Calculadora de números complexos

Realize operações com números complexos e veja os resultados no plano de Argand.

Exemplo resolvido — Calculadora de números complexos

z2	1+2i
Resultado	4+4i

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Multiplicar pelo conjugado atira a parte imaginária fora de propósito 🖖

A predefinição conjugate multiplica 3 + 2i por 3 − 2i e a resposta é 13 — sem parte imaginária nenhuma. Não é um par especial: (a + bi)(a − bi) colapsa sempre para a² + b², porque os termos cruzados são +abi e −abi. E 13 é exatamente 3² + 2², ou seja |z|², o quadrado da distância à origem que a ferramenta desenha no plano. É este o mecanismo inteiro da divisão complexa: multiplica-se cima e baixo pelo conjugado e o denominador torna-se real.

Um ponto, dois endereços 🖖

Um número complexo é apenas um ponto no plano. A forma retangular a + bi o identifica por coordenadas — tanto para a direita, tanto para cima —, enquanto a forma polar r∠θ o identifica por distância e direção a partir da origem. O mesmo ponto, dois rótulos; ative a forma polar para ver as duas ao mesmo tempo. Regra prática: use a forma retangular para somar e a polar para multiplicar ou elevar a uma potência.

Imaginários nascidos para achar respostas reais 🖖

Os números complexos não foram inventados para resolver x² + 1 = 0 — ninguém perdia o sono com isso. Foram impostos pelas equações cúbicas. A fórmula de Cardano de 1545 para x³ = px + q às vezes passa por raízes quadradas de números negativos, mesmo quando as três soluções são números reais comuns. Em 1572, Bombelli mostrou que essas quantidades "impossíveis" se cancelam e dão as respostas reais corretas. O imaginário foi um desvio até o real.

Multiplicar por i é um quarto de volta 🖖

A multiplicação soma os argumentos e multiplica os módulos. Multiplicar por i — que está em |z| = 1, arg = 90° — é portanto um quarto de volta e nada mais. Coloque 3 + 2i em z₁ e i em z₂ e a resposta é −2 + 3i; escreva −2 e 3 de volta em z₁ e o painel indica arg(z₁) = 123.7° contra os 33.7° anteriores, com |z₁| = 3.606 nos dois casos. Rodado, não esticado. A predefinição De Moivre n=4 é a mesma regra quatro vezes: 45° à quarta cai em −1 + 0i, ou seja 180°. O painel mostra |z₁| e arg(z₁) apenas para z₁, pelo que ver os ângulos somarem-se obriga a repor a resposta na primeira caixa.

Problema resolvido na íntegra

Multiplicar 3 + 2i pelo seu conjugado para provar um produto 5 passos
Multiplique 3 + 2i pelo seu conjugado e, em seguida, transforme o resultado numa demonstração de que o produto de duas somas de dois quadrados é também uma soma de dois quadrados. Trata-se de Multiplicar com z₁ = 3 + 2i e z₂ = 3 − 2i.
1. Os dois termos cruzados são iguais e opostos, pelo que se anulam. O que resta é o −b²i², que muda de sinal e passa a somar em vez de subtrair — assim, o produto de um par conjugado resulta sempre num número real, e esse número é obtido elevando ao quadrado.
  
  $(a + bi) (a - bi) = a^{2} - b^{2} i^{2} = a^{2} + b^{2} ⟹ (3 + 2 i) (3 - 2 i) = 9 + 4 = 13$
2. Esse número real já tem um nome. O módulo é a distância à origem, pelo que |z|² é a² + b² por Pitágoras, e o valor de 3,606 do painel é √13 arredondado por excesso na terceira casa decimal.
  
  $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2} = 13 = 3.605551, z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2} = 13$
3. Vejamos agora o produto geral de dois números complexos, onde i² = −1 envia um termo para junto da parte real. Ainda não surgem módulos aqui.
  
