Apostas pela martingala

Aposta 1 unidade no vermelho e duplica após cada perda, até ganhar. Acompanha um grupo de jogadores ao longo de mil sessões. Depois, altera a banca e vê o que muda quando podes prolongar a sequência de apostas.

Exemplo resolvido — Apostas pela martingala

Vantagem da casa por unidade apostada	2,70%
Apostas que a banca permite, k	10
Sessões com lucro de 1 unidade	99,8725%
Sessões em que se perde toda a progressão	0,1275%
Resultado esperado por sessão, E(R)	−0,3056
Montante esperado apostado por sessão, E(S)	11,308
Resultado por unidade apostada	−2,7027%
Jogadores sem sessões perdidas em 1.000	27,92%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Apostas pela martingala

O sistema de apostas da martingala começa com 1 unidade numa aposta cujo lucro, em caso de vitória, é igual ao montante apostado. Duplica-se a aposta após cada perda e termina-se à primeira vitória, com um lucro de 1 unidade. Uma banca que permite fazer k apostas tem 2^k − 1 unidades. A probabilidade de uma sessão perder toda a banca é q^k; o resultado esperado é 1 − (2q)^k, e o montante esperado apostado é a soma de (2q)ⁱ para i de 0 a k − 1. O quociente entre os dois é exatamente p − q. Na teoria das probabilidades, uma martingala é um processo em que o valor esperado seguinte, dada toda a informação disponível até ao momento, é igual ao valor atual: a expressão matemática de um jogo justo.

O que significa cada símbolo

B: a banca, em unidades da primeira aposta
k: o número de apostas que a banca permite, o maior k tal que 2^k − 1 ≤ B
q: a probabilidade de perder uma aposta, 1 − p
R: o resultado de uma sessão: +1 ou −(2^k − 1)
S: o montante total apostado numa sessão
X: o número de sessões perdidas entre n sessões

Pressupõe: Cada sessão recomeça com uma aposta de 1 unidade e com a banca reposta. Cada aposta ganha dá um lucro igual ao montante apostado; se sair zero, perde-se toda a aposta. Um limite de aposta na mesa corta a progressão tal como uma banca menor.

Duplicar dá lucro em quase todas as sessões e deixa à casa a sua vantagem por unidade apostada 🖖

Seleciona 1 023 un., 1 000 sessões. Aposta 1 unidade no vermelho, duplica após cada perda e termina à primeira vitória. Essa vitória deixa sempre um lucro de 1 unidade, pois cada aposta excede em 1 unidade tudo o que se perdeu antes. Com 1 023 unidades podes fazer 10 apostas, 1 + 2 + … + 512. A sessão dá lucro de 1 unidade, a menos que o vermelho não saia em 10 jogadas seguidas, o que acontece em 0,1275% das sessões. Nesse caso, perdem-se as 1 023 unidades. A linha cinzenta tracejada mostra a sensação de quem segue o sistema: ganhar 1 unidade por sessão. O resultado esperado de uma sessão é 0,998725 × 1 − 0,001275 × 1 023 = −0,3056. Apostam-se, em média, 11,308 unidades por sessão, porque a maioria das sessões termina na primeira ou na segunda aposta e algumas avançam pela progressão. O quociente entre o resultado esperado e o montante esperado apostado, calculado antes de arredondar, é −2,7027%, ou −1/37: a vantagem da casa numa única aposta no vermelho, até ao último algarismo. A relação vale para qualquer banca. Uma sessão é uma sequência de apostas, e cada aposta perde, em média, 1/37 do seu valor, seja qual for o montante. Seleciona Uma moeda equilibrada e o resultado esperado passa a ser exatamente 0. É o teorema da paragem opcional de Doob. No seu manual, Kyle Siegrist enuncia com clareza a consequência para quem aposta: se os jogos forem justos ou desfavoráveis, "nenhum tempo de paragem, por mais engenhoso que seja, pode ajudar o jogador". Uma sessão que termina em, no máximo, 10 apostas é o caso mais simples. O nome começou por pertencer aos jogadores. Roger Mansuy encontra-o no dicionário do abade Prévost, de 1750: duplicava-se a aposta após cada perda no faraó "para sair com um lucro certo, desde que se ganhasse uma vez". Jean Ville levou a palavra para a teoria das probabilidades em 1939.

Quase todas as sessões dão lucro; ao fim de 1 000 sessões, a maioria dos jogadores está a perder 🖖

Mantém 1 023 un., 1 000 sessões e observa o grupo: 400 jogadores, com a banca reposta após cada sessão perdida. Cada linha sobe 1 unidade por sessão ganha e desce 1 023 numa sessão perdida. Perder uma sessão é raro, com probabilidade 0,1275%, mas cada jogador joga mil sessões. Ao fim de 1 000 sessões, 27,92% nunca perderam nenhuma e têm um saldo de +1 000. Todos os restantes perderam pelo menos uma vez. Uma única sessão perdida já deixa o saldo em 999 − 1 023 = −24, pelo que 72,08% estão a perder. A primeira sessão perdida pelo jogador mediano é a 544.ª; seleciona 100 sessões e 88,02% ainda não perderam nenhuma. A média ao fim de 1 000 sessões é 1 000 × (−0,3056) = −305,6, representada pela linha roxa tracejada. O painel inferior mostra que nenhum jogador tem esse saldo. Os únicos totais possíveis são 1 000, −24, −1 048 e assim sucessivamente, em intervalos de 1 024: cada sessão perdida custa as 1 023 unidades apostadas e a unidade que se deixou de ganhar. O sistema concentra as perdas em episódios raros de 1 023 unidades. Daí a sensação de ganhar durante tanto tempo.

