Equilíbrio de Nash num Jogo Dois por Dois

Introduza os oito pagamentos. A ferramenta assinala a melhor resposta de cada jogador nas próprias células (uma célula com duas marcas é um equilíbrio) e depois resolve as condições de indiferença para o equilíbrio misto.

Exemplo resolvido — Equilíbrio de Nash num Jogo Dois por Dois

O jogo	Jogo da galinha
Equilíbrios	3
Linha joga Cima	33,3%
Coluna joga Esquerda	33,3%
Equilíbrio misto paga	1,67 / 1,67
Ambos jogam Baixo	44,4%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Equilíbrio de Nash num Jogo Dois por Dois

Um equilíbrio de Nash é um par de estratégias, uma para cada jogador, em que nenhum deles consegue um resultado melhor mudando a sua escolha sozinho. Trata-se de uma declaração que diz respeito apenas a movimentos unilaterais. Não significa que o desfecho seja bom, justo ou o melhor que qualquer um deles pudesse almejar. Uma estratégia mista é uma probabilidade atribuída às duas jogadas. O equilíbrio misto ocorre quando cada participante se torna deliberadamente imprevisível, algo que só é viável numa frequência exata.

O que significa cada símbolo

p: a frequência com que o jogador das linhas escolhe a linha superior
q: a frequência com que o jogador das colunas escolhe a coluna da esquerda

Pressupõe: Pressupõe-se que ambos os jogadores conhecem toda a matriz de pagamentos, tomam a sua decisão em simultâneo e não podem assumir compromissos entre si. Cada uma destas condições pode ser flexibilizada. Cada um desses relaxamentos abre um ramo distinto na teoria dos jogos (jogos sequenciais, informação incompleta e jogos cooperativos), com respostas diferentes para os mesmos oito números.

As suas próprias probabilidades não lhe dizem respeito 🖖

Observe os passos 4 e 5. A equação que fixa a frequência com que o jogador da linha joga Cima contém apenas os quatro números do jogador da coluna. A equação que fixa a frequência do jogador da coluna contém exclusivamente os números do jogador da linha. É exatamente para isto que serve a mistura. Escolhe as suas frequências para que o adversário não tenha motivos para preferir nenhuma das opções. Assim, a equação que está a resolver pertence a ele e não a si. Altere um dos seus próprios pagamentos, deixando os do adversário intocados. Verá que a sua própria percentagem permanece inalterada — até ao momento em que a sua alteração destrói por completo o equilíbrio misto e o cartão passa a indicar nenhum. A subtileza reside nesta segunda parte. No penálti, as duas matrizes estão interligadas. Cada ponto ganho pelo marcador corresponde a um ponto perdido pelo guarda-redes. Assim, um marcador que se torne efetivamente melhor altera as duas matrizes, e a sua própria mistura acaba por se mover. Suba o seu remate desprotegido de 95 para 99 e desça os 5 do guarda-redes para 1 como correspondência. Ele passa de atirar para Cima em 36,4% das vezes para 33,9%.

Ficar melhor em algo pode deixá-lo em pior situação 🖖

Prima Galinha e depois Galinha, com coragem. Um número mudou e pertence ao jogador da linha. Manter a calma face a alguém que se desvia paga agora 12 em vez de 5. O seu próprio comportamento não se altera (ele continua a desviar-se 33,3% das vezes). No entanto, o seu pagamento de equilíbrio cai de 1,67 para 1,20, uma quebra de 28%. Quem mudou foi o outro condutor, passando de um desvio em 33,3% do tempo para apenas 10,0%. Com um prémio tão elevado, uma probabilidade em dez de o outro carro ceder já é suficiente para que valha a pena conduzir a direito. Consequentemente, essa é toda a cedência para a qual o equilíbrio deixa margem. Ambos os carros conduzem agora a direito em 60,0% das ocasiões, quando antes o faziam em 44,4%. A recompensa por ser melhor em situações limite é um adversário que desafia o seu bluff com mais frequência, resultando em mais acidentes e num pagamento menor. Simultaneamente, o próprio pagamento do jogador da coluna não se altera de todo.

Um ou três, nunca dois 🖖

Ajuste os oito pagamentos de modo a que nenhum jogador fique perfeitamente indiferente e depois conte os equilíbrios: obterá um ou três. Analise todos os 65.536 jogos dois por dois cujos pagamentos são números inteiros de 0 a 3. O resultado será 31.968 com um equilíbrio e 7.968 com três. Existem 25.600 com uma contagem par, e cada um deles contém um empate. Tratam-se de dois pagamentos com os quais um jogador está igualmente satisfeito. Assim, uma aresta inteira do quadrado transforma-se numa melhor resposta e os caminhos no diagrama sobrepõem-se em vez de se cruzarem. Escreva 2 nas oito caixas e verá o caso extremo. Cada célula é um equilíbrio, formando um total de quatro. Robert Wilson provou em 1971 que quase todos os jogos finitos possuem um número ímpar de equilíbrios. O diagrama demonstra a razão. Dois caminhos que atravessam um quadrado de um lado ao outro têm obrigatoriamente de se encontrar, e fazem-no um número ímpar de vezes, a menos que estejam sobrepostos.

