Expandir e Fatorizar

Altere os parêntesis e observe o retângulo. As quatro partes representam os quatro termos. Alternar para a fatorização levanta a mesma questão a partir da perspetiva oposta.

Exemplo resolvido — Expandir e Fatorizar

Discriminante	1 (um quadrado perfeito)

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

As quatro letras de FOIL são quatro retângulos 🖖

Coloque um retângulo com lados x + 2 e x + 3 junto à expansão. Este divide-se em quatro partes porque cada lado se divide em dois: x², duas faixas de 3x e 2x, e um 6 no canto. Estas quatro áreas formam os quatro termos. O seu total corresponde à área total, que é o verdadeiro significado de expandir uma expressão. A ordem pela qual as visita é irrelevante. É por essa razão que qualquer regra de memorização funciona e por que motivo nenhuma é necessária. Arraste um coeficiente para um valor negativo e uma das faixas move-se para fora do bloco, ficando tracejada. Uma área negativa traduz-se numa subtração e a representação visual continua a funcionar na perfeição, o que é muito mais do que se pode dizer de uma mnemónica.

A fatorização utiliza a mesma imagem, e é por isso que se torna mais difícil 🖖

Mude para Fatorizar e a pergunta inverte-se: dada a área, quais eram os lados? Não há aqui nada de novo. O desenvolvimento é um cálculo; a fatorização é uma procura. Conhecemos o total das quatro parcelas e temos de encontrar uma disposição que forme um retângulo. Por causa desta assimetria, um sentido ensina-se como procedimento e o outro como uma destreza. É também por isso que multiplicar dois números primos é fácil, enquanto decompor o produto em fatores está na base do RSA.

Um simples teste revela se vale a pena iniciar a procura 🖖

Antes de procurar fatores, calcule b² − 4ac. Se o resultado for um quadrado perfeito, o trinómio fatora-se nos inteiros. Caso contrário, não existe nenhuma disposição possível, por mais tentativas que se façam. Carregue em Um que não se fatora: x² + x + 1 tem discriminante −3, portanto o retângulo simplesmente não existe. É o mesmo discriminante que determina quantas raízes tem uma equação do segundo grau, e não por acaso: os lados do retângulo são as raízes sob outra forma, e procurar lados inteiros equivale a procurar raízes racionais. Ao percorrer todos os trinómios com a entre 1 e 8 e b, c entre −12 e 12, encontram-se 733 com discriminante quadrado perfeito; todos os 733 se fatoram.

Problemas resolvidos na íntegra

Fatorizar 6x² + 5x − 4 para dizer se funciona 7 passos
Fatorize 6x² + 5x − 4 e justifique antecipadamente se o processo seria possível.
1. Calcule primeiro o discriminante. Custa apenas uma linha de trabalho e decide de imediato se há algo para descobrir.
  
  $b^{2} - 4 a c = 5^{2} - 4 (6) (- 4) = 25 + 96 = 121$
2. Cento e vinte e um é 11², logo existe uma fatorização nos números inteiros. Agora sim, a pesquisa vale a pena.
  
  $121 = 1 1^{2}$
3. As raízes derivam desse mesmo valor. Como o discriminante é um quadrado perfeito, elas serão racionais.
  
  $x = \frac{- 5 \pm 11}{12} = \frac{1}{2}, - \frac{4}{3}$
4. Uma raiz de 1/2 traduz-se num fator de (2x − 1); uma raiz de −4/3 traduz-se num fator de (3x + 4). Eliminar cada denominador é precisamente o que transforma uma raiz num parêntesis.
  
  $(2 x - 1) (3 x + 4)$
5. Verifique sempre através da multiplicação. As duas faixas centrais são 8x e −3x, que se combinam para dar os 5x pedidos.
  
  $6 x^{2} + 8 x - 3 x - 4 = 6 x^{2} + 5 x - 4 ✓$
6. Agora substitua o termo constante por −5 e repita o primeiro passo. O discriminante passa a ser 25 + 120 = 145, que não é um quadrado perfeito. Logo, não há nenhum retângulo com lados inteiros nem vale a pena procurá-lo.
  
  $5^{2} - 4 (6) (- 5) = 25 + 120 = 145 \neq = k^{2}$
7. É aqui que a ferramenta para e surge uma distinção importante. O trinómio 6x² + 5x − 5 é perfeitamente fatorizável nos números reais, em parêntesis que contêm √145. A frase "não fatora" significa apenas "não fatora com os números que combinámos usar", uma condição que raramente é dita em voz alta.
  
