Lições Interativas de Matemática e Ciências

Estatística e Finanças

A estatística estuda quanto é que é permitido concluir. Cada ferramenta aqui responde a uma versão da mesma pergunta: com estes dados, o que é que ainda poderia ser coincidência?

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Capítulos

Sequências curtas em vez de ferramentas soltas. Cada passo entrega ao seguinte algo específico, pelo que vale a pena seguir a ordem.

L2: escola

O a priori e de onde ele vem

STATNinguém contesta a aritmética do teorema de Bayes. Contestam o a priori: de onde veio o primeiro número e quem o escolheu. Estas três ferramentas abordam a questão por ordem de dificuldade: um a priori que se pode consultar, um a priori que o mecanismo nos entrega, e um a priori que ninguém tem.

  1. 01Teorema de Bayes
  2. 02Bilhar de Bayes
  3. 03Bioassinaturas

L2: escola

Jogos justos que te levam à ruína

STATO valor esperado é uma promessa sobre a média de um grande número de jogadores. Cada jogador, porém, conta apenas com a sua própria banca. Um jogo pode ser justo, ou até favorável a quem aposta, e ainda assim levar quase todos os jogadores à ruína. Em cada página, a média aparece como uma linha tracejada, quase um fantasma, enquanto acompanhas o que acontece aos jogadores que a compõem.

  1. 01A ruína do jogador
  2. 02O sistema de duplicação
  3. 03O paradoxo de São Petersburgo
  4. 04O critério de Kelly

L3: universidade

Ajustar uma reta a dados

MATHSete ferramentas que transformam uma imagem de pontos dispersos num número que se pode defender, para de seguida perguntarem como se chega a ele, que grau de confiança lhe devemos dar e o que acontece quando ninguém nos revela a resposta. Por fim, ensinam a classificar uma previsão que nunca passou de uma probabilidade. O percurso avança através da geometria em vez da estatística, pois é a geometria que torna a estatística honesta.

  1. 01Vetores
  2. 02Geometria dos mínimos quadrados
  3. 03Regressão linear
  4. 04Descida de gradiente
  5. 05Sobreajuste
  6. 06k-médias
  7. 07Calibração

L3: universidade

A transformada de Fourier na prática

COMPUm sinal é uma soma de setas giratórias. Na prática, qualquer interpretação acarreta custos que as fórmulas dos manuais omitem. Uma janela finita dispersa por todas as bandas os tons que nela não couberem. Janelas curtas compram tempo. Pagam em afinação. Uma média também atua como um filtro com forma própria. A última página explica a lógica que permite calcular tudo isto atempadamente.

  1. 01Transformada discreta de Fourier
  2. 02Espectrograma
  3. 03Média móvel como filtro
  4. 04Transformada rápida de Fourier

Problemas resolvidos na íntegra

O que se descobre aqui

Artigos escritos a partir destas ferramentas

Todas as ferramentas desta secção

Probability Distributions

Calculadora de Intervalo de Confiança
Dois intervalos de 95% deixam de se sobrepor apenas quando distam 3,92 erros padrão, onde p = 0,0056. A significância a 0,05 chega a 2,77, pelo que exigir um espaço visível é nove vezes mais severo do que o pretendido.
Calculadora de Pontuação Z
Um z é uma descrição; o percentil ao seu lado é um modelo. Além de ±2 a curva normal indica 4,55% onde Chebyshev permite 25%, e z = 4 é impossível com menos de 18 pontos de dados.
Declive e Proporção
Os mesmos números desenhados duas vezes, lado a lado, com o ângulo da reta impresso sob cada um. O quão acentuada uma linha parece é definido pelo intervalo do eixo e pela forma da caixa, não pelos dados.
Dispersão e desvio
Um valor de 20 entre sete valores de 4 a 7 pontua z = 2,42, e nenhum z acima de 2,4749 existe num conjunto de oito números. Três desvios padrão exigem onze observações antes sequer de serem alcançáveis.
Explorador da Distribuição Binomial
Uma curva normal construída apenas com σ acerta P(X = 7) com uma margem de 1,4% em n = 20 e fica 4,7 vezes alta demais em k = 0. Erros percentuais no meio, erros de fator nas caudas.
Explorador da Distribuição de Poisson
Um processo com média de 3 eventos por intervalo atinge exatamente 3 apenas 22,4% das vezes e vê um intervalo vazio uma vez em vinte. A média e a variância são o mesmo número, logo não há um botão de largura para girar.
Explorador da Distribuição Normal
Explore a curva normal: ajuste média e desvio padrão com sliders, sombreie uma região entre x₁ e x₂ e calcule a probabilidade em tempo real.
Explorador de Frequência e Probabilidade de Kanji
Os 158 kanji mais frequentes cobrem metade deste corpus e 1.162 cobrem 95%. Um caractere na posição 1.500 aparece uma vez a cada 15.428, de modo que numa história de 10.000 caracteres, a sua chance de o encontrar é de 47,7%.
Explorador do teorema central do limite
O erro padrão σ/√n é exato em n = 1, logo um n maior compra forma em vez de largura. Uma fonte exponencial ainda se inclina a uma assimetria de 0,365 quando n = 30, e atingir 0,1 exige n = 400.
Laboratório de Média vs Mediana
Compreenda como um valor atípico arrasta a média sem alterar a mediana, e por que numa distribuição assimétrica a maioria fica abaixo da média.

