Lições Interativas de Matemática e Ciências

Explorador de funções racionais

mova o zero, o polo e o ganho, e observe como a geometria dos ramos muda

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Ponha o zero sobre o polo e a divergência desaparece 🖖

Arraste o zero até ele ficar exatamente sobre o polo e algo curioso acontece: a curva para de explodir e se achata numa reta horizontal. Com z = p o fator (x − z) cancela o denominador por completo, deixando a constante k em todo lugar — exceto em x = p, onde a fórmula original continua dividindo por zero. Então o gráfico é uma reta com um ponto perfurado, e esta ferramenta passa a relatar um buraco em (p, k) em vez de uma assíntota. Uma raiz do denominador só é um polo se o numerador não a cancelar; caso contrário é um buraco removível, invisível em qualquer nível de zoom.

Aqui toda curva é uma hipérbole 🖖

A ferramenta calcula f(x)=k(x−z)/(x−p): a distância a um zero dividida pela distância a um polo, escalada por k. Não importa quais valores você escolha, o gráfico mantém sempre a mesma forma — uma hipérbole, a mesmíssima curva de y=1/x. Mover z e p apenas a desloca; mudar k a estica e inverte para que lado os dois ramos se abrem. Conclusão: quem domina y=1/x domina todas.

Um polo só é infinito por opção 🖖

Escrita como (ax+b)/(cx+d), toda função com um zero e um polo é uma transformação de Möbius — as aplicações que governam a análise complexa e a geometria hiperbólica. Acrescente um único ponto no infinito (a esfera de Riemann) e o polo deixa de ser uma catástrofe: x=p simplesmente é levado a esse novo ponto, e x=∞ à assíntota horizontal y=k. Na esfera a função é uma bijeção suave e reversível — a «explosão» é apenas um artefato do mapa plano.

FUNÇÕES RACIONAIS — ONDE O GRÁFICO EXPLODE, E ONDE ELE ASSENTA?

Em que caso de função racional você está?

Em f(x) = k(x − z)/(x − p) há só três números, e cada um é dono de um traço do gráfico. O zero z é onde a curva cruza o eixo. O polo p é onde o denominador se anula e a curva dispara para o infinito. O ganho k é o valor em que ela assenta longe dos dois. Leia esses três na fórmula e você já esboçou o gráfico antes de marcar um único ponto.

Bem separados — uma assíntota vertical, uma horizontal e um cruzamento x = p, y = k
Polo e zero bem perto — um pico violento entre eles |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞
Ganho negativo — o mesmo esqueleto com os ramos trocados k < 0 ⇒ f → −f
Polo e zero quase em cima um do outro — quase um buraco (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

01

Bem separados — uma assíntota vertical, uma horizontal e um cruzamento

O que você sabe: Um polo e um zero a uma distância confortável. A assíntota vertical fica em x = p, a horizontal em y = k, e a curva cruza o eixo em x = z.

Traço: x = p, y = k

Exemplo resolvido: f(x) = (x − 1)/(x + 2): assíntota em x = −2, cruzamento em x = 1 e f → 1 bem longe nos dois sentidos. Em x = 0 o valor é −0,5.

Abrir este caso: básico
Bem separados — uma assíntota vertical, uma horizontal e um cruzamento. O polo e o ganho desenham as duas assíntotas; o zero fixa onde a curva cruza. Um polo e um zero a uma distância confortável. A assíntota vertical fica em x = p, a horizontal em y = k, e a curva cruza o eixo em x = z.
O polo e o ganho desenham as duas assíntotas; o zero fixa onde a curva cruza.

02

Polo e zero bem perto — um pico violento entre eles

O que você sabe: A mesma forma, mas o polo fica perto do zero. A curva precisa ir do eixo ao infinito numa distância curta, então sobe íngreme.

Traço: |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

Exemplo resolvido: f(x) = 1,4(x − 0,5)/(x − 0,2): o polo em 0,2 está a apenas 0,3 do zero em 0,5, e f(0) já vale 3,5 contra um valor distante de 1,4

Abrir este caso: polo acentuado
Polo e zero bem perto — um pico violento entre eles. Uma distância curta entre polo e zero força a curva por uma excursão estreita e íngreme. A mesma forma, mas o polo fica perto do zero. A curva precisa ir do eixo ao infinito numa distância curta, então sobe íngreme.
Uma distância curta entre polo e zero força a curva por uma excursão estreita e íngreme.