Problema resolvido na íntegra

O que é que a mistura lhe traz realmente? A ferramenta imprime as frequências de equilíbrio, que são facilmente interpretadas como uma forma de explorar o outro jogador. Não é esse o caso. Calcule o que o jogador da linha ganha quando o jogador da coluna abandona totalmente o equilíbrio, em cada um de dois jogos.

Abrir este problema na ferramenta
1. Considere o penálti. Escreva a probabilidade esperada de o marcador fazer golo como uma função de ambas as misturas, com p para o remate à esquerda e q para o mergulho do guarda-redes à esquerda.
  
  $E_{kick} = p (60 q + 95 (1 - q)) + (1 - p) (90 q + 70 (1 - q))$
2. Agrupe os termos em q. A probabilidade do marcador depende do guarda-redes apenas através do parêntesis que multiplica q. Quando p = 20/55, esse parêntesis é exatamente zero.
  
  $E_{kick} = 70 + 25 p + q (20 - 55 p)$
3. Portanto, na sua mistura de equilíbrio, o marcador consegue 79,09% independentemente do que o guarda-redes faça: mergulhar sempre para a esquerda, mergulhar sempre para a direita ou atirar uma moeda ao ar não faz qualquer diferença. Trata-se de uma garantia, e é precisamente isso que ele está a adquirir.
  
  $p = \frac{20}{55} ⟹ 20 - 55 p = 0, E_{kick} = 70 + 25 \cdot \frac{20}{55} = 79.09%$
4. Agora o mesmo cálculo para a Galinha, onde as duas matrizes de pagamento não estão interligadas.
  
  $E_{row} = p (3 q + 1 (1 - q)) + (1 - p) (5 q + 0) = p + q (5 - 3 p)$
5. Com p = 1/3, o parêntesis é 4, não 0. O pagamento do jogador da linha continua a depender inteiramente do outro condutor: 0,33 se ele nunca se desviar, 4,33 se o fizer sempre.
  
  $p = \frac{1}{3} ⟹ 5 - 3 p = 4, E_{row} = \frac{1}{3} + 4 q \in [\frac{1}{3}, 4 \frac{1}{3}]$
6. A razão para isto é que um penálti é um jogo de soma constante. Cada ponto que o marcador ganha é um ponto que o guarda-redes perde, portanto, tornar o guarda-redes indiferente e proteger o seu próprio pagamento constituem o mesmo ato. As duas matrizes da Galinha são independentes. As suas células somam 6, 6, 6 e 0, fazendo com que as duas situações se separem.
  
  $A_{r c} + B_{r c} = 100 \forall r, c vs A_{r c} + B_{r c} \in {6, 6, 6, 0}$
Resposta

Num jogo de soma constante, a mistura de equilíbrio é uma garantia. Os 79,09% do marcador mantêm-se contra qualquer guarda-redes, incluindo um que tenha lido esta página. Este é o teorema minimax de von Neumann e o motivo pelo qual os futebolistas profissionais se tornaram alvo de investigação. Ignacio Palacios-Huerta estimou as probabilidades de golo a partir de penáltis da liga. Ele calculou as frequências minimax implícitas e não conseguiu rejeitar a hipótese de os jogadores as estarem a aplicar. A Galinha não possui tal garantia. O jogador da linha que mistura a 1/3 ganha um valor entre 0,33 e 4,33, dependendo de um condutor que não controla. O 1,67 é simplesmente o que surge se esse condutor também cumprir o seu papel. A soma constante é suficiente para a garantia, mas não é o que a garantia exige. Defina os pagamentos do jogador da linha para 4, 0, 0, 4 contra os 7, 2, 3, 8 do jogador da coluna. As células somam 11, 2, 3 e 12, contudo o jogador da linha continua fixado exatamente em 2,00, faça o jogador da coluna o que fizer. Aquilo de que a garantia realmente precisa é que a mistura capaz de tornar o oponente indiferente seja idêntica à mistura que anula a influência desse mesmo oponente sobre si. A soma constante obriga a que essas duas coincidam.

$\forall q 79.09% vs 0.33 \to 4.33 \frac{1}{3} + 4 q$

Percurso de aprendizagem

A melhor resposta e o que acontece quando ninguém a calcula

Referências (3)

Two pages, and the reason every game on this tool has an equilibrium at all: J. F. Nash, "Equilibrium points in n-person games." Proceedings of the National Academy of Sciences 36(1), 1950, pp. 48–49.
Where insight block 3's "one or three, never two" comes from: R. Wilson, "Computing Equilibria of N-Person Games." SIAM Journal on Applied Mathematics 21(1), 1971, pp. 80–87.
The empirical test the worked problem ends on — whether people actually mix at the equilibrium frequencies: I. Palacios-Huerta, "Professionals Play Minimax." Review of Economic Studies 70(2), 2003, pp. 395–415.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.