Lições Interativas de Matemática e Ciências

Matemática

Fixe algumas regras e as consequências deixam de depender de si. O que daí decorre raramente é o que se teria suposto, e as ferramentas aqui existem para mostrar com que consequência se ficou.

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Capítulos

Sequências curtas em vez de ferramentas soltas. Cada passo entrega ao seguinte algo específico, pelo que vale a pena seguir a ordem.

L1: fundamentos

As regras do triângulo e de onde vêm

MATHSeis ferramentas que constroem os resultados fundamentais do triângulo e do círculo na ordem em que realmente dependem uns dos outros. Nada aqui é imposto: cada regra surge como consequência da anterior, e o percurso termina ao colocar a primeira de novo num referencial, onde se transforma na fórmula da distância.

  1. 01Área e perímetro
  2. 02Triângulos semelhantes
  3. 03Pitágoras
  4. 04Resolver qualquer triângulo
  5. 05Ângulos na circunferência
  6. 06A circunferência unitária
  7. 07Geometria analítica

L1: fundamentos

Isolar o x, a partir do sinal de menos

MATHSão seis ferramentas que estruturam a resolução de equações respeitando a ordem natural de dependência dos conceitos. Começam com o que um sinal de menos faz e chegam a um método mecânico para três incógnitas em simultâneo. Cada etapa entrega à seguinte algo muito específico: um passo algébrico, uma restrição a esse passo, ou um teste para confirmar se ele foi válido.

  1. 01Números negativos
  2. 02Equações lineares
  3. 03Inequações
  4. 04Manipulação de fórmulas
  5. 05Duas equações em simultâneo
  6. 06Três ou mais em simultâneo

L2: escola

Identidades e equações trigonométricas

MATHUma identidade é válida para qualquer ângulo em que ambos os membros estejam definidos. É essa garantia que nos permite trocar a função dada no problema por aquela que precisamos de calcular. O capítulo abre com as funções recíprocas e as três identidades pitagóricas, passa pelas funções inversas com que a calculadora nos responde, pelas equações que daí nascem e pelas fórmulas dos ângulos compostos, preparando o terreno para o ângulo duplo, as formas harmónicas e a demonstração de identidades.

  1. 01Identidades pitagóricas
  2. 02Funções trigonométricas inversas
  3. 03Equações trigonométricas
  4. 04Ângulos compostos

L2: escola

Por que tudo parece reto de perto

MATHCinco ferramentas para uma só ideia: uma curva suave, quando ampliada o suficiente, é indistinguível de uma reta. Esse fato isolado é o que a derivada mede, o que a série de Taylor expande e o que o gradiente faz em mais de uma direção. O percurso começa com a medida angular que deixa a aritmética elegante e termina numa encosta onde a inclinação mais íngreme supera todas as direções que você de fato mediu.

  1. 01Radianos
  2. 02Limites
  3. 03A derivada
  4. 04Explorador de Somas de Riemann
  5. 05Série de Taylor
  6. 06Mais de uma direção

L2: escola

Geometria numa superfície curva

GEONuma superfície curva as regras demonstradas no papel deixam de se aplicar, e a exata medida em que cada uma falha quantifica a curvatura a partir do interior. Uma rota retilínea altera o seu rumo na bússola, uma seta transportada sem rodar regressa rodada, um círculo fica com o comprimento errado e, no plano hiperbólico, nenhum triângulo consegue conter mais do que π.

  1. 01Rotas de círculo máximo
  2. 02Transporte paralelo
  3. 03Theorema egregium
  4. 04O plano hiperbólico

L2: escola

Métodos de demonstração

MATHUma demonstração é um raciocínio que abrange todos os casos, incluindo aqueles que nunca ninguém chegará a verificar. Estas páginas constroem esse raciocínio de quatro formas: por indução, pela contagem de elementos em gavetas, através de uma quantidade inalterável e por emparelhamento. A primeira começa com uma fórmula que produz um número primo quarenta vezes seguidas e depois resulta em 41 × 41.

  1. 01Demonstração por indução
  2. 02O princípio das gavetas
  3. 03Invariantes
  4. 04O teorema dos números pentagonais

L2: escola

Derivação: como se combinam as taxas

MATHUma derivada é uma taxa de variação. Cada regra de derivação mostra como essas taxas se combinam: num produto, numa função dentro de outra ou numa equação que ninguém resolveu em ordem a y. As duas últimas páginas aplicam as regras às perguntas que um curso realmente faz: quão depressa algo muda num instante e qual é a melhor escolha.

  1. 01Regra do produto
  2. 02Regra da cadeia
  3. 03Derivação implícita
  4. 04Taxas relacionadas
  5. 05Otimização

L3: universidade

Ajustar uma reta a dados

MATHSete ferramentas que transformam uma imagem de pontos dispersos num número que se pode defender, para de seguida perguntarem como se chega a ele, que grau de confiança lhe devemos dar e o que acontece quando ninguém nos revela a resposta. Por fim, ensinam a classificar uma previsão que nunca passou de uma probabilidade. O percurso avança através da geometria em vez da estatística, pois é a geometria que torna a estatística honesta.

