81 m/s².

1. O binário restaurador varia com sin θ, o que não produz um movimento harmónico simples. A famosa fórmula só surge após a substituição de sin θ por θ — uma aproximação, não uma dedução, e tudo o que se segue herda-a.

   $$m\ell \ddot{\theta }=-mg\sin \theta \stackrel{\sin \theta \approx \theta }{\to }\ddot{\theta }=-\frac{g}{\ell }\theta$$

2. Com essa troca, a equação passa a ser a do oscilador harmónico e o período obtém-se diretamente. Note o que ela não contém: a massa e a amplitude. Ambas as ausências são consequências da aproximação, não do pêndulo.

   $$T_0=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}=2\pi \sqrt{\frac{1}{9.81}}=2.006\mathrm{s}$$

3. O período exato é um integral elíptico, mas o seu desenvolvimento em série indica a rapidez com que a aproximação perde precisão. A correção é quadrática no ângulo de libertação, em radianos.

   $$T=T_0\left(1+\frac{{\theta }_0^2}{16}+\cdots \right),{\theta }_0=20^{\circ }=0.349\mathrm{rad}$$

4. Calcule-o. Este é o valor que o simulador acima apresenta, porque utiliza o período corrigido em vez do do manual.

   $$T=2.006\left(1+\frac{0.349^2}{16}\right)=2.006\times 1.00762=2.021\mathrm{s}$$

5. A velocidade máxima resulta exclusivamente da energia — a altura de queda ℓ(1−cos θ₀) convertida em energia cinética — e não requer qualquer aproximação.

   $$v_{\max }=\sqrt{2g\ell (1-\cos {\theta }_0)}=\sqrt{2(9.81)(1)(1-\cos 20^{\circ })}=1.088m/s$$