Sequência de Retornos

Os mesmos retornos, por outra ordem. Sem nada retirado, a ordem não pode importar. Comece a levantar um rendimento e passa a ser ela a decidir tudo.

Exemplo resolvido — Sequência de Retornos

Valor final, ordem real	$4.414.533
Valor final, invertida	$9.790.543
Retorno anual médio	10,31%
Crescimento anual composto	9,67%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

A rentabilidade média não é a taxa a que o seu dinheiro cresce 🖖

A média aritmética de uma série de retornos não é a taxa a que o seu dinheiro cresce, mesmo antes de levantar um cêntimo. Ganhe 50% e depois perca 50%: a média é 0%, mas um dólar passou a valer 75 cêntimos. A taxa composta é sempre igual ou inferior à média aritmética, e a diferença anda perto de metade da variância — na janela de 1966 com 60/40, a média é 10,31% contra 9,67% em juro composto, uma diferença de 0,63 pontos onde metade da variância é 0,69. Este travão existe sem qualquer levantamento, e é por isso que a rentabilidade média de um folheto é o número errado para planear. O risco de sequência é uma segunda penalização, maior, empilhada por cima dela.

A mesma regra de levantamento dura trinta anos, ou seis 🖖

Defina o ano de início para 1982 e o levantamento para 12% e o capital continua de pé após 30 anos. Defina o ano de início para 1929 e não mude mais nada e ele esgota-se em 1934. A mesma duração, a mesma combinação 60/40, o mesmo aumento de 3%, a mesma regra; a única diferença é quais os anos que chegaram primeiro. Varra todos os inícios de 30 anos no registo e o maior levantamento que aguenta vai de 3,44% em 1929 a 12,10% em 1982 — um fator de três vezes e meia. Os famosos 4% não são uma propriedade dos mercados. São o número calibrado para o pior início que este registo por acaso contém, o que os torna errados para todos os outros.

Aguentar e estar bem são perguntas diferentes 🖖

Comece em 1928 e levante 4% e o painel indica que o capital aguentou toda a janela — com $240.302 restantes de um milhão. O levantamento já subiu a 3% ao ano durante 29 anos nessa altura, pelo que o último foi de $40.000 × 1,03²⁹ = $94.263: dois anos e meio de despesas, no final de um plano que acabou de terminar. O reformado de 1982 sob a mesmíssima regra termina com $14.116.071. A leitura chama a ambos o mesmo resultado porque a ruína é a única falha que consegue definir, e aterrar a dois anos da ruína não é o mesmo resultado que terminar com catorze vezes o valor inicial.

Problemas resolvidos na íntegra

$1 000 000 numa combinação 60/40 entre 1966 e 1995 sem levantamentos 5 passos
Demonstre que a ordem de 30 anos de retornos não pode alterar o montante final e, em seguida, meça quanto custa, ainda assim, a oscilação entre eles. Trata-se de Sem levantamentos: $1.000.000 numa combinação 60/40 entre 1966 e 1995, sem qualquer retirada, com o painel a indicar a média aritmética desses anos como 10,31%.
1. Um ano multiplica o montante por 1 + r e nada mais lhe faz. Repetindo esse processo 30 vezes, toda a reforma se reduz a um único produto em vez de um processo.
  
  $V_{n} = V_{0} k = 1 \prod n (1 + r_{k})$
2. A multiplicação é comutativa, pelo que inverter a lista escreve os mesmos 30 fatores numa ordem diferente e não pode alterar o resultado do produto. As duas curvas no gráfico cruzam-se repetidamente e terminam exatamente no mesmo ponto, sem que a ferramenta possa alterar esse facto.
  
  $k = 1 \prod n (1 + r_{k}) = k = 1 \prod n (1 + r_{n + 1 - k})$
3. Efetuando o produto dos fatores, este intervalo multiplica o montante por quase 16.
  
