O paradoxo de São Petersburgo

Lança-se uma moeda equilibrada até sair cara. Se a primeira cara sair no lançamento k, o prémio é de 2^k−1 ducados. O valor esperado é infinito. Acompanha duzentos jogadores que tentam alcançá-lo. Depois, limita o que a banca pode pagar e vê quanto vale o jogo.

Exemplo resolvido — O paradoxo de São Petersburgo

Valor com uma banca de 16.777.216	13,00
Preço de Bernoulli para um jogador com 1.000	5,97
Valor com uma banca que dispõe de 1.000	5,98

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — O paradoxo de São Petersburgo

No jogo de São Petersburgo, lança-se uma moeda equilibrada até sair cara pela primeira vez. Se isso acontecer no lançamento k, o jogador ganha 2^k−1 ducados. O lançamento k contribui com 2^−k · 2^k−1 = ½ para o valor esperado, que é, portanto, infinito. Uma banca que pode pagar no máximo B ducados paga min(2^k−1, B). Nesse caso, o jogo vale V(B) = (m + 1)/2 + B/2^m+1, com m = ⌊log₂ B⌋. Quando B = 2^m, esse valor é 1 + m/2. Segundo a utilidade logarítmica de Bernoulli, um jogador com património W paga no máximo o valor x que satisfaz Σ 2^−k ln(W − x + 2^k−1) = ln W.

O que significa cada símbolo

B: o máximo que a banca pode pagar, em ducados
V(B): o valor esperado do jogo com essa banca
W: o património do jogador antes de jogar, em ducados
x: o máximo que um jogador com património W paga para jogar, segundo a utilidade logarítmica

Limitado ao que a banca pode pagar, o infinito vale 13 ducados 🖖

Seleciona A banca de Cramer. Cada lançamento acrescenta meio ducado ao valor esperado: se a primeira cara sair no lançamento k, o prémio é 2^k−1, com probabilidade 2^−k. Uma soma interminável de metades é infinita. É esse valor que a linha tracejada representa no topo do gráfico inferior. Nenhuma banca consegue pagar todos os termos, e aqui o capital do adversário é finito, tal como no problema da <a href="/stat/gamblers-ruin">ruína do jogador</a>. Gabriel Cramer observou-o numa carta de 1728 citada por Daniel Bernoulli: suponhamos que não se pode ganhar mais de 2²⁴ = 16 777 216 ducados. Nesse caso, os primeiros 25 lançamentos contribuem com meio ducado cada um; todos os jogos mais longos pagam o valor máximo e, em conjunto, contribuem com mais meio ducado. O jogo vale 13 ducados. Uma banca de 2^m dá ao jogo o valor 1 + m/2: cada duplicação do capital da banca acrescenta meio ducado, e multiplicá-lo por 1 000 acrescenta cerca de 5. Nicolaus Bernoulli, que formulou o problema em 1713, disse a Daniel que qualquer homem razoavelmente sensato venderia de muito bom grado a sua oportunidade de jogar por 20 ducados. Para o jogo valer 20, a banca precisa de 2³⁸ = 274 877 906 944 ducados; com um bilião, vale 20,91.

A média de muitos jogos nunca estabiliza 🖖

Seleciona Sem limite, 65 536 jogos. Cada linha fina mostra a média acumulada de um jogador. Quando o valor esperado é finito, a lei dos grandes números faz estas linhas aproximarem-se dele. Aqui, o valor esperado é infinito, e a média de n jogos tende de facto para infinito com probabilidade 1, mas devagar. A mediana das médias sobe um pouco acima da curva pontilhada, que representa o valor do jogo com uma banca cujo capital é igual ao número de jogos realizados. Essa curva ganha meio ducado sempre que o número de jogos duplica e chega a 9 após 65 536 jogos; nesta simulação, a mediana termina em 9,29. São os raros jogos longos que fazem a média subir. Em n jogos, a probabilidade de algum deles pagar n ou mais é de 63,2% com 1 024 jogos e continua a ser de 63,2% com 65 536. Essa probabilidade tende para 1 − 1/e, em vez de tender para zero. Por isso, por mais longa que seja a sessão, um único jogo pode continuar a acrescentar um ducado ou mais à média. No sistema de duplicação das apostas, o comportamento é inverso: quase todas as sessões dão um ganho de uma unidade, e as raras sessões em que se perde tudo determinam a média. Seleciona Uma banca de 1 024: com uma banca finita, o valor esperado é de 6 ducados. As médias dos jogadores aproximam-se desse valor, com um desvio-padrão exato de 0,15 para a média de um jogador.

