Raio de Convergência

A série de Taylor de 1/(1 + x²) em torno de a converge apenas dentro de uma distância R de a. Altere o grau, o ponto x₀ e o centro. Acompanhe em simultâneo o gráfico real e o plano complexo: o disco no plano dita onde a curva é fiável.

Exemplo resolvido — Raio de Convergência

Raio de convergência, R	1,000000
Onde a série converge	−1,000000 < x < 1,000000
Distância de x₀, em raios	1,1000
Polinómio de grau 80 em x₀	1.121,975
A função em x₀	0,4524887
Erro do polinómio	1.121,522
Limite máximo do erro	1.515,693
Média das somas até grau 80	1,774285

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Raio de Convergência

O raio de convergência de uma série de potências Σ c_n(x − a)ⁿ é o número R para o qual a série converge quando |x − a| < R e diverge quando |x − a| > R. Para 1/(1 + x²), R é a distância de a até ao ponto mais próximo do plano complexo onde a função explode, i ou −i. Logo, R = √(1 + a²).

O que significa cada símbolo

R: o raio de convergência em torno de a, |a − i| = √(1 + a²)
q: (a − x)/(a − i); o seu módulo |x − a|/R indica a quantos raios o ponto x dista do centro

De onde vem a fórmula

A origem dos coeficientes. Decomponha 1/(1 + z²) em (1/2i)[1/(z − i) − 1/(z + i)]. Cada parcela revela-se uma série geométrica em torno de a: 1/(z − i) = 1/((a − i) + (z − a)) = Σ (−1)ⁿ(z − a)ⁿ/(a − i)ⁿ⁺¹, que converge exatamente quando |z − a| < |a − i|. A segunda parcela funciona de forma idêntica para a + i, à mesma distância. Em consequência, ambas param em R = √(1 + a²).
Por que o erro é uma potência de q. Uma série geométrica interrompida ao fim de N + 1 termos deixa como resto q^N+1 vezes o total. Assim, tem-se de forma exata f(x) − T_N(x) = Im[q^N+1/(x − i)]. O seu módulo máximo atinge |q|^N+1/√(1 + x²). A expressão decai como uma progressão geométrica se |q| < 1, cresce da mesma forma se |q| > 1 e não se esvanece nem aumenta quando |q| = 1.

Sem problemas na reta real, mas a série morre em 1 🖖

Prima Pouco depois de 1. A função 1/(1 + x²) é tão bem comportada quanto possível: é positiva, nunca ultrapassa 1 e tem derivadas de todas as ordens em qualquer número real. Contudo, o grau 80 em torno de 0 dá 1.121,975 em x = 1,1, onde a curva vale 0,4524887. Adicionar mais termos piora a situação. Cada dois graus multiplicam o erro por 1,21. Prima Pouco antes de 1. O ponto 0,9 fica à mesma distância de 1 na direção oposta, e o mesmo grau desvia-se apenas por 9,777×10⁻⁵. Nada no ponto x = 1 explica a diferença, visto que a curva passa por aí em ½, suave e sem quebras. A justificação está no painel inferior. Substitua x por um número complexo z e repare que 1/(1 + z²) é infinita quando z² = −1. Isso acontece em i e −i. Ambos ficam a exatamente 1 de distância do centro.

O raio é a distância até i, seja qual for o centro da série 🖖

Arraste o centro a ao longo do eixo real no painel inferior. O disco cresce e encolhe para que a sua fronteira passe sempre por i e −i, cumprindo R = √(1 + a²). A faixa sombreada no gráfico real superior é a sombra do disco sobre o eixo real. Prima Centrado em 1. Agora R = 1,414214 e por isso a série converge de −0,414214 a 2,414214. No ponto x = 2, onde a série em torno de 0 dava 9,671×10²³, o grau 80 apresenta agora um desvio de 2,728×10⁻¹³. Nenhum dos extremos desse intervalo possui propriedades especiais na reta real. São unicamente os pontos onde a circunferência em torno de 1, atravessando os dois polos, calha cruzar o eixo real.

Sobre a circunferência, a série não estabiliza nem foge do controlo 🖖

Prima Na fronteira. Em x = 1, a série em torno de 0 torna-se 1 − 1 + 1 − 1 + …, a série de Grandi. Grau a grau, as suas somas parciais são 1, 1, 0, 0, 1, 1, …; não estabilizam nem crescem. Nesse ponto, a função vale ½. A última linha dos resultados calcula a média das somas parciais. Essa média é de 0,5061728 no grau 80, o que a aproxima exatamente de ½.

Problema resolvido na íntegra

A série falha em x = 1. E a sua integral? 4 passos
Integre o polinómio de grau 80 de 0 a 1, termo a termo, e compare-o com a área exata sob 1/(1 + x²). Em x = 1, a série em si não estabiliza. O que acontece com a área?

Abrir este problema na ferramenta
1. A área verdadeira é um arco-tangente:
  
  $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan 1 = \frac{π}{4} = 0.7853982$
2. Termo a termo, cada x^2k torna-se 1/(2k + 1):
  
  $\int_{0}^{1} T_{80} d x = \int_{0}^{1} (1 - x^{2} + x^{4} - \dots + x^{80}) d x = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots + \frac{1}{81} = 0.7914948$
3. A diferença é a integral do erro, que a série geométrica exprime de forma exata. Sabemos ainda que 1/(1 + x²) se situa entre ½ e 1 em [0, 1]:
  
  $\int_{0}^{1} (T_{80} - f) d x = \int_{0}^{1} \frac{x ^{82}}{1 + x ^{2}} d x \in (\frac{1}{166}, \frac{1}{83}) = (0.0060241, 0.0120482); 0.0060967$
4. Esse limite tende para 0 à medida que o grau aumenta. Assim, a série alternada de inversos ímpares converge para π/4:
  
  $0 < \int_{0}^{1} \frac{x ^{2 k + 2}}{1 + x ^{2}} d x < \frac{1}{2 k + 3} \to 0 \Rightarrow 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{π}{4}$
Resposta

A área converge onde a série não o fez: 0,7914948 contra π/4 = 0,7853982. Cada par extra de graus fecha essa lacuna. A convergência é lenta, dado que o erro após n termos ronda 1/(4n). Por essa razão, um erro de um milionésimo exige cerca de 250.000 termos. Repare também que a convergência é apenas condicional, uma vez que 1 + ⅓ + ⅕ + … diverge. Esta é exatamente a espécie de série que Riemann provou ser possível reordenar de modo a somar um número qualquer. No mesmo ensaio de 1854, ele notou que as séries de potências de uma variável convergem absolutamente, salvo valores pontuais da variável. O ponto x = 1 é um desses valores.

$0.7914948 - 0.7853982 = 0.0060967 \approx \frac{1}{4 \times 41}; 1 0^{- 6} needs \approx 250, 000 terms$

Percurso de aprendizagem

Séries infinitas e convergência

Referências (2)

The theorem the page draws, that a function holomorphic on a region can be expanded about any point into a power series whose radius is at least the distance to the region's boundary, and this page's own example, 1/(z² + 1) about 0, radius 1 because of the singularities at ±i: M. Beck, G. Marchesi, D. Pixton and L. Sabalka, A First Course in Complex Analysis, edition 1.6 (2025), open textbook, Corollary 8.1.10 and Example 8.1.11.
Riemann's remark, in the essay where he gave the rearrangement theorem, that series in rising powers of a variable belong to the class that converges absolutely, single values of the variable excepted: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe", Habilitationsschrift, Göttingen 1854; published by R. Dedekind in Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13 (1867), §3. Transcribed by D. R. Wilkins, Trinity College Dublin.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.