  1. 01Vetores
  2. 02Geometria dos mínimos quadrados
  3. 03Regressão linear
  4. 04Descida de gradiente
  5. 05Sobreajuste
  6. 06k-médias
  7. 07Calibração

L3: universidade

A melhor resposta e o que acontece quando ninguém a calcula

MATHQuatro jogos e uma operação: descobrir a jogada que responde a qualquer ação do adversário. A operação resolve o primeiro jogo por si só. Requer um quadrado inteiro para ser encontrada no segundo e acarreta um custo no terceiro. No quarto jogo, ninguém sequer a calcula, mas a população chega à resposta na mesma.

  1. 01Dilema do prisioneiro
  2. 02Equilíbrio de Nash
  3. 03Tragédia dos bens comuns
  4. 04Evolução da cooperação

L3: universidade

Três métodos numéricos e onde cada um falha

MATHO método de Newton, a regra de Simpson e o método de Euler assentam todos no mesmo princípio: dentro de um intervalo suficientemente pequeno, trate a curva como uma reta. Cada um tem, por isso, uma falha que não é um defeito. O conhecimento útil reside em saber qual falha pertence a qual método. Cada passo transmite ao seguinte um erro nomeado e a taxa a que este diminui.

  1. 01Método de Newton
  2. 02Integração numérica
  3. 03Método de Euler

L3: universidade

Técnicas de integração

MATHA derivação é um procedimento; a integração, uma busca. Por este motivo, os exercícios deste capítulo avaliam as respostas de uma única forma: derive o resultado e compare com o integrando. A substituição e a integração por partes são as regras da cadeia e do produto aplicadas às avessas. O método das frações parciais resolve a grande família de funções onde existe sempre uma solução elementar. Por fim, a última página demonstra que para e⁻ˣ² não há qualquer solução desse tipo.

  1. 01Primitivas
  2. 02Substituição
  3. 03Integração por partes
  4. 04Frações parciais
  5. 05Integrais trigonométricos
  6. 06Escolher uma técnica
  7. 07Sem fórmula possível

L3: universidade

As equações do calor, da onda e de Laplace

PHYTrês equações construídas sobre um único operador, o Laplaciano, que diferem apenas no papel do tempo. O calor esquece, apagando primeiro o detalhe mais nítido. Uma onda transporta uma perturbação e, numa superfície, nunca termina totalmente de chegar. A equação de Laplace não contém tempo algum. É o destino a que o calor chega ao esquecer: cada ponto é a média dos seus vizinhos.

  1. 01A equação do calor
  2. 02Estações do ano no subsolo
  3. 03A equação da onda
  4. 04A equação de Laplace

