Laboratório de ressonância MHS

Ajuste massa, constante elástica, amortecimento e frequência de excitação para ver a ressonância, o atraso de fase e a amplificação de amplitude em tempo real.

Exemplo resolvido — Laboratório de ressonância MHS

Atraso de fase φ	1.5708 rad≈90.0∘

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Um só número fixa o quanto cresce e o quanto demora 🖖

As duas predefinições de excitação da ferramenta diferem apenas no ritmo: a massa, a mola, o amortecimento e a força de 1,2 são iguais. Só muda a frequência de excitação, de 4,00 para 2,2 rad/s. Esta alteração basta para fazer o fator de amplificação M passar de 6,667 para 1,424, ou seja, reduzir-se por um fator de 4,68. Na ressonância, M é exatamente 1/(2ζ); neste caso, um deslocamento estático de 0,0750 m dá origem a uma oscilação com amplitude de 0,5000 m. O mesmo 1/(2ζ) determina também o tempo de espera. A envolvente cresce com uma constante de tempo de 3,333 s, enquanto o período é de 1,571 s. Para atingir 95% da amplitude máxima são necessários cerca de 6,4 ciclos, um valor bastante próximo de 6,667. Uma ressonância que amplifique cem vezes precisa de aproximadamente cem ciclos para lá chegar. Por isso, para fazer vibrar uma taça de vinho, é necessário sustentar a nota certa, em vez de simplesmente gritar.

Ressonância é só uma questão de ritmo 🖖

No fundo, esta ferramenta trata de sincronia. Toda massa presa a uma mola tem uma frequência natural ω₀ na qual ela 'gosta' de oscilar. Empurre-a exatamente nesse ritmo — como impulsionar um balanço no momento certo — e cada pequeno empurrão acrescenta energia, de modo que a amplitude X cresce muito além do que uma força constante produziria. A magnificação M mede esse ganho, e só o amortecimento impede que ele dispare. Na ressonância, o movimento fica atrasado exatamente 90° em relação à força.

O pico fica abaixo da frequência natural 🖖

Ao traçar a curva de ressonância, você esperaria o ponto mais alto em ω = ω₀. Não é o caso: a amplitude do deslocamento atinge o máximo um pouco mais abaixo, em ω_r = ω₀√(1 − 2ζ²). Mais estranho ainda: quando a razão de amortecimento passa de ζ = 1/√2 ≈ 0,707 — muito antes do amortecimento crítico em ζ = 1 — esse pico desaparece por completo e a curva apenas desce. Um sistema pode estar pouco amortecido e ainda assim não ter pico de ressonância.

OSCILADORES — QUANTO AMORTECIMENTO E SE VOCÊ EXCITA NA FREQUÊNCIA DELE

Qual é o seu caso de oscilador?

Duas perguntas definem o comportamento de qualquer massa numa mola. Primeira: como o amortecimento c se compara ao valor crítico 2√(mk)? Abaixo dele o sistema oscila, exatamente nele volta ao repouso o mais rápido possível sem passar do ponto, acima dele volta se arrastando. Segunda: alguma coisa está empurrando? Um oscilador forçado tem a própria resposta, e ela depende de quão perto a frequência de excitação está de ω₀ = √(k/m).

Sem amortecimento — oscila para sempre c = 0, ω₀ = √(k/m)

Amortecimento crítico — volta ao repouso mais rápido, sem passar do ponto c = 2√(mk)

Superamortecido — sem oscilação, mas lento c > 2√(mk)

Excitado na ressonância — empurrão pequeno, amplitude grande ω = ω₀, A = F₀/(cω)

Excitado fora da ressonância — a mesma força faz muito menos ω ≠ ω₀

Sem amortecimento — oscila para sempre

O que você sabe: c = 0 e nada o excita. A energia apenas vai e volta entre a mola e a massa, e a amplitude nunca muda.

