Lições Interativas de Matemática e Ciências
Fixe algumas regras e as consequências deixam de depender de si. O que daí decorre raramente é o que se teria suposto, e as ferramentas aqui existem para mostrar com que consequência se ficou.
Sequências curtas em vez de ferramentas soltas. Cada passo entrega ao seguinte algo específico, pelo que vale a pena seguir a ordem.
L1: fundamentos
MATHTrês ferramentas que estruturam uma única lição: um valor de resumo é uma compressão com perdas, e a forma de comprimir determina sobre o que o resumo é honesto. Cada etapa entrega à seguinte uma limitação específica dos resumos de um único número.
L1: fundamentos
MATHSeis ferramentas que constroem os resultados fundamentais do triângulo e do círculo na ordem em que realmente dependem uns dos outros. Nada aqui é imposto: cada regra surge como consequência da anterior, e o percurso termina ao colocar a primeira de novo num referencial, onde se transforma na fórmula da distância.
L1: fundamentos
MATHTrês ferramentas e um único argumento: há números que não se conseguem escrever até ao fim. A melhor versão curta de um deles procura-se em vez de se adivinhar, e cortar um número tem um custo que se pode medir.
L1: fundamentos
MATHSão seis ferramentas que estruturam a resolução de equações respeitando a ordem natural de dependência dos conceitos. Começam com o que um sinal de menos faz e chegam a um método mecânico para três incógnitas em simultâneo. Cada etapa entrega à seguinte algo muito específico: um passo algébrico, uma restrição a esse passo, ou um teste para confirmar se ele foi válido.
L2: escola
MATHQuatro ferramentas que fundamentam uma ideia: o dinheiro tem valores diferentes em momentos distintos, e um pagamento recorrente pode ser reduzido a uma única fórmula. Cada passo fornece algo específico ao seguinte.
L2: escola
MATHTrês ferramentas, um hábito. Quando as grandezas diferem por fatores em vez de quantidades, pare de as contar e passe a contar expoentes. A primeira constrói a régua. A segunda percorre-a. A terceira marca um número nela sem qualquer dado inicial.
L2: escola
MATHO problema do aniversário parece um truque de salão, mas é, na verdade, a ferramenta padrão para analisar colisões. É na segunda etapa que os cientistas da computação o reencontram, sob um nome diferente.
L2: escola
MATHQuatro ferramentas, e cada uma existe porque a ferramenta anterior se esgota. A fatorização funciona quando as raízes são simples, a fórmula resolve quando não são, a divisão atua além do grau dois, e uma função racional é o que dois polinômios formam quando um repousa sobre o outro.
L2: escola
MATHTrês ferramentas. A ideia central desta sequência é percebermos que não se trata de três assuntos distintos. Uma onda senoidal é o aspeto de um movimento circular uniforme visto de perfil, e o pêndulo oscilante é o que observamos quando a gravidade assegura a rotação.
L2: escola
MATHCinco ferramentas para uma só ideia: uma curva suave, quando ampliada o suficiente, é indistinguível de uma reta. Esse fato isolado é o que a derivada mede, o que a série de Taylor expande e o que o gradiente faz em mais de uma direção. O percurso começa com a medida angular que deixa a aritmética elegante e termina numa encosta onde a inclinação mais íngreme supera todas as direções que você de fato mediu.
L3: universidade
MATHTrês ferramentas que transformam uma imagem de pontos dispersos em um número que se pode defender. O caminho passa pela geometria em vez da estatística, porque é a geometria que torna a estatística honesta.
L3: universidade
MATHUma pergunta, feita quatro vezes com cada vez menos informação: o que esta matriz realmente faz ao espaço? As colunas respondem de imediato. Os autovetores têm a resposta para as direções que sobrevivem. A SVD responde quando não existe nenhuma, e a PCA aponta a mesma maquinaria a uma nuvem de medições.
L3: universidade
MATHO método de Newton, a regra de Simpson e o método de Euler assentam todos no mesmo princípio: dentro de um intervalo suficientemente pequeno, trate a curva como uma reta. Cada um tem, por isso, uma falha que não é um defeito. O conhecimento útil reside em saber qual falha pertence a qual método. Cada passo transmite ao seguinte um erro nomeado e a taxa a que este diminui.
Every rule you memorised in algebra is about the same one move
There are two moves in school algebra: add something to both sides, or multiply both sides by something. Adding has never needed a warning, and every rule you had to memorise is about the other one.
The fraction for π that nothing smaller has beaten in 1,500 years
Zu Chongzhi wrote down 355/113 in the fifth century. It is still the best fraction for π that anyone can reach with three digits over three, and the reason is a single large number sitting in π’s continued fraction.
Two countries measured the same border and disagreed by 227 kilometres
Spain put its border with Portugal at 1,214 km. Portugal put the same border at 987 km. Both had measured carefully; they had used different rulers, and a shorter ruler always finds more coast.
π is in the bell curve, and there is no circle anywhere in it
Drop needles on floorboards and you can measure π. Collide two blocks and you can count it. Neither has a circle anywhere in it. π is really about rotation and the sum of two squares; circles are just where most of us meet it first.
You typed one digit. The answer came back with six.
A calculator cannot be more precise than what you fed it, and none of them say so. Here is what the extra digits actually mean, why a reciprocal is the worst place to forget it, and why this site prints them anyway.
Halving the step size should halve the error. The tool says 1.73.
"First order" is a promise about the limit, not about the step size you are running. The gap between the promise and the measurement is itself first order, which is why an error estimate built on the promise is wrong in a predictable direction.
Newton's method can double its mistake every step, and the answer was 0.01 away
The standard way to solve an equation numerically converges so fast it feels like cheating. Give it the cube root and it walks away from the answer, doubling the distance every step, forever.
Primes thin out at a rate you can name
The density of primes near a number n is about one in ln n. That one fact tells you how many primes lie below any bound, why they never run out, and how long a computer must search to find a 1024-bit one.
Twice as tall is four times the paint, and eight times the concrete
Lengths scale as k, areas as k² and volumes as k³. Getting this wrong is probably the most expensive arithmetic mistake ordinary people make.
The rule that was the ceiling of arithmetic for a thousand years
Cross-multiplication is usually dismissed as a procedural trick. It was written down in 628 CE, carried across three continents, and was the end of the mathematics syllabus for most people who ever received one.
Every football has twelve pentagons, and it could not have any other number
Any closed cage of pentagons and hexagons with three faces at each corner has exactly twelve pentagons. Always twelve, whatever size the ball, and the proof never counts a single one.
Pythagoras is not a fact about triangles
a² + b² = c² fails on a sphere and fails the other way in hyperbolic space. What the theorem actually asserts is that the surface you are standing on is flat.
