Solucionador de Equação Quadrática

raízes reais e complexas, passo a passo

Exemplo resolvido — Solucionador de Equação Quadrática

duas raízes reais distintas	2
Início	1x²−5x+6
Agrupar os termos em x	1(x²−5x)+6
Completar o quadrado	1[(x−2.5)²−6.25]+6
Forma canônica	1(x−2.5)²−0.25
Vértice	(2.5,−0.25)

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Um sinal sob a raiz decide tudo 🖖

A fórmula quadrática é mais do que um truque algébrico — é um mapa de simetria. Na forma padrão, x = -b/(2a) representa o eixo de simetria, a espinha dorsal da parábola. O termo sob a raiz quadrada, b² - 4ac, é o discriminante Δ. O seu sinal diz em que lado do eixo dos x se situa o vértice, e a divisão por 4a indica a sua distância. Quando Δ > 0, a parábola cruza o eixo em dois pontos distintos, simétricos em relação ao vértice. Quando Δ = 0, o vértice assenta exatamente sobre o eixo, originando uma raiz dupla. E quando Δ < 0, a curva flutua acima ou abaixo do eixo. As suas raízes viajam para o plano complexo sob a forma de um par conjugado. Na matemática moderna, esta fórmula elementar sustenta a teoria de corpos. A resolução de equações do segundo grau exige a expansão dos números racionais para incluir radicais, mostrando como a geometria e a álgebra estão profundamente unificadas.

Um atalho para conferir as raízes 🖖

Muito antes de a fórmula existir, os matemáticos notaram um padrão escondido nos coeficientes. Para qualquer ax² + bx + c = 0, as duas raízes sempre somam -b/a e se multiplicam para dar c/a — são as relações de Girard. Assim, em x² - 5x + 6, as raízes precisam somar 5 e multiplicar 6, ou seja, 2 e 3. É a maneira mais rápida de checar a resposta sem substituir nada.

Quando a fórmula famosa falha em silêncio 🖖

A fórmula dos manuais escolares pode atraiçoar-nos num computador. Quando b² é muito superior a 4ac, a raiz quadrada é quase igual a |b|. Isso obriga uma das duas raízes a subtrair dois números quase idênticos (-b + √Δ quando b é positivo, e -b − √Δ quando b é negativo), dizimando a maioria dos algarismos significativos num efeito conhecido como cancelamento catastrófico. As bibliotecas numéricas contornam o problema ao calcular primeiro uma das raízes. A segunda é obtida depois através de c/(a·x₁). A álgebra secular e a moderna aritmética de ponto flutuante entram num silencioso desacordo.

TEORIA DA EQUAÇÃO QUADRÁTICA — LER ax² + bx + c ANTES DE RESOLVER

O discriminante: quantas raízes e para que lado abre?

Dois números definem o formato da resposta antes de você tocar na fórmula. O discriminante Δ = b² − 4ac diz quantas raízes reais existem, e o sinal de a diz para que lado a parábola abre e se o vértice é um ponto mínimo ou máximo.

Δ > 0 — duas raízes reais distintas Δ = b² − 4ac > 0

Δ = 0 — uma raiz real dupla Δ = 0

Δ < 0 — duas raízes complexas conjugadas Δ < 0

a < 0 — a parábola abre para baixo a < 0

Δ > 0 — duas raízes reais distintas

O que você sabe: O discriminante b² − 4ac dá positivo. A parábola cruza o eixo x em dois pontos separados.

Raízes: Δ = b² − 4ac > 0

Exemplo resolvido: x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 → x = 2 e x = 3

Abrir este caso: duas raízes

Δ > 0 — duas raízes reais distintas. Δ > 0: a curva corta o eixo duas vezes, simetricamente em torno do vértice. O discriminante b² − 4ac dá positivo. A parábola cruza o eixo x em dois pontos separados. — Δ > 0: a curva corta o eixo duas vezes, simetricamente em torno do vértice.

Δ = 0 — uma raiz real dupla

O que você sabe: O discriminante é exatamente zero. A parábola toca o eixo x num único ponto em vez de atravessá-lo.

Raízes: Δ = 0

Exemplo resolvido: x² − 4x + 4 = 0 → Δ = 16 − 16 = 0 → x = 2, contada duas vezes

Abrir este caso: raiz dupla

Δ = 0 — uma raiz real dupla. Δ = 0: o vértice fica exatamente sobre o eixo — tangência, não travessia. O discriminante é exatamente zero. A parábola toca o eixo x num único ponto em vez de atravessá-lo. — Δ = 0: o vértice fica exatamente sobre o eixo — tangência, não travessia.

Δ < 0 — duas raízes complexas conjugadas

O que você sabe: O discriminante é negativo. A parábola nunca alcança o eixo x, então não há solução real.

