Lei de Hooke e Laboratório de Molas

Explore força, constante elástica, deslocamento, energia elástica armazenada e molas em série/paralelo em tempo real.

Exemplo resolvido — Lei de Hooke e Laboratório de Molas

Constante elástica k	10 N/m
Constante elástica k₁	10 N/m
Constante elástica k₂	10 N/m
Massa m	0.1 kg
Constante de amortecimento c	0.00 N·s/m
Deslocamento x	-0.45 m

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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De perto, todo poço estável parece uma mola 🖖

A lei de Hooke, F = -kx, descreve o comportamento elástico linear de materiais sob deformação. O sinal negativo representa a força restauradora, empurrando o sistema de volta ao seu estado de equilíbrio. Na escala atômica, a lei de Hooke é uma aproximação de primeira ordem do potencial de Lennard-Jones. Perto do fundo de qualquer poço de potencial estável, a curva de energia potencial é aproximadamente quadrática, U = 1/2 kx². Este estado de energia quadrática significa que qualquer pequena perturbação resultará em movimento harmônico simples, sendo a frequência independente da amplitude.

A rigidez e como as molas se combinam 🖖

A lei de Hooke diz apenas que uma mola reage com uma força diretamente proporcional a quanto você a estica ou comprime — a constante elástica k é simplesmente a sua rigidez, em newtons por metro. O modo de sistemas revela uma surpresa elegante: duas molas idênticas lado a lado (em paralelo) dobram a rigidez, mas essas mesmas duas ligadas ponta a ponta (em série) ficam com metade da rigidez. Encadear molas as torna mais macias, não mais fortes.

Hooke escondeu sua lei num anagrama 🖖

Em 1676, Robert Hooke ainda não queria revelar sua descoberta, então a publicou como um anagrama latino embaralhado: ceiiinosssttuv. Dois anos depois, ele o decifrou — ut tensio, sic vis, «tal a extensão, tal a força». Ele protegia sua prioridade enquanto trabalhava em relógios movidos a mola. Essa mesma lei linear vive hoje nas balanças de cozinha, nas suspensões dos carros e no clique de uma caneta retrátil.

LEI DE HOOKE — QUAL PERGUNTA, E COMO AS MOLAS ESTÃO MONTADAS?

Em que caso de mola você está?

Uma mola carrega um único número, sua rigidez k, e todo o resto decorre do que você pedir a ela. Puxe e a força é kx. Segure ali e a energia armazenada é ½kx², que cresce com o quadrado do alongamento e não no mesmo passo. Solte e esse mesmo k vira um relógio. E quando duas molas trabalham juntas, se somam as rigidezes ou as maciezas depende inteiramente de como estão ligadas.

Você quer a força — uma reta pela origem F = kx

Você quer a energia armazenada — uma parábola, então cresce com o quadrado E = ½kx²

Você solta — a mola vira um relógio ω₀ = √(k/m)

Duas molas lado a lado — as rigidezes se somam k_eq = k₁ + k₂

Duas molas em fila — o par é mais macio que qualquer uma delas 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂

Você quer a força — uma reta pela origem

O que você sabe: Uma mola e um deslocamento. F = kx: a força é proporcional a quanto a ponta se afastou do repouso, e puxa de volta para lá.

Relação: F = kx

Exemplo resolvido: k = 100 N/m esticada em x = 0,3 m → F = 100 × 0,3 = 30 N

Abrir este caso: Força vs. deslocamento

Você quer a força — uma reta pela origem. Força contra deslocamento é uma reta cuja inclinação é a rigidez. Uma mola e um deslocamento. F = kx: a força é proporcional a quanto a ponta se afastou do repouso, e puxa de volta para lá. — Força contra deslocamento é uma reta cuja inclinação é a rigidez.

Você quer a energia armazenada — uma parábola, então cresce com o quadrado

O que você sabe: O trabalho contra uma força que cresce linearmente é a área sob essa reta, que dá ½kx². O dobro do alongamento guarda quatro vezes a energia.

Relação: E = ½kx²

Exemplo resolvido: k = 150 N/m mantida em x = −0,4 m → E = ½ × 150 × 0,16 = 12 J; na metade desse deslocamento, apenas 3 J

Abrir este caso: Energia da mola

Você quer a energia armazenada — uma parábola, então cresce com o quadrado. A energia armazenada é a área sob a reta de força: uma parábola no deslocamento. O trabalho contra uma força que cresce linearmente é a área sob essa reta, que dá ½kx². O dobro do alongamento guarda quatro vezes a energia. — A energia armazenada é a área sob a reta de força: uma parábola no deslocamento.

Você solta — a mola vira um relógio

O que você sabe: Solta do repouso, a massa oscila em ω₀ = √(k/m), não importa a distância que você puxou. O amortecimento c só decide com que rapidez o vaivém morre.

Relação: ω₀ = √(k/m)

Exemplo resolvido: k = 120 N/m com m = 1,5 kg → ω₀ = 8,944 rad/s, então T = 0,702 s e f = 1,42 Hz. Com c = 0,3 a razão de amortecimento é ζ = 0,011 — quase nada amortecido.

Abrir este caso: Oscilação amortecida

Você solta — a mola vira um relógio. A massa oscila num ritmo fixado só por k e m; o amortecimento apenas encolhe a envoltória. Solta do repouso, a massa oscila em ω₀ = √(k/m), não importa a distância que você puxou. O amortecimento c só decide com que rapidez o vaivém morre. — A massa oscila num ritmo fixado só por k e m; o amortecimento apenas encolhe a envoltória.