Problemas resolvidos na íntegra

O que se descobre aqui

Artigos escritos a partir destas ferramentas

Todas as ferramentas desta secção

Calculus & Analysis

A Regra da Cadeia
A regra da cadeia diz-nos que as taxas de funções encadeadas se multiplicam. Acompanhe a dilatação de um pequeno intervalo ao longo de cada elo, experimente calcular a sua própria dy/dx para detetar eventuais desvios e perceba porque é que esquecer a derivada interna pode passar num teste feito num único ponto.
Acumulação e Movimento
Com a velocidade t² − 4t + 3 durante 4 segundos, um corpo termina a 4/3 da partida mas percorre 4 — o triplo da distância. Escolha uma velocidade, compare o deslocamento, a distância e a média, e veja onde esse valor médio é realmente atingido.
Área entre curvas
No intervalo [−1, 1], x³ e x delimitam uma área de ½, mas a integral da sua diferença resulta em 0: no ponto de cruzamento, a integração precisa de ser dividida. Escolha duas curvas e veja a área afastar-se da integral com sinal.
As derivadas parciais e o gradiente
Caminhe para leste e o terreno sobe a 3, para norte a 4, e a direção mais íngreme sobe a 5. Uma estrada mantida em metade dessa inclinação deve afastar-se dela em 60° em vez de 45°, e percorrer o dobro da distância.
Campo de direções e solucionador de EDO
Visualize campos de direções dy/dx = f(x,y) e clique para adicionar curvas solução com RK4.
Combinação de dois sólidos
Dois cilindros de raio r com eixos perpendiculares intersectam-se num sólido de volume 16r³/3, onde o π não entra; já uma esfera perfurada até restar um anel de altura h conserva sempre o volume πh³/6, independentemente do tamanho original da esfera. Intersecte, una ou subtraia sólidos e calcule volumes fatia a fatia.
Comprimento de arco e sólido de revolução
A mesma curva, as mesmas 800 fatias: o comprimento do arco apresenta um erro de 0,9% e a área de superfície de 0,08%. O integrando do arco dispara para cerca de 71 nas extremidades, onde o da superfície o multiplica por zero.
Construtor de séries de Fourier
Cinco harmónicos ultrapassam uma onda quadrada até 1,182, e acrescentar mais nunca a corrige: o pico converge para 1,17898. Um salto faz os harmónicos decaírem segundo 1/k e um vértice segundo 1/k², razão pela qual apenas o salto provoca oscilações.
Curvas paramétricas
(cos t, sen t) e (cos 2t, sen 2t) traçam a mesma circunferência e não há imagem que as distinga. Na curva de Lissajous em t = π a velocidade é 2 e o raio de curvatura 0,444.
Curvas polares
Uma rosácea r = cos(kθ) tem k pétalas quando k é ímpar e 2k quando é par, logo cos 3θ desenha 3 pétalas e cos 4θ desenha 8. A cardióide engloba 4,7124, exatamente uma e meia circunferências unitárias.
Derivação Implícita
O folium x³ + y³ = 6xy tem três pontos sobre x = 1, com declives 1,0409, 0,3373 e −1,3782; logo, a inclinação tem de depender de y. Derive ambos os membros passo a passo, veja a fórmula falhar onde ∂F/∂y = 0 e encontre a origem, onde surge 0/0 porque a curva se cruza a si mesma.
Equação de Laplace: uma placa em estado estacionário
Mantenha uma borda de uma placa quadrada a 100 °C e três a 0, e procure a temperatura a três quartos da altura: a série indica 54,05, e 20.000 caminhantes aleatórios, contando qual a borda que atingem primeiro, indicam 54,13 ± 0,35.
Escolher uma técnica
Num exame, a integral não vem com o nome do capítulo. Indica o teu primeiro passo (usar a tabela, fazer uma substituição, integrar por partes, decompor em frações simples ou transformar a expressão trigonométrica). A página procura caminhos a partir da própria integral e diz-te se o teu chega à tabela e quantos passos demora. Os problemas vêm de todo o capítulo; alguns exigem duas técnicas seguidas.
Explorador de Derivadas e Tangentes
Arraste um ponto ao longo de qualquer curva e observe a reta tangente e a inclinação atualizarem em tempo real — o coração geométrico do cálculo.
Explorador de limites
Aproxime-se de um limite pelos dois lados e classifique descontinuidades
Explorador de Séries de Taylor
O grau 3 dá sen 1 = 0,83333 face a um valor autêntico de 0,84147. O número fundamental é 1/120 = 0,0083333, um limite de erro já disponível antes da própria resposta, e que sobrestima o erro real em 2,4%.
Explorador de Somas de Riemann
Aproxime integrais usando somas de esquerda, direita, ponto médio e trapézio.
Frações Parciais
Integre funções racionais por frações parciais e verifique as suas respostas. Explore a regra do encobrimento, fatores repetidos e quadráticos e o uso de uma constante para cada intervalo entre polos. Descubra também x⁵ − x − 1: sua integral é elementar, mas as suas raízes não possuem fórmula.
Integração por Partes
A integração por partes troca uma integral por outra, e a escolha de u decide o rumo a tomar. Para x²eˣ, u = x² chega à tabela em duas rodadas, ao passo que u = eˣ sobe para x⁵eˣ/60. Observe ambas as escadas lado a lado, resolva ∫eˣ sin x como uma equação e pratique com problemas que se autoverificam.
Integração por Substituição
