Matemática da loteria

Defina n, k e os valores dos prêmios. A ferramenta calcula todas as probabilidades a partir de C(n,k), o valor esperado por faixa e suas chances de jackpot ao longo da vida.

Exemplo resolvido — Matemática da loteria

Anos até 50% de chance de jackpot	1.9M years
Probabilidade do jackpot	1 in 139.838.160
Combinações totais	139.838.160
Taxa de retorno	28.6%
VE / bilhete	€-0.857
Jackpot de equilíbrio	€134.9M
Retorno aos jogadores	28.6%
Margem do operador	71.4%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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o valor esperado e o problema dos 292 milhões de anos 🖖

A probabilidade de jackpot do Powerball é 1 em 292.201.338 — é preciso acertar 5 números entre 69 e depois o Powerball em um tambor separado com 26; C(69,5) × 26 resulta exatamente nesse número. Com um bilhete por semana, a distribuição geométrica indica que seria preciso esperar, em média, cerca de 5,6 milhões de anos para ganhar um único jackpot. Comprar mais bilhetes quase não muda isso: 10 bilhetes por semana reduzem a espera para apenas 560.000 anos, porque as chances crescem linearmente enquanto o valor esperado por bilhete permanece negativo — o fundo de prêmios nunca devolve totalmente o que foi arrecadado na venda de bilhetes. A loteria não é um mau investimento; simplesmente não é um investimento.

duas lotarias, regras diferentes, probabilidades idênticas 🖖

No fundo esta ferramenta apenas conta: cada boletim válido é uma combinação, todas igualmente prováveis, portanto a probabilidade é um a dividir pela contagem. O que isso esconde é como dois jogos podem chegar à mesma contagem por caminhos muito diferentes. O 6/49 alemão tira seis bolas de 49 e junta um Superzahl de dez: 13 983 816 × 10. O EuroMilhões tira cinco de 50 e junta duas estrelas de doze: 2 118 760 × 66. Ambos dão exatamente 139 838 160 boletins possíveis — não aproximadamente, exatamente, porque C(49,6) é 6,6 vezes C(50,5) e 66 é 6,6 vezes 10. Duas comissões em dois países, e o mesmo número de maneiras de perder.

o homem que comprou uma loteria 🖖

Em 1992, um sindicato liderado pelo matemático Stefan Mandel mirou a Loteria da Virgínia, que tinha apenas C(44,6) = 7,059,052 bilhetes possíveis a $1 cada, enquanto o prêmio acumulado chegara a cerca de $27 milhões. Quando o prêmio total supera o custo de comprar todas as combinações, o valor esperado torna-se positivo — então tentaram adquiri-los todos. Conseguiram imprimir cerca de 5 milhões de bilhetes a tempo, e ganharam. Com essa combinatória por força bruta, Mandel venceu loterias 14 vezes.

Seis lotarias, uma fórmula

O sorteio principal do Powerball é mais fácil do que o do 6/49 alemão

Acertar cinco números em 69 é mais fácil do que acertar seis em 49 — 1 em 11 238 513 contra 1 em 13 983 816. Toda a dificuldade extra do Powerball vem do segundo tambor. É isso que a decomposição abaixo mostra: um jackpot é o sorteio principal multiplicado pelo bónus, e quem desenha o jogo troca um pelo outro.

Lotaria	O sorteio	Sorteio principal, 1 em	Fator do bónus	Jackpot, 1 em
UK Lotto	6/59	45.057.474	—	45.057.474
Viking Lotto	6/48 + 1/8	12.271.512	×8	98.172.096
Lotto alemão 6/49	6/49 + 1/10	13.983.816	×10	139.838.160
EuroMilhões	5/50 + 2/12	2.118.760	×66	139.838.160
EuroJackpot	5/50 + 2/12	2.118.760	×66	139.838.160
Powerball dos EUA	5/69 + 1/26	11.238.513	×26	292.201.338

