Lei de Hooke e Laboratório de Molas

Explore força, constante elástica, deslocamento, energia elástica armazenada e molas em série/paralelo em tempo real.

Exemplo resolvido — Lei de Hooke e Laboratório de Molas

Constante elástica k	10 N/m
Constante elástica k₁	10 N/m
Constante elástica k₂	10 N/m
Massa m	0.1 kg
Constante de amortecimento c	0.00 N·s/m
Deslocamento x	-0.45 m

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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De perto, todo poço estável parece uma mola 🖖

A lei de Hooke, F = -kx, descreve o comportamento elástico linear de materiais sob deformação. O sinal negativo representa a força restauradora, empurrando o sistema de volta ao seu estado de equilíbrio. Na escala atômica, a lei de Hooke é uma aproximação de primeira ordem do potencial de Lennard-Jones. Perto do fundo de qualquer poço de potencial estável, a curva de energia potencial é aproximadamente quadrática, U = 1/2 kx². Este estado de energia quadrática significa que qualquer pequena perturbação resultará em movimento harmônico simples, sendo a frequência independente da amplitude.

A rigidez e como as molas se combinam 🖖

A lei de Hooke diz apenas que uma mola reage com uma força diretamente proporcional a quanto você a estica ou comprime — a constante elástica k é simplesmente a sua rigidez, em newtons por metro. O modo de sistemas revela uma surpresa elegante: duas molas idênticas lado a lado (em paralelo) dobram a rigidez, mas essas mesmas duas ligadas ponta a ponta (em série) ficam com metade da rigidez. Encadear molas as torna mais macias, não mais fortes.

Hooke escondeu sua lei num anagrama 🖖

Em 1676, Robert Hooke ainda não queria revelar sua descoberta, então a publicou como um anagrama latino embaralhado: ceiiinosssttuv. Dois anos depois, ele o decifrou — ut tensio, sic vis, «tal a extensão, tal a força». Ele protegia sua prioridade enquanto trabalhava em relógios movidos a mola. Essa mesma lei linear vive hoje nas balanças de cozinha, nas suspensões dos carros e no clique de uma caneta retrátil.

LEI DE HOOKE — QUAL PERGUNTA, E COMO AS MOLAS ESTÃO MONTADAS?

Em que caso de mola você está?

Uma mola carrega um único número, sua rigidez k, e todo o resto decorre do que você pedir a ela. Puxe e a força é kx. Segure ali e a energia armazenada é ½kx², que cresce com o quadrado do alongamento e não no mesmo passo. Solte e esse mesmo k vira um relógio. E quando duas molas trabalham juntas, se somam as rigidezes ou as maciezas depende inteiramente de como estão ligadas.

Você quer a força — uma reta pela origem F = kx

Você quer a energia armazenada — uma parábola, então cresce com o quadrado E = ½kx²

Você solta — a mola vira um relógio ω₀ = √(k/m)

Duas molas lado a lado — as rigidezes se somam k_eq = k₁ + k₂

Duas molas em fila — o par é mais macio que qualquer uma delas 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂

Você quer a força — uma reta pela origem

O que você sabe: Uma mola e um deslocamento. F = kx: a força é proporcional a quanto a ponta se afastou do repouso, e puxa de volta para lá.

Relação: F = kx

Exemplo resolvido: k = 100 N/m esticada em x = 0,3 m → F = 100 × 0,3 = 30 N

Abrir este caso: Força vs. deslocamento

Você quer a força — uma reta pela origem. Força contra deslocamento é uma reta cuja inclinação é a rigidez. Uma mola e um deslocamento. F = kx: a força é proporcional a quanto a ponta se afastou do repouso, e puxa de volta para lá. — Força contra deslocamento é uma reta cuja inclinação é a rigidez.

Você quer a energia armazenada — uma parábola, então cresce com o quadrado

O que você sabe: O trabalho contra uma força que cresce linearmente é a área sob essa reta, que dá ½kx². O dobro do alongamento guarda quatro vezes a energia.

Relação: E = ½kx²

Exemplo resolvido: k = 150 N/m mantida em x = −0,4 m → E = ½ × 150 × 0,16 = 12 J; na metade desse deslocamento, apenas 3 J

Abrir este caso: Energia da mola

Você quer a energia armazenada — uma parábola, então cresce com o quadrado. A energia armazenada é a área sob a reta de força: uma parábola no deslocamento. O trabalho contra uma força que cresce linearmente é a área sob essa reta, que dá ½kx². O dobro do alongamento guarda quatro vezes a energia. — A energia armazenada é a área sob a reta de força: uma parábola no deslocamento.

Você solta — a mola vira um relógio

O que você sabe: Solta do repouso, a massa oscila em ω₀ = √(k/m), não importa a distância que você puxou. O amortecimento c só decide com que rapidez o vaivém morre.

Relação: ω₀ = √(k/m)

Exemplo resolvido: k = 120 N/m com m = 1,5 kg → ω₀ = 8,944 rad/s, então T = 0,702 s e f = 1,42 Hz. Com c = 0,3 a razão de amortecimento é ζ = 0,011 — quase nada amortecido.

Abrir este caso: Oscilação amortecida

Você solta — a mola vira um relógio. A massa oscila num ritmo fixado só por k e m; o amortecimento apenas encolhe a envoltória. Solta do repouso, a massa oscila em ω₀ = √(k/m), não importa a distância que você puxou. O amortecimento c só decide com que rapidez o vaivém morre. — A massa oscila num ritmo fixado só por k e m; o amortecimento apenas encolhe a envoltória.