A substituição transforma 2x cos(x²) em cos u, e em 0 ≤ x ≤ 2 ambas dão −0,7568. Manter os limites de x após a substituição resulta em 0,9093, com o sinal errado. Observe as fatias da área a passarem do eixo x para o eixo u, e depois pratique com problemas gerados que se verificam através da derivação.
Integrais duplas
e^(y²) não tem primitiva construída a partir de funções elementares, pelo que ∫₀¹∫ₓ¹ e^(y²) dy dx não tem fórmula nessa ordem; fatie no outro sentido e obtém (e − 1)/2 ≈ 0,8591. Calcule volumes sob z = f(x, y) fatiando duas vezes, descreva a região das duas maneiras e conheça a única função desta página cujas duas ordens não concordam.
Integrais duplas em coordenadas polares
Em coordenadas polares, o elemento de área é r dr dθ. Sem o r, a área do disco unitário dá 2π, o seu perímetro. Com ele, e^(−x²), que não tem primitiva elementar, dá ∫e^(−x²) dx = √π em toda a reta. Integre sobre setores, uma cardioide, um disco descentrado e um quadrado, uma célula polar de cada vez.
Integrais não elementares
Por que ∫e^(−x²) dx não tem fórmula, provado em vez de assumido: execute o teste de Liouville em qualquer polinómio vezes e^(−x²), conte quão poucas destas funções integrandas têm fórmula e pratique com integrais em que a resposta certa pode ser que não existe nenhuma.
Integrais trigonométricas
Numa volta completa, as potências ímpares do seno anulam-se e as pares acumulam área. Por isso, ∫sin³x resolve-se com uma substituição, enquanto ∫sin²x precisa da identidade do ângulo metade. Vê como ∫√(1 − x²) se decompõe num triângulo e num setor na circunferência definida por x = sin θ. Depois, pratica com exercícios gerados automaticamente, cujas respostas são verificadas por derivação.
Laboratório de Integração Numérica
Ao duplicar as subdivisões de eˣ em [0, 1], o erro da soma à esquerda decresce por um fator de 2, o da regra dos trapézios por 4 e o de Simpson por 16. Obter seis decimais custa 462 trapézios ou seis painéis de Simpson.
Laboratório de transformada de Laplace
Estude as transformadas de Laplace direta e inversa para funções comuns usadas em EDOs e sistemas.
O Método das Cascas Cilíndricas
Gire o arco de sen x em torno do eixo y e as cascas levam a 2π² ≈ 19,7392 numa só linha, enquanto os anéis exigem o arco-seno para chegar ao mesmo valor. Compare os dois fatiamentos em quatro sólidos e perceba por que um caminho é frequentemente muito mais simples.
O Teorema Fundamental do Cálculo
A área sob e^(−t²) de 0 a 1 vale 0,7468. Nesse ponto, a função área cresce a 0,3679 por unidade, que é a própria altura da curva em 1, embora e^(−t²) não tenha fórmula elementar. Arraste x e veja a inclinação da área coincidir com a curva em qualquer ponto.
Otimização: a Caixa e a Lata
Corte quadrados nos cantos de uma folha de 30 cm: a melhor caixa atinge 2.000 cm³ com um corte de 5 cm; com 4 cm, comporta 3,2% menos. Resolva passo a passo a caixa aberta e a lata com menos metal, acompanhe a reta tangente a nivelar e compreenda por que motivo o limite de profundidade empurra a solução ótima para a fronteira.
Primitivas
Diz-se que a regra da potência para integrais falha em n = −1. Em n = −0,99 a primitiva de xⁿ dos manuais dá 101,40 em x = 4, e 100,00 disso é a constante 1/(n + 1); o que resta é 1,3959, aproximando-se de ln 4 = 1,3863. Depois escreva as suas próprias primitivas e a página verifica cada uma derivando-a.
Raio de Convergência
A função 1/(1 + x²) é suave em todos os números reais. Contudo, a sua série de Taylor em torno de 0 diverge depois de 1. O grau 80 dá 1.121,975 em x = 1,1, onde a curva vale 0,4524887. Arraste o centro no plano complexo e observe como os polos em ±i definem o raio.
Regra do produto e regra do quociente
Por que razão a derivada de uv é u′v + uv′ e não u′v′. Ao crescer, um retângulo ganha duas faixas e um canto, e é esse canto a parte que desaparece. Reduza o passo para ver as faixas convergirem para a regra, deduza a regra do quociente pela mesma figura e teste as suas próprias derivadas.
Reordenação de Riemann
Reordene 1 − ½ + ⅓ − ¼ + … e a soma dá π: ao fim de 100.000 termos, 99.259 positivos contra 741 negativos dão 3,1415535. Veja os mesmos termos dirigirem-se a qualquer alvo e descubra por que a série dos quadrados é inamovível.
Taxas Relacionadas
O cálculo de taxas relacionadas passo a passo: uma escada deslizando pela parede, um cone que se enche, uma sombra a alongar-se. Diferencie a relação geométrica, introduza o instante, confronte a sua resposta com a taxa medida diretamente a partir do movimento e descubra a altura em que uma escada uniforme, puxada a velocidade constante e sem atrito, perde o contacto com a parede.
Visualizador do método de Euler
Reduzir o passo a metade deveria reduzir o erro de Euler para metade. Em x = 8 com h = 0,2 a razão obtida é 1,731285, e forçá-la até 1,9933 exige h = 0,005, o que significa 1600 passos ao longo das mesmas oito unidades.
Volume por Fatiamento
Ao rodar a região entre y = x e y = x² em torno do eixo x, o volume obtido é 2π/15 = 0,4189. Se subtrair os raios em vez das áreas, o resultado dá 0,1047: exatamente um quarto. Deslize a fatia ao longo de seis sólidos e veja o volume acumular-se como a área sob A(x).

