Laboratório de Movimento Circular

Explore o Movimento Circular Uniforme e trajetórias circulares verticais com simulação de projétil por perda de tensão no fio.

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Lição

A teoria — Laboratório de Movimento Circular

Algo que se mova em círculo com velocidade escalar constante continua a acelerar, porque a aceleração é uma variação da velocidade e a velocidade inclui a direção. Essa aceleração aponta sempre para o centro — que é o significado da palavra centrípeta, e é por isso que uma trajetória circular necessita de uma força para se manter.

O que significa cada símbolo

r: o raio do círculo, 1.50 m aqui. Está presente quer em v = ωr quer em a_c = ω²r, pelo que alargar o círculo para um ω fixo faz o objeto deslocar-se mais depressa e acelerar com maior intensidade — os dois não são independentes.
ω: a velocidade angular em radianos por segundo — a rapidez com que o ângulo varia, 2.0 rad/s. Por si só, não indica o tamanho.
v: a velocidade escalar tangencial, ao longo do círculo: v = ωr = 3.00 m/s.
a_c: a aceleração centrípeta, ω²r = 6.00 m/s². Note o que não está nela.
T: o período, uma volta completa: 2π/ω = 3.14 s, ou 0.32 voltas por segundo.

De onde vem a fórmula

Num pequeno intervalo de tempo, o vetor velocidade não altera o seu comprimento, apenas a direção — roda segundo o mesmo ângulo Δθ = ω·Δt que o objeto.
Rodar um vetor de comprimento v segundo um ângulo pequeno altera-o em v·Δθ, com direção perpendicular à velocidade, isto é, apontando para o centro. Assim, a aceleração tem módulo v·Δθ/Δt = v·ω.
Substituindo v = ωr obtêm-se as duas formas que a página utiliza: a_c = ω²r e, de forma equivalente, a_c = v²/r. Nos valores predefinidos, 2.00² × 1.50 = 6.00 m/s².

Pressupõe: Movimento circular uniforme: velocidade escalar constante, raio constante e uma restrição rígida a manter o objeto na sua trajetória. Aumente a velocidade ou varie o raio e surgirá uma segunda aceleração, tangencial, que nenhuma destas fórmulas descreve.
Falha quando: Duas coisas dignas de nota, sendo a segunda um verdadeiro erro concetual. Primeiro, a_c = ω²r não contém massa alguma — altere a caixa da massa e a aceleração não muda; a massa só entra quando se pede a força, F = m·a_c. Segundo, não existe nenhuma força para fora. O empurrão para fora que sente num carrossel é a sua própria inércia a levá-lo em linha reta enquanto o assento roda; a única força real aponta para dentro e, se ela desaparecer, continuará ao longo da tangente — e não para fora.

Velocidade constante e ainda assim acelerando o tempo todo 🖖

Nada muda na rapidez da bola no primeiro preset desta ferramenta — ela mantém 3,00 m/s do início ao fim — e ainda assim a leitura mostra também uma aceleração de 6,00 m/s² que nunca se desliga. As duas coisas são verdade, porque aceleração é a variação da velocidade como vetor, e um vetor carrega direção. O módulo está fixo; a direção gira a cada instante, então algo tem de estar puxando. É por isso que o movimento circular "uniforme" não é movimento sem aceleração, e é o que estudantes erram com mais frequência aqui. O puxão também cresce de forma feroz: a_c = ω²r, então elevar a rotação de 2,0 para 4,5 rad/s — apenas 2,25 vezes — multiplica a aceleração por 5,06, até 30,38 m/s². Isso é cerca de 3,1g no cabo de um lançador de martelo.

A força centrípeta é um papel, não uma força 🖖

Nada que se chame centrípeto empurra o objeto; a palavra apenas nomeia a força real que, em cada caso, aponta para o centro — a tensão do fio, a gravidade de um satélite, o atrito de um carro em curva. Ela aponta sempre para dentro, ao longo do raio. A conclusão concreta: corte o fio e a bola não sai reto para fora — ela parte em linha reta ao longo da tangente, pois já não resta força alguma para curvar sua trajetória.

Loopings de montanha-russa são gotas, não círculos 🖖

Um looping perfeitamente circular exigiria alta velocidade de entrada, e atravessar a base nessa velocidade esmagaria os passageiros com brutais forças g. Como a velocidade mínima bem no topo é apenas √(gr) — independente da massa — os engenheiros estreitam o raio no topo e o alargam na base, dando a forma de gota chamada clotoide (espiral de Euler), introduzida por Werner Stengel em 1976. Menos velocidade no alto, forças g mais suaves embaixo.

Prática

Verifique você mesmo

Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.

A predefinição volta vertical faz girar um fio de 1.00 m a v₀ = 7.3 m/s e indica sucesso. A predefinição fio frouxo usa 1.50 m a 6.0 m/s e falha. Escreve 7.3 como velocidade inferior da predefinição frouxa: a velocidade que bastou com o fio curto salva o comprido?

