Fundamentos de Sequências e Séries

Alterne o tipo de sequência, ajuste os parâmetros e acompanhe como os termos se acumulam.

Exemplo resolvido — Fundamentos de Sequências e Séries

termos	3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Fundamentos de Sequências e Séries

Uma sucessão é a lista; uma série é o que se obtém ao somar a lista. Esta página mostra ambas ao mesmo tempo — a_n é o n-ésimo elemento da lista, S_n é o total acumulado dos primeiros n termos — e confundir as duas é o erro mais comum neste tópico.

O que significa cada símbolo

d: a diferença constante (razão) de uma progressão aritmética — o que é adicionado em cada passo. 2 aqui, dando 3, 5, 7, 9, …
r: a razão de uma progressão geométrica — aquilo por que é multiplicada. Mude o modo e r = 1.5 dá 3; 4,5; 6,75; …
Sₙ: a soma dos primeiros n termos. Para as predefinições aritméticas, S₈ = 80, enquanto a₈ é apenas 17.

De onde vem a fórmula

Escreva a soma aritmética no sentido direto e depois no sentido inverso, uma por baixo da outra: a₁ + (a₁+d) + ⋯ + a_n por cima de a_n + (a_n−d) + ⋯ + a₁.
Adicione as duas linhas coluna a coluna. Cada coluna dá o mesmo total, a₁ + a_n, porque a cada passo a subir numa linha corresponde um passo a descer na outra — e existem n colunas.
Assim, o dobro da soma é n(a₁ + a_n), o que dá S_n = (n/2)(a₁ + a_n). Nas predefinições, (8/2)(3 + 17) = 80 — a fórmula na tabela acima, e o truque que se diz que um jovem Gauss usou nos números de 1 a 100.
Agora mude o seletor de modo para geométrico: os termos passam a ser 3; 4,5; 6,75; … e ambas as fórmulas na tabela mudam. Esta soma precisa de um truque diferente, porque os seus termos não se agrupam em pares — cada um é um múltiplo do anterior, e não um passo fixo a partir dele. Escreva a soma por extenso e, por baixo, escreva r vezes a mesma soma: S_n = a₁ + a₁r + ⋯ + a₁rⁿ⁻¹ por cima de r·S_n = a₁r + a₁r² + ⋯ + a₁rⁿ.
Subtraia a segunda linha à primeira. Todos os termos do meio aparecem em ambas e anulam-se, restando apenas as extremidades: S_n − r·S_n = a₁ − a₁rⁿ. Fatorize ambos os lados e divida por (1 − r): S_n = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) — a expressão que a tabela mostra no modo geométrico, dando 147.773438 para a₁ = 3, r = 1.5, n = 8.

Pressupõe: Uma diferença constante ou uma razão constante, para sempre. Qualquer sucessão real que apenas pareça aritmética durante alguns termos afastar-se-á imediatamente destas fórmulas.
Falha quando: A fórmula aritmética não tem nenhuma falha deste género: S_n = (n/2)(a₁ + a_n) divide apenas por 2, e 2 nunca é zero. A geométrica divide por (1 − r), que é precisamente a razão pela qual engana tanta gente. Mude para o modo geométrico e defina r = 1: a sucessão passa a ser 3, 3, 3, …, e a fórmula apresentada muda para S_n = n·a₁, dando 8 × 3 = 24. Isso não é um remendo, é o limite correto — quando nada cresce, a soma é simplesmente o termo repetido.

Somar para sempre ainda pode cair num número inteiro 🖖

Parece contraditório que somar infinitos termos positivos possa dar um total finito, mas uma série geométrica com |r| < 1 faz exatamente isso, e a soma é a/(1 − r). O exemplo mais familiar está à vista: 0,999… é a série 0,9 + 0,09 + 0,009 + …, então a = 0,9 e r = 0,1, dando 0,9/(1 − 0,1) = 1. Não se aproximando de 1, não quase 1 — a soma é 1, e 0,999… é outra forma de escrever o número um. O corredor de Zenão que percorre eternamente metade da distância restante é a mesma série com a = r = 1/2, cujo total é exatamente 1: ele termina a corrida.

Somar versus multiplicar 🖖

Os dois tipos de sequência partem de um primeiro termo, mas crescem por regras diferentes. Uma sequência aritmética soma a mesma quantidade a cada passo (como poupar $50 por mês), enquanto uma geométrica multiplica pelo mesmo fator (como um saldo que rende 5% de juros ao ano). A fórmula do termo n-ésimo dá qualquer valor sem listar todos, e a soma parcial acumula os primeiros n. Repare como um mesmo valor inicial evolui de modo bem diferente conforme a regra.