Raízes: Δ < 0

Exemplo resolvido: x² + 2x + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → x = −1 ± 2i

Abrir este caso: raízes complexas

Δ < 0 — duas raízes complexas conjugadas. Δ < 0: a curva inteira fica de um só lado do eixo. O discriminante é negativo. A parábola nunca alcança o eixo x, então não há solução real. — Δ < 0: a curva inteira fica de um só lado do eixo.

a < 0 — a parábola abre para baixo

O que você sabe: O coeficiente principal a é negativo. Isso independe do discriminante: vira a curva e transforma o vértice num máximo.

Raízes: a < 0

Exemplo resolvido: −x² + 4 = 0 → Δ = 0 + 16 = 16 > 0 → x = ±2, com máximo em (0, 4)

Abrir este caso: abre para baixo

a < 0 — a parábola abre para baixo. a < 0: os braços apontam para baixo e o vértice é o máximo. O coeficiente principal a é negativo. Isso independe do discriminante: vira a curva e transforma o vértice num máximo. — a < 0: os braços apontam para baixo e o vértice é o máximo.

Referências (1)

Insight block 3 — catastrophic cancellation, and the reformulation that avoids it: D. Goldberg, "What every computer scientist should know about floating-point arithmetic." ACM Computing Surveys 23(1), 5–48, 1991 — the quadratic formula is its worked example.

Problema resolvido na íntegra

Resolução de x² − 5x + 6 = 0 por completamento do quadrado 5 passos
Resolva x² − 5x + 6 = 0 completando o quadrado. Depois responda a algo que a fórmula resolvente não lhe dirá: o discriminante conta as raízes, mas o que mede o seu tamanho?
1. Completar o quadrado não é um truque para resolver equações do segundo grau — é a demonstração de que a fórmula resolvente é verdadeira, aplicada a uma equação específica. Divida o coeficiente de x por dois, eleve-o ao quadrado, some e subtraia. O 6,25 que surge é o preço de forçar os dois primeiros termos a formar um quadrado perfeito, e tem de ser compensado na mesma linha.
  
  $x^{2} - 5 x + 6 = (x - \frac{5}{2})^{2} - \frac{25}{4} + 6 = (x - 2.5)^{2} - 0.25$
2. A forma canónica coloca a variável exatamente num único lugar, pelo que pode ser desfeita diretamente: isole o quadrado, tome ambas as raízes, some 2,5. Nenhuma fórmula foi necessária e nenhuma foi memorizada.
  
  $(x - 2.5)^{2} = 0.25 ⟹ x - 2.5 = \pm 0.5 ⟹ x = 2 or x = 3$
3. Agora o discriminante. Aqui Δ = 1, e como é positivo, existem duas raízes reais. Essa é a parte que todos os manuais escolares mencionam.
  
  $Δ = b^{2} - 4 a c = 25 - 24 = 1$
4. Aparece mais duas vezes, e nenhuma delas costuma ser dita em voz alta. A distância entre as raízes é √Δ/|a|, porque o ± na fórmula contribui com ±√Δ/2a para cada uma. E o vértice situa-se Δ/4a abaixo do eixo — o −0,25 no painel acima não é um resultado independente, é novamente o discriminante, dividido por quatro.
  
  $x_{2} - x_{1} = \frac{Δ}{∣ a ∣} = 1, y_{V} = - \frac{Δ}{4 a} = - 0.25$
5. As relações de Viète fecham o ciclo. Desenvolva a(x − x₁)(x − x₂), compare termo a termo com ax² + bx + c, e a soma e o produto das raízes surgem diretamente sem ter de resolver nada.
  
  $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = 5, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = 6$
Resposta

As raízes são x = 2 e x = 3, e a ferramenta apresenta o vértice em (2,5; −0,25) a partir do mesmo completamento do quadrado. A grande vantagem é que um único número rege três factos distintos. Δ = 1 torna as raízes reais, coloca-as a exatamente 1 de distância e faz descer o vértice exatamente 0,25 abaixo do eixo. Aumente c em direção a 6,25 e observe os três a mudarem em conjunto: as raízes aproximam-se, a distância fecha-se como √Δ e a parábola sobe até tocar no eixo em Δ = 0. Nunca foram três coincidências — são uma única quantidade vista de três perspetivas.

$x = 2, 3 Δ = 1 : separation Δ = 1, depth \frac{Δ}{4 a} = 0.25$

Percurso de aprendizagem

Para além da quadrática

Conduz a complex-numbers as raízes quando a fatorização não as consegue encontrar, e o discriminante como o elemento de decisão.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-26

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

duas raízes - x²-5x+6=0 → raízes x=2 e x=3
raiz dupla - x²-4x+4=0 → raiz dupla x=2, discriminante=0
raízes complexas - x²+2x+5=0 → raízes complexas x=-1±2i
abre para baixo - -x²+4=0 → x=±2, parábola com concavidade para baixo