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Não — fica frouxo na mesma, tensão no topo 0.0 N. A condição é v₀ ≥ √(5gr), que cresce com a raiz do raio: 7.00 m/s a r = 1.00 m, mas 8.57 m/s a r = 1.50 m. Sobe a velocidade aos poucos na volta de 1.5 m e o veredicto muda entre 8.5 m/s (tensão no topo −0.8 N, frouxo) e 8.6 m/s (0.3 N, esticado), exatamente onde a fórmula prevê. O 5 não é um remendo: a conservação de energia dá v_top² = v₀² − 4gr, e manter-se esticado até lá acima exige que só a gravidade forneça ali a força centrípeta, v_top² = gr. Soma as duas e o 5 aparece.
A predefinição força centrípeta roda 2.0 kg num braço de 1.80 m a ω = 2.2 rad/s e indica a꜀ = 8.7 m/s² — mesmo abaixo de um g. Que ω torna a aceleração centrípeta exatamente igual a g, e que força mostra então o painel?

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ω = √(g/r) = √(9.8/1.8) = 2.33 rad/s. Introduz esse valor e o painel marca a꜀ = 9.8 m/s² e F = 19.5 N, que é precisamente o peso dos 2.0 kg. É o cruzamento em que um pêndulo cónico fica a 45°: o puxão lateral de que precisa igualou o puxão para baixo que já tinha. Repara que o g tens de o trazer tu — o painel mostra a aceleração e a força, nunca o peso, por isso a comparação é tua.

Problema resolvido na íntegra

Bola de 1 kg num fio de 1 m girada num círculo vertical 5 passos
Uma bola de 1 kg numa corda de 1 m, a girar num círculo vertical e a passar pelo ponto inferior a 7,3 m/s. Determine se a corda se mantém esticada no ponto superior e a que força tem de resistir no ponto inferior. Este é o modo Loop Vertical com r = 1,0 m, m = 1,0 kg, g = 9,8 m/s² e v₀ = 7,3 m/s.
1. No ponto superior do círculo, o centro fica diretamente abaixo, pelo que a gravidade e a corda puxam no mesmo sentido. Uma corda pode puxar, mas nunca empurrar, por isso o caso limite é aquele em que a corda não contribui em nada e apenas a gravidade tem de suprir toda a exigência centrípeta.
  
  $T_{top} + m g = \frac{m v _{top}^{2}}{r}, T_{top} \geq 0 ⟹ v_{top, min} = g r = 9.8 \times 1.0 = 3.13 m/s$
2. A velocidade no ponto superior resulta da energia, não das forças. A subida de 2r é paga à custa da energia cinética, e combinar isso com a condição do passo 1 dá uma velocidade mínima no ponto inferior igual a √5 vezes a velocidade mínima no ponto superior.
  
  $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v_{top}^{2} + m g (2 r) ⟹ v_{0}^{2} = v_{top}^{2} + 4 g r, v_{0, m i n} = 5 g r = 49.0 = 7.00 m/s$
3. Portanto, 7,3 m/s supera o mínimo de 7,00 m/s em 4,3%. Em v², esse excedente é de 4,29, e a subida subtrai um valor fixo de 4gr em vez de uma fração, pelo que a totalidade dos 4,29 se mantém até ao ponto superior — onde se confronta com uma exigência de apenas 9,8, sendo portanto equivalente a 44% nesse ponto.
  
  $v_{0}^{2} - v_{0, m i n}^{2} = 53.29 - 49.00 = 4.29; v_{top}^{2} = 53.29 - 39.20 = 14.09 ⟹ v_{top} = 3.75 m/s$
4. Agora, as duas tensões. No ponto superior, a gravidade aponta para dentro e paga parte da conta, pelo que a corda cobre o défice — e esse défice é o valor de 4,29 do passo 3, porque m/r é igual a 1 aqui. No ponto inferior, a gravidade aponta para fora, pelo que a corda suporta a exigência centrípeta mais o peso total.
  
  $T_{top} = \frac{m v _{top}^{2}}{r} - m g = 14.09 - 9.80 = 4.29 N, T_{bot} = \frac{m v _{0}^{2}}{r} + m g = 53.29 + 9.80 = 63.09 N$
5. Subtraia-as. Os dois termos em v² diferem por exatamente 4gr, os dois termos do peso somam-se em vez de se anularem, e todos os vestígios da velocidade desaparecem.
  
  $T_{bot} - T_{top} = \frac{m ( v _{0}^{2} - v _{top}^{2} )}{r} + 2 m g = 4 m g + 2 m g = 6 m g = 58.8 N$
Resposta

A ferramenta apresenta 63,1 N no ponto inferior, 4,3 N no ponto superior, e uma velocidade mínima no topo do loop de 3,13 m/s. O passo 5 é o que vale a pena reter: a diferença entre as duas tensões é de 6mg — 58,8 N neste caso — e não depende de todo da velocidade, pelo que girar mais depressa aumenta ambas simultaneamente e nunca a reduz. Funcionando no limite mínimo, a tensão no ponto superior é zero e a tensão no ponto inferior é, portanto, exatamente 6mg, o que para um passageiro num loop circular de montanha-russa representa 6 g de peso aparente. Isso ultrapassa o que uma pessoa consegue suportar sentada na vertical, e é por isso que nenhum loop moderno é circular: uma clotóide reduz o raio no topo, onde um raio menor significa uma menor velocidade exigida, e alarga-o na base, onde v²/r é o que pressiona o passageiro.

$T_{bot} - T_{top} = 6 m g \forall v_{0}$