Linear Algebra & Geometry

Área e perímetro
Um canteiro trapezoidal contém 32,00 m² dentro de 24,94 m de borda; a mesma borda em um círculo contém 49,51 m². Construa-o uma vez e meia maior e a compacidade mantém-se em 0,646, porque a escala se anula.
Bloqueio de Cardan e Quaterniões
Gire um cardã de três anéis com guinada, arfagem e rolagem. Observe dois anéis se dobrarem juntos e leia o quatérnio que ignora tudo isso. Descubra por que 90° de arfagem custam um grau de liberdade e por que um giro de 360° deixa o quatérnio em −1.
Calculadora de Vetores
Calcule o produto escalar, o produto vetorial e o ângulo entre vetores 2D/3D
Cálculo de Ângulos
Procure um ângulo através de triângulos sobrepostos e observe o mesmo problema resolvido por eliminação. Cada regra é uma equação linear e a ferramenta mostra ambos os caminhos.
Centros do Triângulo e a Reta de Euler
Arraste os vértices de um triângulo e observe três dos seus quatro centros alinharem-se numa reta, com o baricentro a dividi-la sempre na proporção 2 : 1. O incentro junta-se a eles apenas quando há dois lados iguais.
Construções com Régua e Compasso
Com compasso e régua não graduada, é possível construir um polígono regular de 17 lados, como Gauss demonstrou aos 18 anos. Mas nunca um de 7 lados. E ninguém jamais trissectará um ângulo de 60°. Acompanhe as construções passo a passo e veja a álgebra que proíbe o resto.
Explorador de Autovetores 2D
Visualize as autodireções e o escalonamento sob uma transformação linear 2×2.
Explorador de curvas de Bézier
Arraste os pontos de controle para explorar curvas de Bézier e o algoritmo de De Casteljau
Explorador de geometria analítica
Arraste dois pontos numa grelha e leia a distância, o ponto médio, o declive e a equação da reta — com o triângulo retângulo que está por trás da fórmula da distância.
Explorador de Geometria dos Mínimos Quadrados
Arraste pontos, compare ajustes lineares e quadráticos, e veja as barras de resíduos e seu impacto na SQE.
Explorador de Parâmetros das Cônicas
Apenas a parábola tem uma linha para a diretriz, pois apenas a parábola é definida por uma, situando-se o seu vértice exatamente a 3 de ambas. Uma elipse com a = 4 e b = 3 coloca os seus focos em c = 2,645751.
Explorador de Seções Cônicas
B² − 4AC resiste a todas as rotações dos eixos, pois é −4 vezes o determinante da parte quadrática. Em 4x² + xy + 2y² = 16 o seu valor é −31, tratando-se de uma elipse inclinada 13,3° e com excentricidade 0,737.
Geometria da Pirâmide
As coincidências da Grande Pirâmide com π e φ são afinal apenas uma, um seked de construção de 11/14. Oito vezes o seu valor dá 6,28571 contra os 2π = 6,28319, e a sua inclinação 1,6186 contra os φ = 1,618034.
Laboratório de pavimentações regulares
Polígonos regulares de p lados, q deles em cada canto. Uma única desigualdade decide tudo: (p−2)(q−2) contra 4 dá uma esfera, um plano liso ou um disco hiperbólico — cinco pavimentações, três pavimentações, ou infinitas.
Laboratório de Pitágoras
a² + b² = c², demonstrado a partir de triângulos semelhantes e depois quebrado de propósito. Um cursor de curvatura dobra o plano numa esfera ou numa superfície hiperbólica e a hipotenusa move-se — o teorema não é um facto sobre triângulos, é um facto sobre planura.
Laboratório de sólidos: esfera, cone e cilindro
Uma esfera tem dois terços do volume do seu cilindro circunscrito e também da sua superfície, pois só a parede curva equivale a toda a esfera. A volumes iguais, um cilindro custa 14,5% a mais de superfície e um cone 26,0%.
Laboratório de triângulos semelhantes
Escala um triângulo e vê o que muda. Os comprimentos seguem o fator de escala, a área segue o seu quadrado, e os ângulos não se mexem nada — com o triângulo grande desenhado dividido nas cópias que de facto contém.
O Plano Hiperbólico
Arraste os vértices de um triângulo no disco de Poincaré e observe a soma dos ângulos diminuir à medida que ele cresce: nenhum triângulo no plano hiperbólico contém mais que π. Por um ponto exterior a uma reta, passa um leque inteiro de retas que nunca a cruzam.
Ortogonalização de Gram-Schmidt
Construa uma base ortonormal subtraindo projeções. Inverta a ordem de duas linhas do algoritmo e, em colunas separadas por 10⁻⁸, a resposta passa de um ângulo reto para 60°.
Reflexões e os Movimentos Rígidos do Plano
Reflita uma figura num espelho e a seguir num segundo que o interseta a 45°, e o resultado será uma rotação de 90°. Dois espelhos paralelos distanciados de 2 geram uma translação de 4. Qualquer movimento rígido do plano requer no máximo três reflexões. Esta página constrói rotações, translações e reflexões deslizantes a partir de espelhos.
Segredos do círculo e de π
Veja em sete experiências interativas por que π surge no perímetro, na área, nas colisões, na probabilidade e nas séries infinitas.
Teorema de Pick: Área por Contagem de Pontos
Desenhe um polígono com os vértices nos pontos de uma malha, conte os pontos no interior e na aresta, e obtém a área exata: 53 no interior e 8 na aresta perfazem 56, sem qualquer medição. A três dimensões, estas duas contagens por si só não podem dar o volume.
Teoremas de ângulos na circunferência
Arraste quatro pontos num círculo para ligar o ângulo ao centro, os ângulos no mesmo segmento, o teorema de Tales e os quadriláteros cíclicos.
Theorema Egregium de Gauss
Caminhe a mesma distância a partir de um ponto em todas as direções e meça o anel que marcar. Num cilindro, ele mede exatamente 2πr. Numa esfera, a medida é menor. Numa sela, é maior. Esta é a curvatura de Gauss, medida sem sair da superfície.
Transporte Paralelo numa Esfera
Desloque uma seta ao longo de um triângulo com três ângulos retos sem nunca a rodar e esta regressa com uma rotação de 90°. Arraste os vértices na esfera e veja como a rotação corresponde à área interior, ao excesso angular e ao pêndulo de Foucault.
Visualizador de PCA 2D/3D
Projete dados 2D no espaço de componentes principais e examine a variância explicada e os escores.
Visualizador de transformações matriciais
Veja como matrizes 2×2 transformam o plano — autovetores, determinante e escala de área