Uma progressão mais longa aumenta a perda média por sessão 🖖

Seleciona 63 unidades: 6 apostas. As 63 unidades permitem fazer 6 apostas. Uma sessão perde-as todas em 1,8336% dos casos, e o resultado esperado é −0,1735 por sessão. Com 1 023 unidades, é −0,3056. Seleciona Um milhão de unidades: 1 048 575 unidades permitem fazer 20 apostas. Só se perde uma sessão em 1,63×10⁻⁴% dos casos, e o resultado esperado é −0,7047. A tabela das bancas mostra de onde vem a perda adicional. Raramente se chega às apostas finais de uma progressão longa, mas os montantes aí apostados são muito maiores. O montante esperado apostado sobe para 6,420, 11,308 e 26,072, e a vantagem da casa retira 2,7027% de cada unidade. Com o milhão de unidades, 99,84% dos jogadores completam 1 000 sessões sem perder nenhuma e terminam com um lucro de 1 000. A média continua a ser −704,7, à custa dos 0,16% que perdem 1 048 575 de uma só vez. Nas suas memórias, ao recordar o Carnaval de Veneza de 1754, Casanova conta que jogava com uma progressão de seis apostas: "Nunca perdi a sexta carta. Se a tivesse perdido, teria ficado sem dinheiro" (citação reproduzida por Grinstead e Snell). Com uma moeda equilibrada, qualquer banca dá um resultado esperado de exatamente 0, por mais longa que seja a progressão. Só uma banca ilimitada escapa: ganha 1 unidade com probabilidade um, mas o montante esperado apostado por sessão é infinito. O passo seguinte dá outro sentido à mesma duplicação. No jogo de São Petersburgo, o prémio duplica a cada lançamento e o seu valor esperado é infinito.

Problema resolvido na íntegra

Quanto custa passar mil sessões sem perder 4 passos
No vermelho da roleta europeia, que banca dá uma probabilidade de 90% de completar 1 000 sessões sem perder nenhuma, e qual é o custo por sessão? Começa por selecionar 1 023 un., 1 000 sessões: a página mostra a probabilidade para uma banca de 1 023 unidades.

Abrir este problema na ferramenta
1. A página dá, para uma progressão de 10 apostas:
  
  $(1 - q^{10})^{1, 000} = (1 - 0.001275)^{1, 000} = 0.2792$
2. Para chegar a 90%, a probabilidade de perder uma sessão tem de descer para:
  
  $(1 - q^{k})^{1, 000} \geq 0.9 \Rightarrow q^{k} \leq 1 - 0 . 9^{1/1, 000} = 0.00010535$
3. Cada aposta adicional multiplica essa probabilidade por q = 19/37, pelo que o número mínimo de apostas é:
  
  $k \geq \frac{ln 0 . 00010535}{ln ( 19/37 )} = \frac{- 9 . 1582}{- 0 . 6665} = 13.74 \Rightarrow k = 14$
4. Uma progressão de 14 apostas exige 2¹⁴ − 1 unidades. A mesma fórmula dá o resultado esperado:
  
  $B = 2^{14} - 1 = 16, 383 : (1 - q^{14})^{1, 000} = 0.9152, E (R) = 1 - (\frac{38}{37})^{14} = - 0.4526$
Resposta

Uma banca de 16 383 unidades permite 14 apostas e dá uma probabilidade de 91,52%. Com 13 apostas e 8 191 unidades, a probabilidade é apenas 84,14%. O custo traduz-se no resultado esperado: −0,4526 por sessão, em vez de −0,3056, ou −452,6 ao longo das mil sessões, em vez de −305,6. Multiplicar a banca por 16 aumenta a probabilidade de passar sem perdas e aumenta também a perda esperada.

$B = 16, 383 : 91 . 52%, 1, 000 \times (- 0.4526) = - 452.6 (B = 1, 023 : - 305.6)$

Percurso de aprendizagem

Jogos justos que te levam à ruína

Referências (3)

Where the name comes from, which the first insight quotes: the abbé Prévost's dictionary of 1750 defines the martingale, at faro, as doubling the stake at each loss "in order to quit with a sure profit, provided that he wins once"; Jean Ville's 1939 thesis took the gamblers' word into probability, and Doob adopted it from there. The Provençal and harness etymologies are reported as uncertain: R. Mansuy, "The Origins of the Word 'Martingale'", translated by R. Sverdlove. Journ@l Électronique d'Histoire des Probabilités et de la Statistique / Electronic Journal for History of Probability and Statistics 5(1), June 2009.
Doob's optional stopping theorem for bounded stopping times, and the gambler's reading the first insight quotes, "If the games are fair or unfavorable, then no stopping time, regardless of how cleverly designed, can help the gambler"; with the red-and-black identity E(Xᵢ) = E(Xᵢ₋₁) + (2p − 1)E(Yᵢ), which summed over a session's bets gives the page's E(R) = (p − q)E(S): K. Siegrist, Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes (randomservices.org). Chapter 16, Martingales, §3 Stopping Times; and Chapter 12, Games of Chance, §9 Red and Black.
Casanova's martingale in Venice, quoted in the third insight ("I never lost the sixth card. If I had lost it, I should have been out of funds"), the doubling system set as Exercise 10 of §1.1, and Exercise 12 of §6.1, the page's 63-unit ladder on a wheel with no zero (start with 1, stop at the first win or when black has come up six times and you are down 63): C. M. Grinstead and J. L. Snell, Introduction to Probability, 2nd edition, American Mathematical Society; the CHANCE Project version dated 4 July 2006 (GNU Free Documentation License). §1.1, Historical Remarks, pp. 11–12, and Exercise 10; §6.1, Martingales and Exercise 12.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.