  $6 x^{2} + 5 x - 5 = 6 (x - \frac{- 5 + 145}{12}) (x - \frac{- 5 - 145}{12})$
Resposta

(2x − 1)(3x + 4). O discriminante de 121 = 11² ditou este sucesso antes de qualquer procura. Se alterar o −4 para um −5, o discriminante passa a 145. Como deixa de ser um quadrado perfeito, o trinómio deixa de ser fatorizável nos inteiros, embora continue a sê-lo perfeitamente nos reais.
A diferença de dois quadrados, e o número 8.051 7 passos
Desenvolva (x − 5)(x + 5) e diga por que razão o termo do meio desaparece. Multiplique depois 95 × 105 de cabeça e decida se a mesma figura consegue decompor um número simples.
1. As quatro peças do retângulo, por ordem de leitura: o canto que traz x², as duas faixas e o canto do termo constante.
  
  $x \cdot x + x \cdot 5 + (- 5) \cdot x + (- 5) \cdot 5$
2. As duas faixas são 5x e −5x. Anulam-se, e o trinómio que o painel apresenta fica sem termo do meio.
  
  $= x^{2} + 5 x - 5 x - 25 = x^{2} + 0 x - 25$
3. O cartão do discriminante indica 100, um quadrado perfeito, pelo que existem parênteses com números inteiros lá dentro. Aqui já sabemos que existem, porque fomos nós a construí-los.
  
  $b^{2} - 4 a c = 0^{2} - 4 (1) (- 25) = 100 = 1 0^{2}$
4. O cancelamento não foi sorte. Dê sinais opostos às duas constantes e as faixas passam a ser o mesmo retângulo contado duas vezes, uma somado e outra subtraído, sejam quais forem os números escolhidos.
  
  $(x + q) (x - q) = x^{2} + q x - q x - q^{2} = x^{2} - q^{2}$
5. Nada nesse argumento exige que x seja uma letra. Ponha lá 100 e uma multiplicação transforma-se numa subtração.
  
  $95 \times 105 = (100 - 5) (100 + 5) = 10 0^{2} - 5^{2} = 10, 000 - 25 = 9, 975$
6. Quaisquer dois números se podem escrever como um ponto médio e um afastamento para cada lado, pelo que isto funciona com qualquer par cuja média seja fácil.
  
  $47 \times 53 = (50 - 3) (50 + 3) = 2, 500 - 9 = 2, 491$
7. Lido ao contrário, faz o trabalho mais difícil. Para fatorizar 8.051, procure um quadrado que o exceda noutro quadrado: 90² é o primeiro a consegui-lo, e os dois parênteses são os fatores. É o método de fatorização de Fermat, e é rápido precisamente quando os dois fatores estão próximos um do outro, como acontece com 83 e 97.
  
  $9 0^{2} - 8, 051 = 8, 100 - 8, 051 = 49 = 7^{2} ⟹ 8, 051 = 83 \times 97$
Resposta

x² − 25, e 95 × 105 = 9.975. O termo do meio desaparece porque as duas faixas são iguais e opostas, o que deixa q² como a única coisa de pé. Percorra a identidade ao contrário e ela fatoriza números em vez de expressões: 8.051 = 90² − 7² = 83 × 97.

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) ⟺ N = m^{2} - d^{2} = (m - d) (m + d)$

Percurso de aprendizagem

Para além da quadrática

Conduz a Resolução de quadráticas a forma de produto.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-09-03

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

Todas as lições de Matemática →

Problemas de exemplo

(x + 2)(x + 3) - Quatro partes: x², 3x, 2x e 6. As duas faixas centrais são o que se transforma em 5x. Vê-las como retângulos separados explica por que motivo o termo do meio é uma soma e não um mistério.
Um mais difícil - (2x − 1)(3x + 4) tem um lado negativo, por isso uma faixa é desenhada fora do bloco com um padrão tracejado. A sua área é −3x. Nesta representação visual, uma área negativa é exatamente uma subtração.
Diferença de quadrados - (x − 5)(x + 5) resulta em 5x e −5x, que se anulam. O retângulo apresenta duas faixas de igual dimensão e sinais opostos. Isto resume a essência da diferença de dois quadrados.
Não fatorizável - x² + x + 1 tem discriminante −3. Nenhum retângulo de lados inteiros possui essa área, e nenhuma tentativa o encontrará: o discriminante já o indicava antes de começar a procura.