Prémios de Risco e o Grau de Certeza

Todos eles têm uma média positiva. Isso não é o mesmo que serem fiáveis, e a diferença mede-se.

Exemplo resolvido — Prémios de Risco e o Grau de Certeza

Média por ano	8,44%
Desvio padrão	19,70%
Estatística t	4,24
Anos em que pagou	66/98

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Um século de dados é uma amostra pequena 🖖

O prémio de dimensão rende em média 5,92% ao ano ao longo de 98 anos e é positivo em 49 deles. Uma moeda ao ar que paga 5,92% em média continua a ser uma moeda ao ar, e o desvio padrão de 27,48% explica porquê: para distinguir essa média de zero a 2 erros padrão seriam precisos cerca de 87 anos, e o prémio de prazo precisaria de uns 118 — mais história do que a que os dados contêm. Isto não é um argumento de que os prémios são falsos. É um argumento de que a confiança que habitualmente se lhes atribui é emprestada da dimensão da média, em vez de conquistada pela dimensão da amostra.

Um prémio maior pode ser o menos certo 🖖

De quanta história um prémio necessita depende apenas da razão entre o seu ruído e a sua dimensão: coloque a média a dois erros padrão de zero e a exigência é n ≥ (2σ/μ)². Dimensão e certeza são, portanto, questões separadas, e neste registo elas discordam. O prémio de crédito rende em média 2,08% ao ano e necessita de cerca de 39 anos; o prémio de dimensão rende em média quase o triplo, 5,92%, e necessita de 87. Percorra os quatro e a exigência corre 22, 39, 87, 118 anos enquanto as médias correm 8,44%, 2,08%, 5,92%, 1,41% — os mesmos quatro prémios em duas ordens que não coincidem.

O prémio de dimensão foi um fenómeno de 1928–1976 🖖

Divida o registo ao meio com os campos de início e duração. Ao longo de 1928–1976 as pequenas empresas norte-americanas bateram as grandes em 10,70% ao ano; ao longo de 1977–2025 o mesmo prémio foi de 1,14%, com uma estatística t de 0,42 e uma exigência de amostra de 1.133 anos. O valor de destaque de 5,92% é a média de uma primeira metade grande e de quase nada desde então. Banz mediu o efeito em 1981, perto da junção. Esta ferramenta não lhe pode dizer se a publicação fez o prémio desaparecer por arbitragem ou se a primeira metade foi o acidente, e mais ninguém o pode fazer — mas pode dizer-lhe que uma média de 98 anos nunca foi uma descrição de ambas as metades.

Problema resolvido na íntegra

Um prémio de risco acionista de 8,44% e um desvio padrão de 19,70% 6 passos
Três números retirados dos cartões determinam o grau de certeza do prémio de risco das ações: 8,44% ao ano, um desvio-padrão de 19,70% e 98 anos. Extraia a certeza a partir deles — depois faça a pergunta ao contrário e descubra de quanto histórico precisaria um prémio com esta forma. Este é o estado inicial da ferramenta: Ações (S&P 500 − Bilhetes do Tesouro a 3 meses) ao longo de todo o registo a partir de 1928.
1. Mais nada sobre o mercado entra no cálculo abaixo. Nem o nível dos preços, nem o número de crashes, nem a década em que por acaso começou — uma média, uma dispersão e uma contagem.
  
  $μ = 8.44%, σ = 19.70%, n = 98$
2. Um único ano é extremamente incerto; a média de 98 anos não o é, e a melhoria é exatamente a raiz quadrada da contagem. Divida, e o painel Quanto disto é medição e quanto é ruído apresenta esse mesmo valor.
  
  $SE = \frac{σ}{n} = \frac{19.70%}{9.8995} = 1.99%$
3. A estatística t é essa média reexpressa em unidades da sua própria incerteza, pelo que o prémio de risco das ações se situa quatro erros-padrão acima de zero. Note qual o número que fez o trabalho: não os 8,44% serem elevados, mas sim os 98 anos a reduzirem uma oscilação de 19,70% para 1,99%.
  
  $t = \frac{μ}{SE} = \frac{8.44}{1.99} = 4.24$
4. Agora faça o processo inverso. Fixe a fasquia em dois erros-padrão e resolva em ordem a n, e os anos necessários dependerão apenas da razão σ/μ. Portanto, um prémio maior não é automaticamente mais certo: dobre a média e a dispersão simultaneamente e a exigência não se altera. O mesmo painel apresenta 22.
  