Duas molas lado a lado — as rigidezes se somam

O que você sabe: As duas molas vencem o mesmo vão, então ambas esticam o mesmo x e cada uma entra com a própria força. O par se comporta como uma única mola de k₁ + k₂.

Relação: k_eq = k₁ + k₂

Exemplo resolvido: k₁ = 80 N/m e k₂ = 120 N/m em paralelo → the pair acts as 200 N/m, então esticar 0,25 m pede 50 N

Abrir este caso: Molas em paralelo

Duas molas lado a lado — as rigidezes se somam. As duas molas esticam igual, então em qualquer x suas forças se somam. As duas molas vencem o mesmo vão, então ambas esticam o mesmo x e cada uma entra com a própria força. O par se comporta como uma única mola de k₁ + k₂. — As duas molas esticam igual, então em qualquer x suas forças se somam.

Duas molas em fila — o par é mais macio que qualquer uma delas

O que você sabe: A mesma força atravessa as duas molas, então cada uma estica o seu tanto e os dois alongamentos se somam. O que se soma são os inversos das rigidezes.

Relação: 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂

Exemplo resolvido: Duas molas de 150 N/m em série → 150 × 150 / 300 = 75 N/m for the pair. Com 0,25 m no total, cada uma estica 0,125 m e a força é 18,75 N.

Abrir este caso: Molas em série

Duas molas em fila — o par é mais macio que qualquer uma delas. A mesma força passa pelas duas, então os alongamentos se somam e o par fica mais macio. A mesma força atravessa as duas molas, então cada uma estica o seu tanto e os dois alongamentos se somam. O que se soma são os inversos das rigidezes. — A mesma força passa pelas duas, então os alongamentos se somam e o par fica mais macio.

Referências (1)

Insight block 3 — the anagram, and the law it concealed: R. Hooke, Lectures de Potentia Restitutiva, or of Spring. London, 1678 — where "ceiiinosssttuv" is unscrambled to "ut tensio, sic vis".

Problema resolvido na íntegra

Duas molas de 150 N/m unidas pelas extremidades, esticadas 0,25 m no total 5 passos
Duas molas de 150 N/m ligadas ponta a ponta, esticadas 0,25 m no total. Determine a rigidez do par, a força com que puxa e a energia que armazena. Esta é a opção Múltiplas Molas na configuração Molas em Série, com k₁ = k₂ = 150 N/m e uma massa de 0,1 kg.

Abrir este problema na ferramenta
1. Comece pelo que as duas molas partilham. Uma mola esticada puxa com igual força em ambas as suas extremidades, pelo que a tensão que a primeira mola transmite à segunda é a mesma tensão que a parede sente. A força é comum a ambas as molas; o alongamento não.
  
  $F = k_{1} x_{1} = k_{2} x_{2}$
2. É o alongamento que se soma, porque a extensão total é a junção das duas extensões ponta a ponta. Dividindo pela força comum, são os inversos que se somam, e é essa soma dos inversos que faz com que o par resulte menos rígido do que qualquer uma das molas por si só.
  
  $x = x_{1} + x_{2} = \frac{F}{k _{1}} + \frac{F}{k _{2}} ⟹ \frac{1}{k _{e q}} = \frac{1}{150} + \frac{1}{150}, k_{e q} = 75 N/m$
3. O par comporta-se agora como uma única mola de 75 N/m para o alongamento indicado de 0,25 m. Cada mola fornece a força total enquanto realiza apenas metade do alongamento — o painel arredonda os 18,75 N para 18,8 N.
  
  $F = k_{e q} x = 75 \times 0.25 = 18.75 N, x_{1} = x_{2} = \frac{18.75}{150} = 0.125 m$
4. A energia é a área sob a linha força–alongamento, pelo que acompanha k_eq exatamente como a força. Dividida pelas duas molas, são duas partes iguais de 1,172 J. Uma mola de 150 N/m submetida ao mesmo alongamento de 0,25 m armazenaria 4,688 J, o dobro, porque atingir essa extensão exige o dobro da força.
  
  $P E = \frac{1}{2} k_{e q} x^{2} = \frac{1}{2} (75) (0.25)^{2} = 2.344 J = 2 \times \frac{1}{2} (150) (0.125)^{2}$
5. Reduzir a rigidez para metade não reduz o período para metade. A rigidez encontra-se sob uma raiz quadrada, pelo que o par demora √2 vezes mais tempo do que os 0,162 s que a mesma massa demoraria numa única mola.
  
  $T = 2 π \frac{m}{k _{e q}} = 2 π \frac{0.1}{75} = 0.229 s = 2 \times 0.162 s$
Resposta

A ferramenta indica k_eq = 75,0 N/m, uma força restauradora de 18,8 N, 2,344 J armazenados e um período de 0,229 s. Leia a regra da associação em série no sentido inverso e ela revela algo sobre uma mola individual: qualquer mola é constituída pelas suas próprias duas metades em série, pelo que cada metade tem de ser duas vezes mais rígida do que o todo. A rigidez é inversamente proporcional ao comprimento livre, e uma mola cortada ao meio não é uma mola mais fraca, mas sim mais rígida — o que é tanto a forma barata de enrijecer uma suspensão como a forma habitual de a arruinar. Também dá o passo 2 sem álgebra: ligar duas molas idênticas ponta a ponta nada mais é do que construir uma mola com o dobro do comprimento.

$\frac{1}{k _{e q}} = i \sum \frac{1}{k _{i}} ⟹ k \propto \frac{1}{L}$

Percurso de aprendizagem

De uma mola a uma onda estacionária

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.