Matemática da loteria
Defina n, k e os valores dos prêmios. A ferramenta calcula todas as probabilidades a partir de C(n,k), o valor esperado por faixa e suas chances de jackpot ao longo da vida.
o valor esperado e o problema dos 292 milhões de anos 🖖
A probabilidade de jackpot do Powerball é 1 em 292.201.338 — é preciso acertar 5 números entre 69 e depois o Powerball em um tambor separado com 26; C(69,5) × 26 resulta exatamente nesse número. Com um bilhete por semana, a distribuição geométrica indica que seria preciso esperar, em média, cerca de 5,6 milhões de anos para ganhar um único jackpot. Comprar mais bilhetes quase não muda isso: 10 bilhetes por semana reduzem a espera para apenas 560.000 anos, porque as chances crescem linearmente enquanto o valor esperado por bilhete permanece negativo — o fundo de prêmios nunca devolve totalmente o que foi arrecadado na venda de bilhetes. A loteria não é um mau investimento; simplesmente não é um investimento.
toda loteria é um problema de contagem 🖖
No fundo, esta ferramenta apenas conta. Cada bilhete válido é uma combinação, e todas são igualmente prováveis, então a probabilidade de um bilhete qualquer é exatamente 1 dividido por esse número. Como a ordem não importa, contam-se combinações, não permutações — e esse número cresce de forma explosiva: acrescentar apenas algumas bolas ao globo pode multiplicar várias vezes o total de bilhetes. É esse crescimento, e não um sorteio «de azar», que torna ganhar tão raro.
o homem que comprou uma loteria 🖖
Em 1992, um sindicato liderado pelo matemático Stefan Mandel mirou a Loteria da Virgínia, que tinha apenas C(44,6) = 7,059,052 bilhetes possíveis a $1 cada, enquanto o prêmio acumulado chegara a cerca de $27 milhões. Quando o prêmio total supera o custo de comprar todas as combinações, o valor esperado torna-se positivo — então tentaram adquiri-los todos. Conseguiram imprimir cerca de 5 milhões de bilhetes a tempo, e ganharam. Com essa combinatória por força bruta, Mandel venceu loterias 14 vezes.