Calculadora de Prestação de Empréstimo

Prestação mensal, juros e TAEG de um empréstimo a taxa fixa, quer os juros incidam sobre o saldo devedor ou sobre o capital inicial, com as comissões incluídas. Ative uma segunda proposta para comparar as duas lado a lado.

Exemplo resolvido — Calculadora de Prestação de Empréstimo

Prestação mensal	485,65
Juros totais	4.138,90
Total pago	29.138,90
Parcela de juros	14,2%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Calculadora de Prestação de Empréstimo

Um empréstimo amortizável é reembolsado através de uma prestação constante, mas o que essa prestação faz muda a cada mês: uma parte liquida os juros acumulados desde a anterior, e o restante reduz a dívida. Como a dívida diminui, os juros do mês seguinte são menores e uma parte maior da mesma prestação destina-se ao capital.

O que significa cada símbolo

r: a taxa mensal, e não a anual. A caixa pede 6,2% ao ano; a fórmula utiliza 0.0051667, que é 0.062 / 12.
n: o número de prestações. Cinco anos de prestações mensais correspondem a n = 60.
M: a prestação em si — o único valor mantido constante, 485.65 aqui.

De onde vem a fórmula

Pergunte o que o mutuante precisa: o valor atual de todas as suas prestações futuras deve ser igual à quantia emprestada hoje. Uma prestação M recebida daqui a k meses vale M/(1+r)^k agora.
Assim, P = M/(1+r) + M/(1+r)² + ⋯ + M/(1+r)ⁿ — novamente uma série geométrica, com razão 1/(1+r). Somando-a, obtém-se P = M·(1 − (1+r)⁻ⁿ) / r.
Isole M e simplifique multiplicando o numerador e o denominador por (1+r)ⁿ: M = P·r(1+r)ⁿ / ((1+r)ⁿ − 1). Esta é a fórmula acima e é a fórmula das rendas aplicada ao contrário — um empréstimo é um plano de poupança visto do outro lado.

Pressupõe: Uma taxa fixa, prestações iguais e capitalização de juros exatamente com a mesma frequência das prestações. Nada aqui modela comissões, seguros, reembolsos antecipados ou uma taxa variável.
Falha quando: Também desmente subtilmente algo que provavelmente já lhe disseram. “As primeiras prestações são quase exclusivamente juros” é verdade para um crédito habitação a 30 anos, mas não para empréstimos em geral — no mês 1 deste empréstimo a 5 anos, o capital (356.48) já excede os juros (129.17) em quase três para um. A afirmação diz respeito à relação entre a taxa e o prazo, e não aos empréstimos em si.

por que paga tantos juros no início 🖖

Com uma prestação mensal fixa, os juros de cada mês são calculados sobre o capital ainda em dívida. O valor depende inteiramente do prazo. Na simulação de crédito à habitação a trinta anos, 82,4% da primeira prestação corresponde a juros, e a parcela de capital só se torna superior no mês 218 de 360; no crédito automóvel a cinco anos, o capital já representa a maior parte da primeira prestação. Esta concentração dos juros no início não é um truque bancário: é a consequência aritmética de manter uma dívida elevada durante muito tempo.

porque a taxa mais baixa custa mais 🖖

A prestação mensal não é escolhida: é o único valor que, pago todos os meses, leva o saldo exatamente a zero no último pagamento, e o capital, a taxa e o prazo determinam-no por completo. Por isso vale a pena carregar nos dois exemplos, um a seguir ao outro. O crédito automóvel tem a taxa mais alta, 6,2%, e a sua parcela de juros fica em cerca de um sétimo de tudo o que é pago. O crédito à habitação é mais barato ao ano, 5,8%, e a sua parcela de juros passa de metade — a ferramenta mostra juros totais superiores à quantia emprestada. É o prazo seis vezes maior que faz isso, não a taxa. A taxa é o número que se negoceia; o prazo é o que fecha a conta.

amortizar significa literalmente matar a dívida 🖖

A palavra amortização vem do latim ad mortem, "para a morte", através do antigo francês amortir, "matar". Um empréstimo que se amortiza é uma dívida que você vai matando aos poucos, pagamento a pagamento, até o saldo ficar morto em zero. A mesma raiz origina o inglês mortgage, literalmente "penhor de morte", porque o penhor morre assim que a dívida é quitada.

uma taxa sobre o capital inicial incide sobre dinheiro que já pagou 🖖

Prima saldo ou capital inicial. 7,9% sobre o capital inicial e 13,9% sobre o saldo devedor custam quase o mesmo, e a comparação mostra a razão: calculada sobre o saldo, a primeira taxa equivale a 14,07%. Uma taxa sobre o capital inicial incide por inteiro todos os meses, pesando sobre os últimos euros da dívida exatamente como sobre os primeiros 2.400. Custa, por isso, quase o dobro do que esse mesmo número custaria sobre o saldo: 1,78 vezes neste caso, aproximando-se de 2 quanto mais baixa for a taxa, sem nunca atingir 2. A sua prestação é a primeira mensalidade de um crédito à mesma taxa amortizado em parcelas iguais de capital, congelada durante todo o prazo. Naquele empréstimo, a prestação vai descendo à medida que a dívida encolhe; neste, o cálculo nunca chega a notar que o dinheiro já foi pago.