  $(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$
4. Aplique o passo 1 a esse produto. Um segundo par de termos cruzados, −2abcd e +2abcd, anula-se no desenvolvimento, e os quatro termos que sobrevivem fatorizam-se em dois parêntesis. Qualquer letra pode ser um número inteiro, se assim o desejar, e nada na última linha menciona i.
  
  $(a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2} = a^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} = (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$
5. Assim, um par de pares de inteiros produz um terceiro. 3 + 2i conduz a 13 e 1 + 2i conduz a 5; o seu produto conduz a 65. Conjugando o segundo fator, este é refletido através do eixo real e fornece um par diferente com a mesma soma.
  
  $(3 + 2 i) (1 + 2 i) = - 1 + 8 i : 1^{2} + 8^{2} = 65 = 13 \times 5; (3 + 2 i) (1 - 2 i) = 7 - 4 i : 7^{2} + 4^{2} = 65$
Resposta

O painel apresenta o produto pelo conjugado como 13 e o módulo como 3,606, e 3,606² = 13,003 resulta do arredondamento e não de uma discrepância. O que vale a pena reter é que a identidade subsiste mesmo apagando os números complexos: (a² + b²)(c² + d²) = (ac − bd)² + (ad + bc)² é uma afirmação sobre quatro números inteiros sem qualquer i restante. Diofanto registou este mesmo número no século III — 65 decompõe-se em 1 + 64 e em 16 + 49, notou ele, por ser 13 × 5 e cada fator ser, por sua vez, uma soma de dois quadrados — cerca de treze séculos antes de Cardano ter escrito pela primeira vez a raiz quadrada de um número negativo. Dois fatores primos, duas representações: o 13 sozinho tem apenas 9 + 4, e o 5 sozinho tem apenas 1 + 4. A multiplicação complexa é a máquina que fabrica a segunda representação, e o conjugado é a alavanca que alterna entre elas.

$(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2}$

Percurso de aprendizagem

Para além da quadrática

Conduz a Divisão de polinómios

Referências (1)

Insight block 3 — the cubic that made imaginary numbers unavoidable: G. Cardano, Artis Magnae, sive de Regulis Algebraicis. Nuremberg, 1545, chapter XXXVII. R. Bombelli, L'Algebra, Book I. Bologna, 1572 — where the "impossible" quantities are shown to cancel and leave the real roots.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

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Problemas de exemplo

Multiplicar por i - O complexo z₁ = 1 tem módulo 1 e argumento 0°, e a sua multiplicação por i resulta em 0+1i. Não ocorreu qualquer dilatação. O módulo continua a ser 1 e o argumento rodou um quarto de volta. É estritamente este o efeito que i tem sobre um número. É também esta a razão pela qual i² = −1, o que corresponde a dois quartos de volta.
De Moivre n=4 - O valor de arg(z₁) é 45° e |z₁| indica 1, pelo que a quarta potência recai em −1+0i. A potenciação multiplica o argumento e mantém o módulo unitário inalterado. Atenção, contudo, aos arredondamentos. Como 0,707 é uma aproximação com duas casas decimais para 1/√2, o módulo é na verdade ligeiramente inferior a 1, mas o mostrador suprimiu essa pequena diferença.
4as raízes - As quatro raízes quartas de 1 surgem como 1+0i, 0+1i, −1+0i e 0−1i: os vértices de um quadrado na circunferência unitária. A sua soma é 0. Esta propriedade mantém-se válida para as raízes n-ésimas da unidade em qualquer n superior a 1, uma vez que formam os vértices de um polígono regular centrado na origem.
Par conjugado - |z₁| indica 3,606 e (3+2i)(3−2i) resulta em 13+0i. Trata-se apenas do módulo ao quadrado, 3² + 2², com a parte imaginária eliminada. O produto de um par conjugado é sempre um número real. Este é o grande truque da divisão por um número complexo: ao multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado, o denominador passa a ser real.