Fundamentos de Sequências e Séries

As sequências mapeiam números naturais para valores reais. Enquanto as séries aritméticas exibem divergência linear, as geométricas revelam limites de convergência. Uma razão menor que a unidade é o pré-requisito para a somabilidade infinita.

Os dois tipos de sequência partem de um primeiro termo, mas crescem por regras diferentes. Uma sequência aritmética soma a mesma quantidade a cada passo (como poupar $50 por mês), enquanto uma geométrica multiplica pelo mesmo fator (como um saldo que rende 5% de juros ao ano). A fórmula do termo n-ésimo dá qualquer valor sem listar todos, e a soma parcial acumula os primeiros n. Repare como um mesmo valor inicial evolui de modo bem diferente conforme a regra.

Tente construir uma sequência que seja ao mesmo tempo aritmética e geométrica. Acontece que só uma família funciona: uma sequência constante como 7, 7, 7, …, em que a diferença é d = 0 e a razão é r = 1. Qualquer mudança real quebra uma regra ou outra, porque somar de forma constante sempre se afasta de multiplicar de forma constante. É um caso raro em que duas leis de crescimento aparentemente independentes são forçadas a colapsar num único valor imóvel.