Um jogador com património W avalia o jogo como se a banca tivesse W 🖖

Seleciona Os 1 000 de Bernoulli. Na resposta que apresentou em 1738, Daniel Bernoulli propôs que a importância de um ganho fosse inversamente proporcional ao património de quem o recebe. Daí resulta uma avaliação do património pelo seu logaritmo. Um jogador com património W deve pagar, no máximo, o preço x que mantém o valor esperado do logaritmo do seu património igual ao logaritmo do património inicial. Com 1 000 ducados, paga 5,97. O jogo com uma banca que dispõe de exatamente 1 000 ducados vale 5,98. Seleciona Um milionário: 10,94 e 10,95, respetivamente. De 1 000 ducados a 10¹⁵, a diferença entre os dois valores nunca ultrapassa 0,03. O logaritmo explica esta proximidade. Enquanto o ganho g é pequeno em relação a W, ln(1 + g/W) aproxima-se de g/W, e o ganho conta pelo seu valor nominal. Quando g ultrapassa W, o logaritmo cresce tão devagar que os jogos longos quase nada acrescentam. É o património do próprio jogador que impõe o limite. Abaixo de 1 000, os valores afastam-se: um jogador com 10 paga 2,88 por um jogo que vale 2,63 com uma banca de 10. Para quem recebesse o jogo gratuitamente, Bernoulli estimou um valor de cerca de 3 ducados com um património de 10, cerca de 4 com um património de 100 e 6 com um património de 1 000. Para quem nada possuísse, o valor seria exatamente 2.

Problema resolvido na íntegra

A outra resposta de Cramer: a raiz quadrada em vez de um limite 4 passos
Na mesma carta de 1728, Cramer explorou uma segunda ideia: deixar a banca sem limite e avaliar o dinheiro pela sua raiz quadrada. Assim, 40 milhões dão o dobro da satisfação de 10 milhões. Quanto vale então o jogo para ele, em ducados? Começa por selecionar A banca de Cramer: a página mostra o valor da sua primeira resposta.

Abrir este problema na ferramenta
1. A primeira resposta, com o jogo limitado, tal como aparece na página:
  
  $V (2^{24}) = 1 + \frac{24}{2} = 13$
2. Avalia cada prémio pela sua raiz quadrada. O termo de ordem k é 2^−k√(2^k−1). A série é geométrica, de razão 1/√2, e converge mesmo sem limite:
  
  $k \geq 1 \sum 2^{- k} 2^{k - 1} = \frac{1}{2} j \geq 0 \sum (\frac{1}{2})^{j} = \frac{1}{2 - 2} = 1.7071$
3. O equivalente certo é a quantia cuja raiz quadrada corresponde a essa satisfação esperada:
  
  $(\frac{1}{2 - 2})^{2} = \frac{1}{6 - 4 2} = 2.914$
4. Para comparar, aplica o logaritmo de Bernoulli a um jogador que nada possui e recebe o jogo gratuitamente:
  
  $k \geq 1 \prod (2^{k - 1})^{2^{- k}} = 2^{\sum_{k} (k - 1) 2^{- k}} = 2^{1} = 2$
Resposta

2,91 ducados: 1/(6 − 4√2), sem limite para a banca. Cramer descreveu este valor como «menos de 3, uma quantia realmente insignificante, mas ainda assim, creio, mais próxima da avaliação comum do que 13». Com a raiz quadrada, as contribuições dos jogos longos diminuem geometricamente; o limite da banca impunha essa redução de forma direta. O logaritmo de Bernoulli dá 2 para um jogador que nada possui.

$\frac{1}{6 - 4 2} = 2.91 < 3 < 13$

Percurso de aprendizagem

Jogos justos que te levam à ruína

Referências (2)

Daniel Bernoulli's paper of 1738, in Louise Sommer's translation: the game in the page's form (one ducat on the first toss, doubling), Nicolaus Bernoulli's remark that a reasonable man would sell his chance for twenty ducats, the logarithmic valuation with the man worth 10, 100 and 1,000 ducats (about 3, 4 and 6) and nothing (two ducats precisely), the equation for the purchase price, and Gabriel Cramer's letter of 1728 with the cap at 2²⁴ ducats (13) and the square root (less than 3), which the first insight and the worked problem use: D. Bernoulli, Exposition of a new theory on the measurement of risk, translated by L. Sommer. Econometrica 22(1), 23–36 (1954). Originally Specimen theoriae novae de mensura sortis, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 5, 175–192 (1738). doi:10.2307/1909829
The history in one place: Nicolaus Bernoulli's letter to Montmort of 9 September 1713 (a die, not a coin, and a progression 1, 2, 4, 8, 16), Cramer's simpler coin version and his bounded valuation in 1728, Daniel Bernoulli's logarithm in 1738, and the objection that no bank has an indefinitely large reserve: M. Peterson, The St. Petersburg Paradox. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2023 edition), E. N. Zalta and U. Nodelman (eds.). First published 30 July 2019; substantive revision 1 August 2023.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.