Explorador de Ondas Estacionárias

Uma corda de 1 m, fixa em ambas as extremidades, a transmitir ondas a 343 m/s. Encontre a sua nota mais baixa — depois trabalhe em sentido inverso para determinar a tensão que produz essa velocidade de onda, e a altura que nenhuma corda de aço deste comprimento pode alcançar. Este é o modo Fixa-Fixa com L = 1 m, v = 343 m/s e n = 1.

1. Ambas as extremidades estão fixas, pelo que cada padrão que subsiste tem de apresentar ali um nó. Isso admite um número inteiro de meios comprimentos de onda e nada pelo meio, razão pela qual a corda tem uma lista de notas permitidas em vez de um intervalo contínuo.

   $$L=n\frac{{\lambda }_n}{2}⟹{\lambda }_n=\frac{2L}{n}=\frac{2\times 1}{1}=2.0000\mathrm{m}$$

2. A frequência é a velocidade a dividir pelo comprimento de onda, e nenhum dos fatores é um facto novo aqui. A condição de fronteira determinou o comprimento de onda e o meio fornece a velocidade.

   $$f_1=\frac{v}{{\lambda }_1}=\frac{343}{2.0000}=171.50\mathrm{Hz}$$

3. O período é o inverso da frequência, mas é também 2L/v — o tempo que um impulso demora a viajar até à extremidade oposta e a regressar. Uma onda estacionária é um percurso de ida e volta que regressa em fase consigo mesmo, pelo que o seu período é a duração dessa viagem.

   $$T=\frac{1}{f_1}=5.831\times 10^{-3}\mathrm{s}=\frac{2L}{v}=\frac{2}{343}$$

4. A velocidade da onda numa corda não é algo que se defina diretamente; resulta da tensão a dividir pela massa por unidade de comprimento. Para um fio de aço de 0,30 mm, a densidade linear decorre da massa volúmica e da secção transversal, e invertendo v = √(F_T/μ) obtém-se 65 N no fio — 6,7 quilogramas de tração, o que é a ordem de grandeza correta para uma corda lisa de guitarra em aço.

   $$\mu =\rho \frac{\pi d^2}{4}=7850\times \frac{\pi (3.0\times 10^{-4}{)}^2}{4}=5.549\times 10^{-4}kg/m,v=\sqrt{\frac{F_T}{\mu }}⟹F_T=\mu v^2=65.3\mathrm{N}$$

5. Divida agora essa tensão pela secção transversal para obter a tensão mecânica, e observe o diâmetro desaparecer. Tanto μ como A contêm d², pelo que, para uma dada velocidade de onda, a tensão mecânica é ρv² e depende apenas do material. O fio de aço com alto teor de carbono para instrumentos rompe perto de 2,2 × 10⁹ Pa, pelo que um limite para a tensão mecânica é, portanto, um limite para a velocidade.

   $$\sigma =\frac{F_T}{A}=\frac{\rho A{v}^2}{A}=\rho v^2=9.24\times 10^8\mathrm{Pa};{\sigma }_{\max }\approx 2.2\times 10^9⟹v_{\max }=\sqrt{\frac{{\sigma }_{\max }}{\rho }}=529m/s,f_{\max }=\frac{v_{\max }}{2L}=265\mathrm{Hz}$$