  $V_{30} = 1 0^{6} \times 15.95399 = 15953990$
4. A taxa de crescimento composto é a taxa única que reproduz esse produto, devendo por isso calcular-se a raiz de ordem 30. Não é a média dos retornos e nem o poderia ser: uma é construída a partir de um produto, a outra a partir de uma soma.
  
  $g = (15.95399)^{1/30} - 1 = 0.0967 = 9.67%$
5. Imagine-se agora um montante que rendesse exatamente os 10,31% do painel em todos os anos, com a mesma média e sem qualquer variação. Capitalize-se ao longo dos mesmos 30 anos e subtraia-se.
  
  $1 0^{6} \times (1.1031)^{30} = 18986571 ⟹ 18986571 - 15953990 = 3032581$
Resposta

$15.953.990, a partir de qualquer uma das extremidades da sequência. O montante constante a 10,31% termina antes em $18.986.571, pelo que os retornos variáveis custam $3.032.581 sem que o número de um único ano seja alterado — 19% do valor com que a carteira realmente termina. É por isso que 9,67% é o valor honesto e 10,31% não o é: uma média que só se poderia ter obtido sem nunca haver desvios em relação a ela nunca esteve disponível. A penalização escala com o quadrado da dispersão, pelo que uma carteira duas vezes mais oscilante em torno da mesma média perde sensivelmente 4 vezes mais por essa causa. A ordem é gratuita aqui. A volatilidade nunca o foi.

$\overset{r}{ˉ} - g = 10.31% - 9.67% = 0.64%$
Retirar 4% de $1 000 000 numa combinação 60/40 entre 1929 e 1958 6 passos
O mesmo tipo de sequência, mas agora são retirados $40.000 por ano. O intervalo cresce a uma taxa composta de 6,58% e a taxa de levantamento é de 4%, o que parece deixar uma margem confortável. Trata-se de Reformar-se em 1929: $1.000.000 numa combinação 60/40 entre 1929 e 1958, com um levantamento no primeiro ano de 4% do montante inicial, aumentando 3% ao ano com os preços.
1. Uma regra de levantamento fixa montantes em dólares, não uma percentagem. 4% do milhão inicial são $40.000, e cada ano seguinte retira esses mesmos $40.000 capitalizados a 3% ao ano. O saldo do próprio montante nunca mais volta a entrar no cálculo do levantamento.
  
  $V_{k} = V_{k - 1} (1 + r_{k}) - W_{k}, W_{k} = 40000 \times 1.0 3^{k - 1}$
2. 1929 rendeu -3,30% na combinação. Primeiro rentabiliza-se, depois subtrai-se: o rendimento do ano é retirado daquilo que o mercado desse ano deixou.
  
  $V_{1} = 1 0^{6} (1 - 0.0330) - 40000 = 927000$
3. Desenrolando a recorrência, esta separa-se num termo de produto e num termo de soma. O produto pertence ao aforrador, intocado. Na soma, cada levantamento é multiplicado apenas pelos anos que vêm depois dele — um levantamento de 1929 carrega 29 fatores subsequentes, enquanto um de 1958 não carrega nenhum. Inverter a sequência deixa o produto intocado e reconstrói a soma a partir do zero.
  
  $V_{n} = V_{0} k = 1 \prod n (1 + r_{k}) - k = 1 \sum n W_{k} j = k + 1 \prod n (1 + r_{j})$
4. Já se dispõe do produto sem ser necessário recorrer aos dados. O crescimento composto é definido como a sua raiz de ordem 30, pelo que basta elevar novamente o valor do painel à respetiva potência.
  
  $k = 1 \prod 30 (1 + r_{k}) = (1.0658)^{30} \approx 6.767$
5. Calcule-se a soma em ambos os sentidos. Fatores idênticos, levantamentos idênticos; tudo o que mudou foi quais os fatores que se situam a seguir a cada levantamento. Na ordem direta, os levantamentos têm um peso combinado de 196,47. Na ordem inversa, 82,09.
  