03

Ganho negativo — o mesmo esqueleto com os ramos trocados

O que você sabe: Um k negativo vira a curva inteira em torno do eixo horizontal. As assíntotas não saem do lugar; o que muda é o canto que cada ramo ocupa.

Traço: k < 0 ⇒ f → −f

Exemplo resolvido: f(x) = −(x + 1,5)/(x − 1,2): assíntota em x = 1,2, cruzamento em x = −1,5, assíntota horizontal em y = −1 e f(0) = 1,25

Abrir este caso: ganho negativo
Ganho negativo — o mesmo esqueleto com os ramos trocados. As assíntotas continuam onde estavam, mas cada ramo mudou para o lado oposto. Um k negativo vira a curva inteira em torno do eixo horizontal. As assíntotas não saem do lugar; o que muda é o canto que cada ramo ocupa.
As assíntotas continuam onde estavam, mas cada ramo mudou para o lado oposto.

04

Polo e zero quase em cima um do outro — quase um buraco

O que você sabe: Quando z e p estão muito próximos, os fatores quase se cancelam. Fora dessa vizinhança a função fica perto da constante k, e o polo sobrevive como um pico fininho.

Traço: (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

Exemplo resolvido: f(x) = (x − 1)/(x − 1,12): só 0,12 de distância, então f(0) = 0,893, perto do valor distante 1 — e ainda assim a assíntota em x = 1,12 continua lá

Abrir este caso: quase cancelado
Polo e zero quase em cima um do outro — quase um buraco. Quase uma constante em toda parte, exceto na janela estreita em que o polo ainda vence. Quando z e p estão muito próximos, os fatores quase se cancelam. Fora dessa vizinhança a função fica perto da constante k, e o polo sobrevive como um pico fininho.
Quase uma constante em toda parte, exceto na janela estreita em que o polo ainda vence.
Erro de intuição comum

Um zero próximo de um polo não elimina automaticamente a instabilidade. Um quase cancelamento ainda pode ser numericamente sensível.

Problema resolvido na íntegra

  1. A curva a atingir a sua assíntota horizontal em y = 1 5 passos

    f(x) = (x − 1)/(x + 2) tem uma assíntota horizontal em y = 1. Determine se a curva chega efetivamente a alcançá-la.

    1. O zero e o polo leem-se diretamente da forma fatorizada: o numerador anula-se em 1, o denominador em −2.

    2. Para valores grandes de |x|, tanto o numerador como o denominador são dominados pelos seus termos em x, pelo que a razão tende para a razão dos coeficientes principais. Essa é a assíntota horizontal, e aqui é 1.

    3. Agora faça a pergunta diretamente em vez de avaliar o gráfico a olho: iguale a função à sua assíntota e resolva.

    4. O x cancela-se e deixa −1 = 2, o que é falso para todo o x. Assim, a curva nunca toca em y = 1 — nem ao longe, nem em lado nenhum.

    5. A assíntota vertical comporta-se de forma oposta. Imediatamente à esquerda de −2 a função é −299; imediatamente à direita, +301. Não se aproxima de um valor por ambos os lados, diverge em direções opostas.

    Resposta

    A ferramenta apresenta uma interseção com o eixo dos x em 1, uma assíntota vertical em −2 e uma assíntota horizontal em 1. O resultado que vale a pena reter é que uma assíntota horizontal não é uma barreira — esta nunca é alcançada, mas isso é um facto sobre esta função e não uma regra. Altere o numerador para x − 1 + algo que se anule e a curva pode cruzar a sua assíntota horizontal livremente, até repetidamente. As assíntotas verticais é que são as rigorosas: a função não está definida aí, pelo que nunca as pode cruzar. Confundir as duas é o erro mais comum neste tópico, e uma linha de álgebra resolve o assunto todas as vezes.

Percurso de aprendizagem

Para além da quadrática

Referências (2)
  • Why k(x−z)/(x−p) is a Möbius map, and why circles and lines are the only shapes it produces: T. Needham, Visual Complex Analysis, Chapter 3: Möbius Transformations and Inversion. Oxford University Press, 1997.
  • The asymptotes as ordinary behaviour at a point, once infinity is a point: L. V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition. McGraw-Hill, 1979 — rational functions on the extended plane.

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Problemas de exemplo

  • básico - Forma básica com um zero e um polo, com assíntotas bem definidas.
  • polo acentuado - Um polo próximo da origem cria uma forte divergência local.
  • ganho negativo - Um ganho negativo inverte a orientação dos ramos em relação às assíntotas.
  • quase cancelado - Um cancelamento quase zero/polo imita localmente um comportamento semelhante a uma descontinuidade removível.