Duas molas lado a lado — as rigidezes se somam

O que você sabe: As duas molas vencem o mesmo vão, então ambas esticam o mesmo x e cada uma entra com a própria força. O par se comporta como uma única mola de k₁ + k₂.

Relação: k_eq = k₁ + k₂

Exemplo resolvido: k₁ = 80 N/m e k₂ = 120 N/m em paralelo → the pair acts as 200 N/m, então esticar 0,25 m pede 50 N

Abrir este caso: Molas em paralelo

Duas molas lado a lado — as rigidezes se somam. As duas molas esticam igual, então em qualquer x suas forças se somam. As duas molas vencem o mesmo vão, então ambas esticam o mesmo x e cada uma entra com a própria força. O par se comporta como uma única mola de k₁ + k₂. — As duas molas esticam igual, então em qualquer x suas forças se somam.

Duas molas em fila — o par é mais macio que qualquer uma delas

O que você sabe: A mesma força atravessa as duas molas, então cada uma estica o seu tanto e os dois alongamentos se somam. O que se soma são os inversos das rigidezes.

Relação: 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂

Exemplo resolvido: Duas molas de 150 N/m em série → 150 × 150 / 300 = 75 N/m for the pair. Com 0,25 m no total, cada uma estica 0,125 m e a força é 18,75 N.

Abrir este caso: Molas em série

Duas molas em fila — o par é mais macio que qualquer uma delas. A mesma força passa pelas duas, então os alongamentos se somam e o par fica mais macio. A mesma força atravessa as duas molas, então cada uma estica o seu tanto e os dois alongamentos se somam. O que se soma são os inversos das rigidezes. — A mesma força passa pelas duas, então os alongamentos se somam e o par fica mais macio.

Referências (1)

Insight block 3 — the anagram, and the law it concealed: R. Hooke, Lectures de Potentia Restitutiva, or of Spring. London, 1678 — where "ceiiinosssttuv" is unscrambled to "ut tensio, sic vis".

Problema resolvido na íntegra

Duas molas de 150 N/m unidas pelas extremidades, esticadas 0,25 m no total 5 passos
Duas molas de 150 N/m ligadas ponta a ponta, esticadas 0,25 m no total. Determine a rigidez do par, a força com que puxa e a energia que armazena. Esta é a opção Múltiplas Molas na configuração Molas em Série, com k₁ = k₂ = 150 N/m e uma massa de 0,1 kg.
1. Comece pelo que as duas molas partilham. Uma mola esticada puxa com igual força em ambas as suas extremidades, pelo que a tensão que a primeira mola transmite à segunda é a mesma tensão que a parede sente. A força é comum a ambas as molas; o alongamento não.
  
  $F = k_{1} x_{1} = k_{2} x_{2}$
2. É o alongamento que se soma, porque a extensão total é a junção das duas extensões ponta a ponta. Dividindo pela força comum, são os inversos que se somam, e é essa soma dos inversos que faz com que o par resulte menos rígido do que qualquer uma das molas por si só.
  
  $x = x_{1} + x_{2} = \frac{F}{k _{1}} + \frac{F}{k _{2}} ⟹ \frac{1}{k _{e q}} = \frac{1}{150} + \frac{1}{150}, k_{e q} = 75 N/m$
3. O par comporta-se agora como uma única mola de 75 N/m para o alongamento indicado de 0,25 m. Cada mola fornece a força total enquanto realiza apenas metade do alongamento — o painel arredonda os 18,75 N para 18,8 N.
  
  $F = k_{e q} x = 75 \times 0.25 = 18.75 N, x_{1} = x_{2} = \frac{18.75}{150} = 0.125 m$
4. A energia é a área sob a linha força–alongamento, pelo que acompanha k_eq exatamente como a força. Dividida pelas duas molas, são duas partes iguais de 1,172 J. Uma mola de 150 N/m submetida ao mesmo alongamento de 0,25 m armazenaria 4,688 J, o dobro, porque atingir essa extensão exige o dobro da força.
  
  $P E = \frac{1}{2} k_{e q} x^{2} = \frac{1}{2} (75) (0.25)^{2} = 2.344 J = 2 \times \frac{1}{2} (150) (0.125)^{2}$
5. Reduzir a rigidez para metade não reduz o período para metade. A rigidez encontra-se sob uma raiz quadrada, pelo que o par demora √2 vezes mais tempo do que os 0,162 s que a mesma massa demoraria numa única mola.
  
  $T = 2 π \frac{m}{k _{e q}} = 2 π \frac{0.1}{75} = 0.229 s = 2 \times 0.162 s$
Resposta

A ferramenta indica k_eq = 75,0 N/m, uma força restauradora de 18,8 N, 2,344 J armazenados e um período de 0,229 s. Leia a regra da associação em série no sentido inverso e ela revela algo sobre uma mola individual: qualquer mola é constituída pelas suas próprias duas metades em série, pelo que cada metade tem de ser duas vezes mais rígida do que o todo. A rigidez é inversamente proporcional ao comprimento livre, e uma mola cortada ao meio não é uma mola mais fraca, mas sim mais rígida — o que é tanto a forma barata de enrijecer uma suspensão como a forma habitual de a arruinar. Também dá o passo 2 sem álgebra: ligar duas molas idênticas ponta a ponta nada mais é do que construir uma mola com o dobro do comprimento.

$\frac{1}{k _{e q}} = i \sum \frac{1}{k _{i}} ⟹ k \propto \frac{1}{L}$

Percurso de aprendizagem

De uma mola a uma onda estacionária

Conduz a Ressonância

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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