Algebra & Precalculus

Calculadora de composição de funções
Calculadora passo a passo da composição de funções f(g(x)) e g(f(x)) com funções personalizadas, equações, avisos de domínio e gráficos.
Eliminação de Gauss
Três equações a três incógnitas, resolvidas pela mesma eliminação de duas equações a duas, acrescentando uma troca de linhas. A ordem é o que transforma um enigma num procedimento. Uma única escolha pelo meio decide se o computador chega à resposta certa.
Equações Lineares
Quatro botões, dois movimentos por baixo. Somar é sempre seguro; multiplicar é seguro para qualquer número exceto o zero. Multiplique x = 3 por 0 e obtém 0 = 0, verdadeiro para qualquer x, e x deixou de ser mencionado.
Expandir e Fatorizar
O desenvolvimento de parênteses visto como a área de um retângulo, e a fatorização como a leitura inversa da mesma figura. Um teste permite saber de antemão se um trinómio se fatora nos inteiros.
Explorador de crescimento e decaimento exponencial
Defina uma taxa e obtenha o tempo de duplicação, a meia-vida e a quantidade em qualquer instante, a partir da única equação que descreve tanto o crescimento como o decaimento.
Explorador de funções inversas
Veja f(x) e f⁻¹(x) refletidas em torno de y=x, e teste quando é preciso restringir o domínio.
Explorador de funções racionais
Igualar (x − 1)/(x + 2) à sua assíntota horizontal y = 1 resulta em −1 = 2, logo a curva nunca a alcança. Outras curvas cruzam livremente as suas; a assíntota vertical é a única verdadeiramente intransponível.
Explorador de Logaritmos
Explore y = log_b(x) com um controle deslizante de base em tempo real e compare com ln(x) e log10(x).
Explorador de Ondas Seno/Cosseno
A onda desloca-se −C/B, e não −C, logo quando B = 2 move-se apenas metade da distância que os parênteses sugerem. Qualquer a cos x + b sen x colapsa numa só onda de amplitude √(a² + b²), incluindo a sua própria fase.
Explorador do Círculo Unitário
A tangente deve o nome a uma reta: prolongue o raio a 60° até x = 1 e este atinge a altura de 1,7321, pelo que a 90° se lê +∞. Apenas com o sen 45°, um octógono limita π inferiormente a 2,8284 e um polígono de 16 lados a 3,0615.
Fórmulas da soma e da diferença de ângulos
sen 45° + sen 30° = 1,2071, um valor que nenhum seno pode atingir, enquanto sen 75° = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659. Roda os eixos de um ângulo A: os quatro produtos de sen(A ± B) e cos(A ± B) surgem como catetos de dois triângulos retângulos, com os sinais correspondentes, em qualquer quadrante.
Funções Trigonométricas Inversas
sin⁻¹(sin 150°) vale 30°, e não 150°. Compreenda por que razão o arco-seno, o arco-cosseno e o arco-tangente respondem sempre num intervalo fixo, o que sucede quando o argumento é negativo e como cos(sin⁻¹ x) se obtém num triângulo retângulo já com o sinal definido.
Inequações
−4x ≥ 12 dá x ≤ −3, e em x = −3 ambos os lados chegam a 12, logo o extremo está incluído. Multiplicar por x é recusado de imediato, porque ainda ninguém conhece o seu sinal.
Laboratório de contradições lógicas
Três falantes começam com 8 mundos possíveis, e uma frase sobre outras pessoas reduz o campo à metade. Uma que conte o próprio falante deixa 6 de 8, limpando um quarto do tabuleiro onde as outras limpam metade.
Laboratório de Modelagem por Partes
Aplique o desconto por quantidade e dez unidades custarão 9,5 enquanto oito custam 9,6. Entre 7,916667 unidades e o limite passa a pagar-se mais por menos, o que reflete exatamente o efeito prático de qualquer descida repentina numa tabela de preços.
Problemas: do enunciado às equações
Hugo é 18 anos mais velho que Kai e, daqui a 9 anos, a soma das suas idades será 54. Escreva as equações. A página verifica-as face ao enunciado, indica qualquer parte esquecida e resolve o sistema passo a passo. Pode explorar catorze tipos de problemas, sempre com novos números.
Quão Próxima uma Fração Pode Chegar
Frações contínuas e as aproximações que delas se obtêm: por que razão 355/113 aproxima π até à sétima casa decimal com um denominador de três algarismos e por que φ é o número mais difícil de aproximar.
Reorganizar Fórmulas
Isole qualquer letra numa fórmula, revertendo uma operação de cada vez. O procedimento é idêntico ao da resolução de uma equação. Apenas deixa de ser possível quando a letra pretendida surge duas vezes.
Resolução de equações trigonométricas
A equação sin(2x − 30°) = √3/2 tem quatro soluções entre 0° e 360°, pois o argumento percorre duas voltas completas. Encontrar apenas duas deixa metade por descobrir. Todas as soluções num intervalo, em graus ou radianos, representadas no gráfico e na circunferência trigonométrica, com a solução geral e equações do segundo grau em sin x ou cos x.
Secante, cossecante, cotangente e identidades pitagóricas
sin θ = 3/5 no quadrante II dá cos θ = −4/5, quando a raiz quadrada sozinha diria +4/5. Desenha tan, cot, sec e csc como segmentos até às duas retas tangentes da circunferência unitária, e as três identidades pitagóricas revelam-se um só triângulo retângulo em três tamanhos.
Sistemas de Equações
Duas equações com duas incógnitas, representadas por duas retas. Um único número determina se estas se cruzam num só ponto. Esse mesmo número indica o grau de confiança que a solução merece.
Solucionador de Equação Quadrática
Encontre as raízes de ax² + bx + c = 0 com o cálculo do discriminante passo a passo e suporte a raízes complexas.
Solucionador de Triângulos
Três medidas nem sempre significam três verdades: a = 7, b = 9 e A = 40° descrevem dois triângulos, de área 31,3423 e 8,5424, e a aritmética não favorece nenhum dos dois.
Transformação de gráficos: translações, dilatações e reflexões
(x − 3)² desloca a parábola para a direita, √(2x − 6) começa em x = 3 e não em 6, e (2x)² é a mesma curva que 4x². Sete gráficos base movidos por y = a·f(bx + c) + d, com cada ponto marcado calculado.
Treinador de divisão de polinômios
Pratique a divisão longa de polinômios com quociente, resto e rastreamento de passos explícitos.
Verificador de Equações Irracionais
√(x − 1) = x − 2 dá 3,618, e o 1,382 rejeitado é uma solução exata da equação gémea com o sinal invertido. O teste do radicando que se ensina a toda a gente não rejeita nenhum dos candidatos; apenas o sinal do segundo membro o faz.