A única sequência que é as duas 🖖

Tente construir uma sequência que seja ao mesmo tempo aritmética e geométrica. Acontece que só uma família funciona: uma sequência constante como 7, 7, 7, …, em que a diferença é d = 0 e a razão é r = 1. Qualquer mudança real quebra uma regra ou outra, porque somar de forma constante sempre se afasta de multiplicar de forma constante. É um caso raro em que duas leis de crescimento aparentemente independentes são forçadas a colapsar num único valor imóvel.

Prática

Verifique você mesmo

Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.

Carrega em decaimento geométrico, depois põe a razão a 0.99 e a seguir a 1.01. Os oito termos quase não diferem. Qual das duas tem uma soma infinita finita — e consegues sabê-lo pelos termos no ecrã?

Configure:

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0.99 converge e 1.01 não, e nem os termos nem a soma dos oito o denunciam: oitavos termos de 18.641307 contra 21.442707, somas de 154.510611 contra 165.713411. Só a linha da soma infinita muda, de S∞ = 2000 para Diverge. A convergência decide-se apenas pela razão, e nenhum troço finito de uma sucessão a pode revelar.
Fica em r = 0.99, onde a soma infinita é 2000 e oito termos já chegaram a 154.510611. Adivinha que parte do caminho é essa.

Configure:

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Cerca de 7,7 % — menos de um décimo. Compara com r = 0.7, onde os mesmos oito termos chegam a 62.823466 de uma soma infinita de 66.666667, ou seja 94 %. Ambas as séries convergem. Uma está praticamente terminada ao fim de oito termos e a outra mal começou: a convergência promete um destino e não diz rigorosamente nada sobre a velocidade da chegada.
Carrega em crescimento geométrico e empurra o n para 30. O trigésimo termo, sozinho, vale 255668.078977. Prevê a soma dos trinta.

Configure:

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767000.236932 — quase exactamente o triplo desse único último termo, de modo que os vinte e nove termos de história valem juntos apenas o dobro do mais recente. Lê a soma ao contrário para veres porquê: com r = 1.5 cada termo é dois terços do seguinte, portanto o todo é a₃₀·(1 + 2/3 + 4/9 + ⋯) = 3a₃₀, uma série geométrica por direito próprio.

Problemas resolvidos na íntegra

Os 8 termos que somam 80 sem adicionar 8 números 5 passos
Os 8 termos 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 somam 80. Obtenha esse resultado sem somar 8 números e, depois, determine o que acontece à soma quando a lista tem o dobro do comprimento.
1. A fórmula do termo conta passos, não termos. Ir de a₁ a a₈ exige 7 passos de 2, não 8, e esse desfasamento de uma unidade é a única dificuldade de todo este tema.
  
  $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = 3 + 2 (n - 1) = 2 n + 1 ⟹ a_{8} = 17$
2. Agrupe a lista em pares de fora para dentro. 3 e 17 dão 20, tal como 5 e 15, 7 e 13, 9 e 11. Têm de dar: deslocar uma posição para a direita adiciona 2 e deslocar uma posição para a esquerda subtrai 2, pelo que cada par perde exatamente o que o outro ganha.
  
  $3 + 17 = 20, 5 + 15 = 20, 7 + 13 = 20, 9 + 11 = 20$
3. 8 termos formam 4 pares, e cada par vale 20. Ninguém somou 8 números.
  
  $S_{8} = 4 \times 20 = 80$
4. Nada nesse argumento utilizou o 3 ou o 2. Qualquer lista aritmética de n termos divide-se em n/2 pares, cada um a valer a₁ + a_n, e para esta lista a álgebra reduz-se a n(n + 2).
  
  $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} (2 n + 4) = n (n + 2)$
5. Teste a expressão de forma fechada onde isso seja relevante. Duplicar a lista para 16 termos dá 16 × 18 = 288, o que é 3,6 vezes a soma de 8 termos, em vez do dobro.
  
  $S_{16} = 16 \times 18 = 288 = 3.6 \times S_{8}$
Resposta

O painel apresenta a₈ = 17 e S₈ = 80, e os 4 pares de 20 são a razão disso. Duplicar o comprimento multiplica a soma por 4(n + 1)/(n + 2), o que aqui dá 3,6 e aproxima-se de 4 à medida que a lista cresce — uma soma aritmética é quadrática no número de termos, porque uma lista mais longa é também uma lista de termos maiores. Leve a expressão de forma fechada além de qualquer valor na página e ela mantém-se exata: n(n + 2) atinge 9999 exatamente em n = 99, e ultrapassa 10000 pela primeira vez em n = 100. Esta página não aceita mais de 30 termos, onde a soma é de apenas 960, pelo que quase tudo o que esta sucessão faz acontece para lá do último valor que o campo de entrada aceita.