Leia as duas colunas do meio uma contra a outra. O EuroMilhões tem de longe o sorteio principal mais fácil dos seis — 1 em 2 118 760, vinte vezes mais fácil do que o britânico — e mesmo assim acaba entre os jackpots mais difíceis, porque as duas estrelas multiplicam a contagem por 66. O UK Lotto é o único jogo aqui sem segundo tambor, e é exatamente por isso que o seu jackpot é o mais alcançável. Três dos seis coincidem até ao último algarismo em 139 838 160: o 6/49 e o EuroMilhões chegam lá por caminhos opostos, e o EuroJackpot partilha a estrutura do EuroMilhões desde 2022. A igualdade é exata e não aproximada — C(49,6) é 6,6 vezes C(50,5), e 66 é 6,6 vezes 10. Todos os números da tabela saem do mesmo C(n,k) que a ferramenta usa, e cada coluna de jackpot é verificada na compilação contra as probabilidades publicadas do jogo.

Referências (5)

UK Lotto prize-tier odds — jackpot 1 in 45,057,474, five plus bonus 1 in 7,509,579: Lottery.co.uk, Lotto Odds
Powerball 1 in 292,201,338: Multi-State Lottery Association, Powerball prizes and odds
EuroMillions 5 of 50 plus 2 Lucky Stars of 12: EuroMillions, Odds of Winning
That players really do avoid recently drawn numbers, measured on actual ticket sales: C. T. Clotfelter and P. J. Cook, "The ‘Gambler’s Fallacy’ in Lottery Play." Management Science 39(12), 1521–1525, 1993.
Why a short run is expected to look like a long one, which is the error underneath it: A. Tversky and D. Kahneman, "Belief in the law of small numbers." Psychological Bulletin 76(2), 105–110, 1971.

Problema resolvido na íntegra

Seis números em 49 e um Superzahl em dez no Lotto alemão 5 passos
Lotto alemã: seis números em 49, mais uma Superzahl em dez. Calcule as probabilidades e, em seguida, a questão honesta — quão grande tem de ser o jackpot para que valha a pena comprar um bilhete?
1. A ordem não importa para os seis números principais, pelo que se trata de uma combinação: a contagem ordenada dividida pelas 720 formas como os mesmos seis números poderiam sair.
  
  $(6 49) = \frac{49 !}{6 ! 43 !} = 13983816$
2. A Superzahl é extraída separadamente, pelo que multiplica em vez de somar. Dez resultados independentes a juntar a quase catorze milhões.
  
  $\times 10 Superzahl ⟹ 139838160 outcomes$
3. O retorno esperado é o valor devolvido pela entidade exploradora e, a 28,6% de um bilhete de €1,20, isso corresponde a 34 cêntimos. O resto é a perda.
  
  $E [return] = 0.286 \times 1.20 = 0.343 ⟹ E [profit] = - 0.857 per ticket$
4. Assim, um bilhete custa €0,857 em valor esperado, de todas as vezes, e nenhuma estratégia altera esse valor — escolher datas de aniversário, evitar os números da semana anterior e jogar em grupo deixam-no exatamente onde está.
5. Para que o valor esperado atinja o ponto de equilíbrio, só o jackpot teria de compensar a diferença, o que exige cerca de €135 milhões.
  
  $break-even : J \times \frac{1}{139 838 160} must cover the shortfall \Rightarrow J \approx 134.9 M$
Resposta

A ferramenta apresenta 1 em 139.838.160, uma taxa de retorno de 28,6% e uma perda esperada de €0,857 por bilhete. Duas consequências valem mais do que as probabilidades. Primeiro, o jackpot de ponto de equilíbrio de cerca de €134,9M é por vezes atingido — e mesmo assim o bilhete não é uma boa aposta, porque um jackpot partilhado reduz o prémio para metade enquanto as probabilidades permanecem inalteradas. Segundo, um bilhete por semana dá uma probabilidade de 50% de ganhar o jackpot após cerca de 1,9 milhões de anos. O número que vende bilhetes é o prémio; o número que os decide é os 28,6%, e esse não vem impresso em bilhete nenhum.

$N = (6 49) \times 10 = 139838160; E = - 0.857 per 1.20 ticket$

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-05-14

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