Discrete Math & Sequences

A Evolução da Cooperação
Um por cento de desertores num mundo de cooperadores incondicionais detém 99,2% da população na geração 21 e extingue-se na 155. A cooperação regressa; os cooperadores não.
A Tragédia dos Comuns
Um único pastor num pasto partilhado toma a decisão exata. Adicione um segundo e a sobre-exploração começa. O esforço nunca excede o dobro do ideal, independentemente de quantos se juntem, enquanto a proporção do valor que sobrevive cai sem qualquer limite inferior.
Demonstração por Indução
n² + n + 41 é primo para quarenta valores de n seguidos e depois é igual a 41 × 41. Visualize uma demonstração por indução como uma fila de dominós e encontre o passo falso no argumento de que todos os cavalos têm a mesma cor.
Equilíbrio de Nash num Jogo Dois por Dois
Recompense o jogador da linha pela coragem, de 5 para 12, e a sua mistura mantém-se em 33,3% enquanto o seu ganho cai de 1,67 para 1,20. O que se moveu foi o outro motorista, que agora se desvia 10,0% do tempo em vez de 33,3%.
Explorador da Escala do Universo
Dê zoom de escalas subatômicas a cósmicas e compare tamanhos usando potências de dez.
Explorador de cadeias de Markov estacionárias
Oito passos continuam a deixar a cadeia a 0,08893 da sua distribuição estacionária, que é exatamente 8/13, 3/13 e 2/13 e idêntica desde qualquer ponto de partida. O PageRank consiste exatamente neste cálculo aplicado a toda a web.
Explorador de convergência de séries
Ao fim de 50 termos a série harmónica vai em 4,499205 e ainda diverge. Alcançar uma soma de 10 exige cerca de 12.000 termos e atingir os 100 exige 1,5 × 10⁴³, pois o crescimento é meramente logarítmico.
Ferramenta de Somatório Sigma
Calcule somas finitas em notação sigma e acompanhe a trajetória da soma parcial.
Fundamentos de Sequências e Séries
Duplicar o comprimento de uma progressão aritmética não duplica a sua soma: 8 termos dão 80 e 16 dão 288, um fator de 3,6. Numa série geométrica, a fração que ainda falta ao fim de n termos é exatamente rⁿ.
Invariantes
Metade das configurações de um quebra-cabeça deslizante 3 × 3 nunca pode ser alcançada. Um tabuleiro de xadrez sem dois cantos opostos não pode ser coberto, e as pontes de Königsberg não podem ser percorridas. Jogue cada um e observe a quantidade que nenhum movimento altera.
Matemática da loteria
A Lotaria Alemã e o Euromilhões têm exatamente 139.838.160 chaves possíveis cada, obtidas por vias totalmente distintas. O número que realmente define uma aposta é a taxa de retorno de 28,6%, que não vem impressa em bilhete nenhum.
O Dilema do Prisioneiro e o Torneio de Axelrod
Uma única ronda deste jogo tem uma resposta óbvia que prejudica ambos os jogadores. Repita o processo contra oito adversários e a resposta muda à quarta ronda.
O Princípio das Gavetas
Escolha nove números de 1 a 16 e um deles dividirá sempre outro; qualquer grupo de seis pessoas inclui três amigos ou três desconhecidos mútuos. Escolha as gavetas e veja o princípio forçar a colisão.
O Teorema dos Números Pentagonais
Ao desenvolver (1 − x)(1 − x²)(1 − x³)… quase tudo se cancela: após 200 fatores, restam apenas 23 dos coeficientes até x²⁰⁰, todos ±1, nos números pentagonais. Acompanhe a demonstração do emparelhamento de Franklin e use-o para calcular p(n).
Razão Áurea e Espiral de Fibonacci
144/89 falha φ por 5,6461 × 10⁻⁵ e o limite de Hurwitz para esse denominador é 5,6459 × 10⁻⁵. Todos os convergentes de Fibonacci caem sobre o limite, que é o que o número mais irracional na verdade significa.