Amortecimento: c = 0, ω₀ = √(k/m)

Exemplo resolvido: m = 1 kg, k = 16 N/m → ω₀ = √(k/m) = 4 rad/s, período de 1,57 s e a mesma amplitude em cada vaivém

Abrir este caso: Livre não amortecido

Sem amortecimento — oscila para sempre. Sem amortecimento: uma senoide pura em ω₀, igual de um ciclo para o outro. c = 0 e nada o excita. A energia apenas vai e volta entre a mola e a massa, e a amplitude nunca muda. — Sem amortecimento: uma senoide pura em ω₀, igual de um ciclo para o outro.

Amortecimento crítico — volta ao repouso mais rápido, sem passar do ponto

O que você sabe: c vale exatamente 2√(mk). O sistema retorna ao equilíbrio no menor tempo possível e nunca o cruza.

Amortecimento: c = 2√(mk)

Exemplo resolvido: m = 1, k = 16 → c crítico = 2√16 = 8 N·s/m. Com c = 8 o deslocamento decai a zero sem uma única oscilação

Abrir este caso: Amortecimento crítico

Amortecimento crítico — volta ao repouso mais rápido, sem passar do ponto. Criticamente amortecido: o retorno mais curto que nunca cruza a linha. c vale exatamente 2√(mk). O sistema retorna ao equilíbrio no menor tempo possível e nunca o cruza. — Criticamente amortecido: o retorno mais curto que nunca cruza a linha.

Superamortecido — sem oscilação, mas lento

O que você sabe: c é maior que 2√(mk). As duas soluções decaem exponencialmente, e a mais lenta domina o retorno.

Amortecimento: c > 2√(mk)

Exemplo resolvido: Suba c acima de 8 com m = 1 e k = 16: em c = 20 o sistema leva várias vezes mais tempo para assentar do que levava em c = 8

Abra o caso crítico e suba c acima de 8

Superamortecido — sem oscilação, mas lento. Superamortecido: não cruza, mas o retorno se arrasta bem além do caso crítico. c é maior que 2√(mk). As duas soluções decaem exponencialmente, e a mais lenta domina o retorno. — Superamortecido: não cruza, mas o retorno se arrasta bem além do caso crítico.

Excitado na ressonância — empurrão pequeno, amplitude grande

O que você sabe: Uma força periódica em ω ≈ ω₀ com amortecimento leve. A amplitude em regime é fixada só pelo amortecimento, não pela rigidez.

Amortecimento: ω = ω₀, A = F₀/(cω)

Exemplo resolvido: F₀ = 1,2 N em ω = 4 rad/s com c = 0,6 → amplitude 0,50 m, contra uma deflexão estática F₀/k = 0,075 m: amplificação de 6,7

Abrir este caso: Próximo da ressonância

Excitado na ressonância — empurrão pequeno, amplitude grande. Em ω = ω₀ a resposta supera de longe a deflexão estática. Uma força periódica em ω ≈ ω₀ com amortecimento leve. A amplitude em regime é fixada só pelo amortecimento, não pela rigidez. — Em ω = ω₀ a resposta supera de longe a deflexão estática.

Excitado fora da ressonância — a mesma força faz muito menos

O que você sabe: A mesma força e o mesmo amortecimento, mas a frequência de excitação está longe de ω₀. A resposta cai bruscamente dos dois lados.

Amortecimento: ω ≠ ω₀

Exemplo resolvido: A mesma F₀ = 1,2 N em ω = 2,2 em vez de 4 → amplitude 0,107 m, cerca de um quinto da resposta ressonante

Abrir este caso: Fora da ressonância

Excitado fora da ressonância — a mesma força faz muito menos. Afaste a excitação de ω₀ e a mesma força produz uma fração do movimento. A mesma força e o mesmo amortecimento, mas a frequência de excitação está longe de ω₀. A resposta cai bruscamente dos dois lados. — Afaste a excitação de ω₀ e a mesma força produz uma fração do movimento.