  $t = 2 : n_{m i n} = (\frac{2 σ}{μ})^{2} = (\frac{2 \times 19.70}{8.44})^{2} = 4.668 2^{2} = 21.79 \to 22$
5. Selecione Prazo (Obrigações a 10 anos − Bilhetes do Tesouro a 3 meses) no menu suspenso Prémio. A média cai para 1,41% e a dispersão para 7,63%, e a exigência salta para 118 anos face a um registo de 98. O prémio de prazo não atinge a fasquia não por 1,41% ser reduzido, mas porque 7,63% é elevado ao seu lado.
  
  $μ = 1.41%, σ = 7.63% : n_{m i n} = (\frac{2 \times 7.63}{1.41})^{2} = 10.822 7^{2} = 117.13 \to 118 > 98$
6. Por fim, pare de resolver em ordem a n. Noventa e oito anos não é uma escolha — é a totalidade do registo anual — pelo que deve fixá-lo e resolver para a menor média capaz de superar a fasquia. Com uma volatilidade semelhante à das ações, é simplesmente o dobro do erro-padrão.
  
  $n = 98 : μ_{m i n} = \frac{2 σ}{n} = 2 SE = 2 \times 1.99% = 3.98%$
Resposta

Um erro-padrão de 1,99%, t = 4,24 e 22 anos teriam sido suficientes — mas com uma dispersão de 19,70% e 98 anos de dados, nenhum prémio com uma média inferior a 3,98% ao ano poderia alguma vez ser distinguido de zero. Esse limite mínimo pertence ao arquivo e não à estratégia, e cada prémio no menu suspenso carrega a sua própria versão dele: 2σ/√98 é 5,55% para dimensão, 1,54% para prazo, 1,30% para crédito. Coloque esses valores ao lado das médias que a ferramenta indica para cada um — 5,92%, 1,41%, 2,08% — e terá determinado todos os quatro vereditos sem calcular uma única estatística t, sendo o prazo o único a ficar abaixo do seu próprio limite mínimo, e por 0,13 de ponto. Esperar quase nada resolve, pois o limite mínimo cai na razão de √n: mais dez anos de dados alteram o limite mínimo das ações de 3,98% para 3,79%, e reduzi-lo para metade (para 1,99%) levaria 392 anos. A ferramenta calcula quantos anos precisaria um prémio de uma determinada dimensão. Nunca calcula a menor dimensão que este registo poderia observar, que é o número que decide antecipadamente quais os argumentos sobre prémios de risco que são sobre os mercados e quais os que são sobre ruído.

$n_{m i n} = (\frac{2 σ}{μ})^{2} ⟺ μ_{m i n} = \frac{2 σ}{n} = \frac{2 \times 19.70%}{9.8995} = 3.98%$

Percurso de aprendizagem

O risco, medido

Conduz a A fronteira, mantida o tamanho da barra de erro em torno de um retorno médio de longo prazo.

Referências (3)

The equity premium stated as a problem rather than a fact — it is too large for standard theory to explain, which is itself a reason to hold the estimate loosely: R. Mehra and E. C. Prescott, "The equity premium: A puzzle." Journal of Monetary Economics 15(2), 145–161, 1985.
The size effect, in the paper that first measured it: R. W. Banz, "The relationship between return and market value of common stocks." Journal of Financial Economics 9(1), 3–18, 1981.
And the standing warning that a mean return is measured far less precisely than it is quoted: R. C. Merton, "On estimating the expected return on the market: An exploratory investigation." Journal of Financial Economics 8(4), 323–361, 1980.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-19

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Problemas de exemplo

Ações, registo completo - O prémio de ações entre 1928-2025: o mais forte dos quatro e, ainda assim, negativo num terço dos anos.
Dimensão, registo completo - O prémio de dimensão em todo o registo — uma média elevada que foi positiva em apenas cerca de metade dos anos.
Prazo, registo completo - O prémio de prazo, cuja estatística t fica abaixo de 2 mesmo com 98 anos de dados.
Ações desde 1990 - O prémio de ações desde 1990, uma janela mais curta e, na mesma medida, menos certa.