Outras ferramentas

Arredondamento: as regras e o seu custo
Seis regras de arredondamento lado a lado, a resposta que muda ao arredondar duas vezes e o quanto uma coluna de valores arredondados se desvia do seu próprio total.
Calculadora de números complexos
Multiplicar por i é um quarto de volta e nada mais: 3 + 2i passa a −2 + 3i, o argumento move-se de 33,7° para 123,7° enquanto o módulo se mantém em 3,606. Rodado, e não esticado.
Calculadora do Ponto de Equilíbrio
1800 de custos fixos, a um preço de 6 e custo variável de 2,4, atingem o equilíbrio às 500 unidades. Cortando o preço em 10% precisam-se de 600; cortando o custo unitário nos mesmos 10%, o ponto de equilíbrio melhora uns meros 6,25%.
Dízimas Periódicas
Escreva qualquer fração e qualquer base para ver onde os algarismos param, ou o motivo pelo qual nunca o fazem. Uma dízima ser finita depende tanto da base como da fração. A regra que o dita é exata.
Estimativa de Fermi
Seis números que teve de adivinhar, multiplicados entre si, e uma resposta que calha num fator de dois. Não é sorte: os erros que se multiplicam somam os seus logaritmos, e os erros independentes que se somam tendem a anular-se.
Explorador de Funções Hiperbólicas
cosh 1 = 1,543081 é o fator de Lorentz a 0,7616 c. Ao definir β = tanh φ a relatividade torna-se trigonometria hiperbólica: as rapidezes somam-se, logo dois impulsos de 1 dão tanh 2 = 0,9640 c.
Grelha da multiplicação cruzada
Quatro números, uma cruz, uma regra. Percentagens, subidas, descontos e proporções do dia a dia resolvem-se olhando para um desenho em vez de recordar uma fórmula — incluindo o caso inverso que quase toda a gente erra.
Janela de reação do guarda-redes
Uma reação de 0,20 s representa 28% do tempo de voo e custa 48% do terreno que o guarda-redes conseguiria cobrir. A 16 m e 80 km/h ele fica 0,99 m aquém, e a defesa só acontece quando a velocidade do remate cai para 59,1 km/h.
Laboratório de Média Ponderada
Compreenda por que a média das médias dá um resultado incorreto quando os grupos têm tamanhos diferentes e como calcular a verdadeira média ponderada.
Números Negativos
Uma reta numérica para explorar. As três regras dos números negativos tornam-se visíveis em vez de memorizadas. Subtrair um negativo equivale a somar, pois a subtração sempre foi a adição do oposto.
Ordem das Operações e Onde Não Há Consenso
Escreva uma expressão e observe a sua redução, uma operação de cada vez. Quatro convenções leem a mesma linha e nem todas devolvem o mesmo número.
Por que os ângulos são medidos em radianos
O radiano é definido de modo que o comprimento do arco seja igual ao raio multiplicado pelo ângulo. É essa escolha que faz da derivada do seno o cosseno. Mude a unidade e verá três fórmulas distintas receberem o mesmo fator de 0,017453.
Propriedades das potências e por que a⁰ é 1
As propriedades das potências numa única vista, com os cálculos visíveis. Alinhe as potências de uma base numa coluna e o valor de a⁰ deixará de ser uma regra memorizada.
Retrato de Fase do Pêndulo
Um pêndulo de 1 m largado a 30° oscila em 2,0410 s onde a fórmula para pequenos ângulos promete 2,0061. Um período de 10 s exige um lançamento a menos de 0,182° da vertical; 20 s requerem 7,2 × 10⁻⁵ graus.
Somar frações, e o erro
Some duas frações como deve ser, depois some os numeradores e os denominadores em separado e veja onde isso cai. A segunda resposta é errada como soma e exata para outra coisa.
Visualizador do Método de Newton
Itere tangentes para encontrar raízes e analise o comportamento de convergência.
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