Problemas resolvidos na íntegra

1 kg numa mola de 16 N/m forçada a 4 rad/s 5 passos
1 kg numa mola de 16 N/m com um amortecedor de 0,6 N·s/m, excitada por uma força de 1,2 N a 4 rad/s. Determine a amplitude em regime permanente e o atraso de fase — e depois diga qual das quatro entradas está realmente a determinar a resposta.
1. Duas das cinco entradas fixam a frequência que este sistema prefere. A excitação calha situar-se exatamente nessa frequência, pelo que a razão r é exatamente 1, e essa única coincidência é o que faz com que tudo o que se segue se comporte de forma invulgar.
  
  $ω_{0} = \frac{k}{m} = \frac{16}{1} = 4 rad/s; r = \frac{ω}{ω _{0}} = \frac{4}{4} = 1$
2. A razão de amortecimento mede c em relação ao valor crítico 2√(km) = 8 N·s/m. Com 0,6, o sistema opera a 7,5% do valor crítico: ligeiramente amortecido, livre para oscilar.
  
  $ζ = \frac{c}{2 k m} = \frac{0.6}{2 16} = \frac{0.6}{8} = 0.075$
3. A amplificação inclui dois termos sob a raiz — um termo de rigidez e um termo de amortecimento. Para r = 1, o termo de rigidez é exatamente zero, porque a força da mola e a força inercial anulam-se mutuamente por completo. Resta apenas o amortecedor para se opor à excitação.
  
  $M = \frac{1}{( 1 - r ^{2} ) ^{2} + ( 2 ζ r ) ^{2}} r = 1 \frac{1}{2 ζ} = \frac{1}{0.15} = 6.667$
4. Multiplique a deflexão estática F₀/k = 0,075 m por esse fator.
  
  $X = \frac{F _{0}}{k} M = \frac{1.2}{16} \times 6.667 = 0.075 \times 6.667 = 0.5 m$
5. O atraso de fase corresponde a esses mesmos dois termos lidos como um ângulo em vez de um comprimento. Com o termo de rigidez a zero, a arcotangente cai num quarto de volta, seja qual for o valor de ζ: um sistema fortemente amortecido e outro quase sem amortecimento apresentam exatamente 90° de atraso aqui.
  
  $ϕ = atan2 (2 ζ r, 1 - r^{2}) = atan2 (0.15, 0) = \frac{π}{2} = 1.5708 rad = 90. 0^{\circ}$
Resposta

X = 0,5 m, um quarto de ciclo atrás da força, e a entrada que determina toda a resposta é c. Reescreva a amplitude na ressonância e tanto k como m anulam-se: X = F₀/(cω₀) = 1,2/(0,6 × 4) = 0,5 m. A mola e a massa estão ocupadas a trocar energia entre si, e nenhuma delas tem qualquer influência na amplitude da oscilação. O atraso de 90° explica a razão. Uma força em fase com a velocidade fornece potência continuamente, pelo que o regime permanente se estabelece onde o amortecedor dissipa energia exatamente à mesma taxa que a excitação a fornece: potência média de entrada F₀ωX/2 = 1,2 W contra dissipação média cω²X²/2 = 1,2 W, e essas duas só são iguais em X = 0,5 m e em mais lado nenhum. Calcule o mesmo balanço por ciclo e 6,667 reaparece a partir de uma definição não relacionada — o sistema armazena kX²/2 = 2 J e perde 1,885 J em cada período, e 2π × 2/1,885 = 6,667. A amplificação e o fator de qualidade são o mesmo número sob dois nomes.

$X = \frac{F _{0}}{k} \cdot \frac{1}{2 ζ} = \frac{F _{0}}{c ω _{0}} = \frac{1.2}{0.6 \times 4} = 0.5 m$
Mesma massa e mesma mola forçadas a 2,2 rad/s em vez de 4 5 passos
Mesma massa, mesma mola, mesmo amortecedor, mesma força de 1,2 N — excitada a 2,2 rad/s em vez de 4. Determine a amplitude e o atraso de fase, e depois decida se o amortecedor ainda tem importância.
1. Apenas a frequência de excitação mudou, pelo que ζ permanece inalterado e r desce para 0,55.
  