  $S = k = 1 \sum 30 1.0 3^{k - 1} j = k + 1 \prod 30 (1 + r_{j}) ⟹ S_{\to} = 196.47, S_{\leftarrow} = 82.09$
6. A soma é proporcional ao levantamento do primeiro ano, pelo que igualar o valor final a zero e resolver em ordem a esse levantamento é um simples rearranjo, não uma procura. Isto dá o maior levantamento inicial que cada ordem consegue suportar.
  
  $W_{1}^{*} = \frac{1 0 ^{6} \times 6.767}{196.47} = 34444 (3.44%), \frac{1 0 ^{6} \times 6.767}{82.09} = 82438 (8.24%)$
Resposta

Na ordem direta, o montante esgota-se em 1950; na ordem inversa, os mesmos 30 anos terminam em $3.484.161. O levantamento inicial de equilíbrio é de $34.444 num sentido e de $82.438 no outro — 3,44% contra 8,24%, um fator de 2,39 decorrente de uma reordenação. Essa razão é a grandeza sobre a qual um plano de reforma realmente gira, e nenhuma das percentagens de destaque a pode fornecer: a média de 7,63% e o crescimento composto de 6,58% são ambos construídos para ignorar a ordem. Isto também desfaz a intuição com que este problema começou. Retirar 4% de algo que cresce a 6,58% não é uma margem de 2,58 pontos, porque 4% é uma percentagem exatamente uma única vez. Depois disso, passa a ser de $40.000 com um ajustamento de inflação associado. Ao quinto ano, esse levantamento ascendeu a $45.020, e o montante na ordem direta de onde sai é de $459.742, enquanto o montante na ordem inversa no mesmo ponto é de $1.298.083 — a mesmíssima regra, a pesar 9,79% numa ordem e 3,47% na outra.

$\frac{8.24%}{3.44%} = 2.39$

Percurso de aprendizagem

O risco, medido

Conduz a Rebalancear o resultado de que capitalizar comuta e levantar não — um produto pode ser reordenado, um produto com subtrações intercaladas não.

Referências (4)

The withdrawal-rate question this tool is a demonstration of, tested against historical sequences rather than averages: P. L. Cooley, C. M. Hubbard and D. T. Walz, "Comparative Analysis of Retirement Portfolio Success Rates." Financial Services Review 12(2), 115–128, 2003.
Sequence-of-returns risk named and measured, which is the effect the two paths on this page differ by: A. Soni, "The Role of Annuities in Managing Sequence of Returns Risk Approaching and in Retirement." The Journal of Retirement 11(4), 26–39, 2023.
Ruin as the quantity of interest rather than a final balance — the reason this tool reports the year the pot is exhausted: D. Daraei and K. Sendova, "Determining Safe Withdrawal Rates for Post-Retirement via a Ruin-Theory Approach." Risks 12(4), 70, 2024.
And the standing objection to any single historical path, including the ones drawn here: M. E. Drew and A. Walk, "Just How Safe are ‘Safe Withdrawal Rates’ in Retirement?" Financial Planning Research Journal 1(1), 22–32, 2015.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-19

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

Todas as lições de Estatística e Finanças →

Problemas de exemplo

Reforma em 1929 - Uma reforma de 30 anos com início no pico de 1929, levantando 4% do capital inicial no primeiro ano e aumentando esse valor 3% ao ano, a partir de uma combinação 60/40.
Reforma em 1966 - O início em 1966, cujo verdadeiro estrago foi a inflação: a mesma combinação 60/40 e a mesma regra de levantamento, ao longo de uma janela cujas perdas chegam cedo.
Reforma em 2000 - Uma janela de 25 anos a partir de 2000, que abre com 3 anos consecutivos de perdas antes de haver qualquer recuperação.
Sem levantamentos - A mesma janela de 1966 com o levantamento posto a zero, em que ambas as ordens têm de terminar exatamente no mesmo valor.