Lições Interativas de Matemática e Ciências

Treinador de divisão de polinômios

Insira os coeficientes começando pelo maior grau, separados por vírgulas.

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Dividir por x − r não precisa de x nenhum 🖖

Quando o divisor é x − r, todo o arranjo da divisão longa se reduz a uma única linha de aritmética sobre os coeficientes: desça um, multiplique por r, some, repita. Essa é a divisão sintética, e é o mesmo procedimento do método de Horner para avaliar um polinômio — por isso o último número que você escreve é ao mesmo tempo o resto e o valor do polinômio em r. A eficiência é real, não cosmética: um polinômio de grau 10 exige assim 10 multiplicações contra 19 se você calcular cada potência separadamente. É assim que bibliotecas numéricas realmente avaliam polinômios, porque menos operações também significa menos erro de arredondamento acumulado.

O resto é um valor oculto 🖖

A divisão de polinômios funciona igual à divisão longa de números inteiros que você já conhece: tira-se um termo de cada vez e subtrai-se. O interessante aparece ao dividir por um fator simples como (x - c): o resto que sobra é exatamente p(c), o polinômio avaliado em c. Assim, um resto igual a zero significa que c é uma raiz, e você descobre isso sem substituir o número.

Seus arquivos são verificados por isto 🖖

Cada soma de verificação CRC — o controle de erros de um arquivo salvo, de um ZIP ou de um pacote Ethernet — é uma divisão de polinômios disfarçada. Os bits de dados viram coeficientes de um polinômio gigante sobre o corpo GF(2), onde se calcula módulo 2 e a soma é apenas um XOR. Esse polinômio é dividido por um polinômio gerador fixo, e o resto é a soma de verificação. O mesmo algoritmo que este treinador percorre à mão roda bilhões de vezes por segundo no hardware de rede.

Problema resolvido na íntegra

  1. Divisão de 2x³ − 3x² + 4x − 5 por x − 2 5 passos

    Dividir 2x³ − 3x² + 4x − 5 por x − 2 deixa um resto de 7. Chegue a esse resultado por divisão sintética e, em seguida, obtenha o mesmo 7 sem efetuar qualquer divisão.

    1. A divisão sintética é a divisão longa sem o registo das variáveis. Apenas os coeficientes importam, e dividir por x − r significa que o multiplicador é r.

    2. Baixe o 2, multiplique por 2 e adicione a −3 para obter 1, multiplique por 2 e adicione a 4 para obter 6, multiplique por 2 e adicione a −5 para obter 7. Os primeiros três são o quociente; o último é o resto.

    3. Escrevendo por extenso, trata-se do algoritmo da divisão de polinómios — e a identidade é válida para todo o x, não apenas para os valores convenientes.

    4. Portanto, substitua x = 2. O fator (x − 2) anula todo o quociente, seja ele qual for, e a identidade reduz-se a P(2) = resto.

    5. Calcular P(2) diretamente dá 7, coincidindo com o resultado da divisão sem que qualquer divisão tenha sido feita.

    Resposta

    A ferramenta apresenta um quociente de 2x² + x + 6 e um resto de 7. O teorema do resto é o que o passo 4 prova, e vale mais do que o atalho que proporciona: como o resto é P(r), perguntar se (x − r) divide um polinómio é o mesmo que perguntar se P(r) = 0. Aqui é 7, pelo que não divide. Essa equivalência transforma a procura de fatores numa avaliação — tente valores para o divisor até que o resto seja 0, e terá encontrado uma raiz e fatorizado o polinómio no mesmo passo.

Percurso de aprendizagem

Para além da quadrática

Conduz a Funções racionais o teorema do fator, aplicável em ambos os sentidos.

Referências (1)

· Atualizado

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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