Construtor de séries de Fourier

Uma série de Fourier afirma que qualquer onda periódica, por mais recortada que seja, é uma soma de senos puros cujas frequências são múltiplos inteiros de uma fundamental. A soma é construída termo a termo e desenhada por cima do alvo. A palavra interessante é igual: a soma alcança o alvo onde o alvo é contínuo, e a linha Peak é onde se descobre o que acontece onde não é.

O que significa cada símbolo

N

quantos termos estão a ser somados. O cursor termina em 20, e a linha da série nomeia cada coeficiente que usa.

k

o índice do harmónico — que múltiplo da fundamental um termo carrega. A quadrada e a triangular usam só k ímpares; a dente de serra usa todos.

aₖ

o coeficiente do harmónico k, impresso na linha da série. O seu tamanho diz quanto essa frequência importa, e a rapidez com que os coeficientes encolhem decide a rapidez da convergência.

Peak

max|fN(x)|, o ponto mais alto da soma parcial. O alvo tem amplitude 1, portanto esta linha pergunta na verdade se a soma passou.

De onde vem a fórmula

1. Lê os coeficientes na página. Para a quadrada, a linha da série imprime 1.273 sin(x) + 0.4244 sin(3x) + 0.2546 sin(5x) + …, ou seja 4/(kπ) em k = 1, 3, 5. Nada é ajustado — os coeficientes vêm de um integral, e cada forma de onda tem os seus.
2. Repara em que harmónicos faltam. Quadrada e triangular usam só k ímpares porque ambas cumprem f(x + π) = −f(x): deslocadas meio período trocam de sinal, e um harmónico par não consegue fazer isso. A dente de serra não tem essa simetria e por isso precisa de todos os harmónicos — o que a linha «Harmonics used» diz sem rodeios.
3. O primeiro coeficiente já denuncia a velocidade de convergência. A quadrada dá 4/π = 1.273 e decai como 1/k; a triangular 8/π² = 0.8106 e decai como 1/k²; a dente de serra 2/π = 0.6366 e decai como 1/k. Decair mais depressa significa menos termos para a mesma fidelidade — por isso a triangular parece acabada muito antes das outras duas.
4. Olha agora para a linha Peak em vez do desenho. Com um alvo sem saltos, o pico devia subir até 1 e ficar. Com um alvo com salto faz algo muito diferente, e é disso que trata o resto desta lição.

Como ler o que vê

Põe a forma em triangular e sobe o N desde 1: o pico marca 0.8106, 0.9006, 0.9331, 0.9596 … 0.9899 em N = 20. Sobe para 1 por baixo e nunca o ultrapassa. Muda para quadrada: 1.273, 1.2, 1.188, 1.182 … e depois simplesmente pára, em 1.179, e nenhum harmónico adicional o move. Por fim a dente de serra: 0.6366, 0.827, 0.9185, depois 1.008 em N = 5 — atravessa o 1 — e em N = 20 vai em 1.131 e continua a subir. Três formas e três histórias completamente diferentes numa só linha. A dente de serra é a que engana: olhando só para ela concluirias que o excesso cresce sem limite. Não cresce. Vai para o mesmo 1.179 da quadrada, apenas por baixo.

Pressupõe

Que vinte termos chegam para ver a tendência, e que o pico é encontrado por amostragem — a linha RMS é avaliada em 801 pontos do período, e o pico é o maior dessas amostras, não um máximo resolvido. Ambas as coisas servem para observar a convergência e nenhuma serviria para uma demonstração.

Falha quando

O excesso nunca desaparece. Aquele 1.179 estável não é a série a ficar sem fôlego: o limite é (2/π)·Si(π) = 1.17898…, e acrescentar harmónicos eternamente estreita o pico sem o baixar. Portanto a série converge para a quadrada em cada ponto isolado e nunca uniformemente — exatamente a distinção que este fenómeno existe para ensinar. Explica também uma contradição aparente nesta página: a ideia acima fala de cerca de 8.95% e esta linha de 17.9%. Ambas estão certas — 0.179 medido contra a amplitude 1 é 0.0895 medido contra o salto de 2. Michelson deparou-se com o pico em 1898 no seu próprio analisador harmónico e suspeitou de uma avaria na máquina; Gibbs escreveu no ano seguinte à Nature a explicar que era a matemática a fazê-lo, e não o latão.