$\frac{S _{2 n}}{S _{n}} = \frac{4 ( n + 1 )}{n + 2} ⟶ 4, 99 \times 101 = 9999$
Onde o emparelhamento dos extremos falhou numa sucessão que devolve 86,588344 6 passos
Agrupar os extremos funcionou numa lista aritmética. Experimente fazê-lo em 20, 14, 9,8, 6,86, 4,802, 3,3614, 2,35298, 1,647086 e o resultado obtido é 86,588344 — mais do que esta sucessão consegue atingir se a deixar continuar para sempre. Determine a soma real e descubra onde a agrupação em pares falhou.
1. Verifique os pares em vez de os dar como certos. O par exterior é 21,647086 e o par seguinte, mais ao centro, é 16,35298. Dar um passo para o interior multiplica um dos lados por 0,7 e divide o outro por 0,7, e um fator ganho não é um fator perdido — esse cancelamento só funciona para a adição e a subtração.
  
  $a_{1} + a_{8} = 20 + 1.647086 = 21.647086, a_{2} + a_{7} = 14 + 2.35298 = 16.35298$
2. O que funciona é um deslocamento. Escreva a soma por extenso e, por baixo, escreva 0,7 vezes a soma, alinhada uma posição para a direita. Todos os termos da segunda linha já se encontram na primeira.
  
  $S_{8} = 20 + 14 + \dots + 20 \times 0. 7^{7}, 0.7 S_{8} = 14 + 9.8 + \dots + 20 \times 0. 7^{8}$
3. Subtraia as linhas e tudo o que está no meio anula-se. Sobram apenas as duas extremidades salientes: o 20 inicial da linha de cima e o 20 × 0,7⁸ final da linha de baixo. Divida por 1 − r e obtém a expressão de forma fechada para qualquer primeiro termo e qualquer razão.
  
  $S_{8} - 0.7 S_{8} = 20 - 20 \times 0. 7^{8} ⟹ S_{n} = a_{1} \frac{1 - r ^{n}}{1 - r}$
4. Substitua. 0,7⁸ = 0,05764801, pelo que o numerador é 20 × 0,94235199 e o divisor é 1 − 0,7 = 0,3.
  
  $S_{8} = 20 \times \frac{1 - 0.05764801}{0.3} = \frac{18.8470398}{0.3} = 62.823466$
5. Agora deixe a lista continuar indefinidamente. Cada termo adicional multiplica rⁿ por 0,7, pelo que este se aproxima de 0 e o numerador estabiliza em 1. A soma tem um teto, que é precisamente o que uma série aritmética nunca pode ter.
  
  $r^{n} \to 0 ⟹ S_{\infty} = \frac{a _{1}}{1 - r} = \frac{20}{0.3} = 66.666667$
6. A diferença entre a soma dos 8 termos e esse teto é 3,843201, e é exatamente 66,666667 × 0,7⁸. Assim, a fração do total que ainda falta após n termos é rⁿ — o mesmo número que mede a rapidez com que os termos encolhem mede também o quanto falta.
  
  $S_{\infty} - S_{8} = 3.843201 = 66.666667 \times 0. 7^{8}$
Resposta

O painel apresenta a₈ = 1,647086, S₈ = 62,823466 e um teto de S_∞ = 66,666667. O resultado da fração em falta é o essencial a reter, porque transforma a ideia de que a série «converge» de uma promessa num calendário: 0,7ⁿ ≤ 0,01 exige n ≥ 12,9114, pelo que 13 termos colocam-no a menos de 1% de tudo o que esta série alguma vez será. Altere a razão e o calendário muda drasticamente, enquanto o teto se mantém finito — para r = 0,9, esse mesmo 1% custa 44 termos; para r = 0,99, custa 459. E o valor 86,588344 produzido pelo agrupamento em pares era refutável antes de tudo isto: uma soma parcial de termos positivos não pode superar o total de todos eles, pelo que um método que afirme o contrário está errado à primeira vista.

$0. 7^{n} \leq 0.01 ⟺ n \geq \frac{ln 0.01}{ln 0.7} = 12.9114 ⟹ n = 13$

Percurso de aprendizagem

Dinheiro ao longo do tempo

Conduz a Juro simples vs. composto a forma fechada para a soma de uma progressão geométrica.

Referências (1)

On the Gauss schoolroom story, which the derivation deliberately hedges: B. Hayes, "Gauss's Day of Reckoning." American Scientist 94(3), 200, 2006.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-05-21

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

crescimento aritmético - Sequência aritmética com razão constante d=2.
crescimento geométrico - Sequência geométrica crescente com razão r>1.
decaimento geométrico - Sequência geométrica decrescente com razão entre 0 e 1.