amortizar o capital em parcelas iguais poupa juros sem ficar mais barato 🖖

Defina os mesmos 8% durante três anos e alterne entre as duas modalidades sobre o saldo. Amortizar o capital em parcelas iguais custa 1.233,33 de juros; prestações constantes custam 1.281,09. A primeira via parece mais barata, mas a TAEG desmente-o: ambas marcam 8,30%, um pouco acima dos 8% porque a TAEG capitaliza doze taxas mensais numa taxa anual. Com parcelas iguais, a dívida é saldada mais depressa. Pede-se menos dinheiro durante menos tempo, e os 47,76 que poupa são o reflexo desse ritmo, não um desconto. Escolher prestações decrescentes é uma decisão sobre a tesouraria dos primeiros meses, não sobre o preço do crédito. Só a mudança de base altera o custo: prima os mesmos 8% de duas formas e o capital inicial atira a TAEG para 15,56%.

Prática

Verifique você mesmo

Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.

Carrega no predefinido empréstimo à habitação — 420.000 a 5,8 % a 30 anos. No mês 1, 2,030.00 da prestação de 2,464.36 vão directos para juros. Antes de abrires o quadro: em que ano é que o capital acaba por ultrapassar os juros?

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No ano 19, e a nota por baixo do gráfico di-lo sem rodeios. Acontece na linha 218 do quadro — 1,236.68 de capital contra 1,227.68 de juros, com 254,003.03 ainda em dívida. Passam dezanove dos trinta anos antes de a prestação amortizar mais do que aluga. Muda apenas o prazo e o cruzamento desloca-se: o empréstimo de 5 anos por omissão já o ultrapassou no mês 1.
O mesmo empréstimo. Põe Prazo em anos a 15. A prestação mensal tem de subir — prevê o que fazem os juros totais.

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Ficam a menos de metade, de 4.672 × 10⁵ para 2.098 × 10⁵, e a parcela de juros em tudo o que é pago cai de 52.658% para 33.314%. A prestação apenas passou de 2464.4 para 3499, cerca de 42 % a mais. Não te estão a cobrar outra taxa; estão a cobrá-la durante metade do tempo, sobre um saldo que desce duas vezes mais depressa.
Volta aos 30 anos e abre o quadro. Estás exactamente a meio do prazo — mês 180, quinze anos de prestações pagas. Quanto falta pagar dos 420.000?

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295,809.96: sete décimos. Quinze anos de prestações retiraram menos de um terço da dívida, enquanto a coluna Juros acum. já chegou a 319,395.26. O saldo só desce abaixo de metade no mês 250, a cinco sextos do prazo. A pergunta 1 datou este desequilíbrio inicial; esta põe-lhe um número.

Problema resolvido na íntegra

A prestação mensal de um empréstimo de 25 000 a 6,2% durante 5 anos 5 passos
Pedir um empréstimo de 25 000 a 6,2% a 5 anos. Deduza a prestação mensal a partir do zero e, em seguida, determine o efeito de duplicar o prazo no custo total.
1. Um empréstimo é uma promessa de efetuar n prestações iguais. O seu valor atual é a soma dessas prestações atualizadas, e essa soma é uma série geométrica — que é a única matemática em todo o crédito ao consumo.
  
  $P = k = 1 \sum n \frac{A}{( 1 + i ) ^{k}} = A \cdot \frac{1 - ( 1 + i ) ^{- n}}{i}$
2. Simplifique a série e inverta-a em ordem à prestação. A taxa mensal é a taxa anual dividida por doze, e o prazo é expresso em meses, não em anos — o erro mais comum neste cálculo é misturar as duas unidades.
  
  $A = \frac{P i}{1 - ( 1 + i ) ^{- n}}, i = \frac{0.062}{12} = 0.0051 \overline{6}, n = 60$
3. Substitua os valores. A calculadora acima apresenta exatamente este valor, fazendo-o através da avaliação desta expressão e não da iteração de um plano de amortização.
  
  $A = \frac{25 000 \times 0.0051 6}{1 - ( 1.0051 6 ) ^{- 60}} = 485.65$
4. O total pago é simplesmente a prestação multiplicada pelo número de prestações, e tudo o que exceder o capital inicial corresponde a juros. A ferramenta apresenta ambos, juntamente com a quota de juros de 14,204%.
  
  $total = 485.65 \times 60 = 29139 ⟹ interest = 4 138.9$
5. Agora duplique o prazo para dez anos, o que reduz a prestação para metade — quase. Aplique novamente a mesma fórmula.
  
  $n = 120 : A = 280.07, total = 33608, interest = 8608$
Resposta

485,65 por mês. Duplicar o prazo reduz a prestação para 280,07 — e não para 242,83, porque também deve juros durante o dobro do tempo — e os juros aumentam para mais do dobro, de 4139 para 8608. Esta é a estrutura de qualquer proposta de "prestação mensal mais baixa": a prestação cai 42% e o custo sobe 108%. É na série que reside essa assimetria, e ela é visível na fórmula antes de ser introduzido qualquer número.

$A = \frac{P i}{1 - ( 1 + i ) ^{- n}} = 485.65 per month$

Percurso de aprendizagem

Dinheiro ao longo do tempo

Referências (1)

The amortisation schedule the lesson derives, and how the split moves month to month: S. Garrett, "Loan Repayment Schedules," in Introduction to the Mathematics of Finance, 2nd ed., 79–93. Butterworth-Heinemann, 2013.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.