  $r = \frac{ω}{ω _{0}} = \frac{2.2}{4} = 0.55, ζ = \frac{0.6}{8} = 0.075$
2. Escreva os dois termos sob a raiz separadamente, porque a dimensão relativa de ambos é a resposta à questão. O termo de amortecimento contribui com 0,00681 contra 0,48651 — 1,4% do total.
  
  $(1 - r^{2})^{2} = (1 - 0.3025)^{2} = 0.697 5^{2} = 0.48651; (2 ζ r)^{2} = 0.082 5^{2} = 0.00681$
3. Some-os e inverta.
  
  $M = \frac{1}{0.48651 + 0.00681} = \frac{1}{0.49331} = \frac{1}{0.70236} = 1.424$
4. Mesma deflexão estática, amplificação muito menor.
  
  $X = \frac{F _{0}}{k} M = 0.075 \times 1.424 = 0.1068 m$
5. O atraso segue os mesmos dois termos e, com o termo de rigidez novamente no comando, colapsa de 90° para 6,7°: a massa move-se agora quase em fase com a força, em vez de estar um quarto de ciclo atrás dela.
  
  $ϕ = atan2 (0.0825, 0.6975) = 0.1177 rad = 6. 7^{\circ}$
Resposta

0,1068 m, 6,7° atrás da força — e não, o amortecedor deixou de ter importância. Elimine-o: defina c = 0 e M torna-se 1/(1 - r²) = 1,4337, dando 0,1075 m. Isso representa 0,7 mm de erro numa amplitude de 107 mm, ou 0,7%. A grandeza que determinava toda a resposta a 4 rad/s é um erro de arredondamento a 2,2 — e para r = 1 a mesma eliminação teria enviado a amplitude para o infinito. Em seu lugar, quem domina é o termo de rigidez, e vale a pena ser preciso sobre o que isso significa: a deflexão estática F₀/k = 0,075 m fica 30% aquém daquilo que a massa realmente oscila. Excitar lentamente não é o mesmo que excitar estaticamente. Para 1/(1 - r²) ficar a menos de 5% de 1, necessita de r abaixo de 0,22, o que nesta mola significa manter a excitação abaixo de 0,873 rad/s — e apenas aí a mola por si só determina a resposta.

$M (c = 0) = \frac{1}{1 - r ^{2}} = \frac{1}{0.6975} = 1.4337 (+ 0.7%); r = 1 : M (c = 0) \to \infty$

Percurso de aprendizagem

De uma mola a uma onda estacionária

Conduz a Interferência o efeito que estas duas grandezas exercem num relógio.

Referências (2)

The textbook example of resonance that is not resonance: K. Y. Billah and R. H. Scanlan, "Resonance, Tacoma Narrows bridge failure, and undergraduate physics textbooks." American Journal of Physics 59(2), 118–124, 1991 — the bridge failed by aeroelastic flutter, a self-excited instability, not by a periodic gust matching a natural frequency.
The driven oscillator, its phase lag and its Q, worked through: A. P. French, Vibrations and Waves, Chapter 4: Forced vibrations and resonance. W. W. Norton, 1971.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-29

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

Livre não amortecido - Não há qualquer amortecimento: ζ = 0, e a oscilação em ω₀ = 4 rad/s nunca se extingue. O período é de 1,571 s, com a energia a passar indefinidamente da mola para a massa e vice-versa.
Amortecimento crítico - c = 8 é exatamente 2√(km), pelo que ζ = 1: amortecimento crítico. O sistema regressa ao repouso no menor tempo possível sem ultrapassar a posição de equilíbrio, com uma constante de tempo de 0,250 s.
Próximo da ressonância - O sistema é excitado exatamente em ω₀ = 4 rad/s, com ζ = 0,075. Assim, M = 6,667, isto é, 1/(2ζ). Um deslocamento estático de 0,0750 m produz então uma oscilação com amplitude de 0,5000 m, atrasada 90° em relação à força.
Fora da ressonância - O mesmo sistema é excitado a 2,2 rad/s em vez de 4: M desce de 6,667 para 1,424, e o atraso de fase passa de 90° para 6,7°. Mudou apenas o ritmo.