Statistical Tests & Modeling

A Média Móvel como Filtro
Uma média de 7 dias elimina qualquer padrão que se repita exatamente todas as semanas, independentemente da sua forma, pois é um filtro com zeros a um, dois e três ciclos por semana. Logo a seguir ao primeiro zero, inverte as ondas. Registos reais da Alemanha, uma semana sintética e uma onda pura, com a resposta em frequência traçada ao lado.
Achados Falsos
Uma área científica testa 1.000 hipóteses, e uma em cada dez é verdadeira. Com 80% de poder estatístico, 64,0% dos resultados significativos são reais; com 20% de poder, apenas 30,8%, gerados a partir dos mesmos 45 falsos alarmes. Um viés de 10% faz um poder de 80% equivaler a modestos 28,3% sem viés. E uma replicação honesta de cada achado confirma apenas 53,0% deles, mesmo quando ninguém manipulou nada.
Comparações Múltiplas
Vinte testes de puro ruído produzem um resultado abaixo de 5% com probabilidade de 64,15%, e catorze bastam para que isso passe a ser mais provável do que o contrário. Execute uma família teste a teste e veja como Bonferroni, Holm ou Benjamini–Hochberg filtram os resultados que contam, com todas as taxas calculadas com rigor ao lado de 2.000 famílias geradas sob as mesmas condições.
Explorador da Lei de Benford
Teste se um conjunto de números possui a distribuição do primeiro dígito típica de dados reais, e descubra que conjuntos jamais a poderiam ter.
Explorador de Decomposição SVD
Manter 95% da energia ainda deixa um erro de reconstrução de 22%, e 99% deixa 10%, porque a energia conta os valores singulares ao quadrado e o erro não. Nenhuma outra matriz com esse posto tem melhor desempenho.
Mapa de qui-quadrado e resíduos
Edite tabelas de contingência e inspecione as contagens esperadas, mapas de calor de resíduos padronizados e contribuições para o qui-quadrado.
Paragem Opcional
Faça um teste após cada lote de dados, pare ao primeiro p < 0,05, e uma experiência sem qualquer efeito real acusará um resultado significativo em 19,34% das vezes com dez análises e em 37,36% com cem. As fronteiras de Pocock e de O'Brien–Fleming repõem essa taxa nos 5%, à custa de diferentes perdas de poder estatístico. Valores exatos por integração numérica, a par de 1.000 experiências simuladas que pode correr lote a lote.
Regressão à média
Selecione os 10% melhores num teste: obtêm uma média de 124,8. Quando repetem o teste, a média é 112,4, sem que a competência de ninguém tenha mudado; metade da vantagem inicial vinha da sorte. Dê aos 10% com piores resultados um tratamento ineficaz e eles melhoram 12,4 pontos.
Regressão Linear
Ajuste uma reta de mínimos quadrados aos seus dados com gráfico de dispersão, resíduos, r de Pearson e ρ de Spearman.
Sandbox de causalidade
X e Y correlacionam-se a −0,8871 ao longo de 400 pontos, e a −0,0553 quando Z é mantido fixo: 28 erros padrão desde zero contra 1,1. Cenários de variável de confusão, colisor e Simpson a partir de um único gerador.
Teste F da ANOVA
Explore como a variância entre grupos e dentro dos grupos se combinam na estatística F, usada para testar se as médias dos grupos diferem.
Teste t de Student
Teste t de Welch para uma e duas amostras, com curva da distribuição t e visualização da região de rejeição.

Probability Paradoxes & Demos

A Maldição do Vencedor
Um efeito real de 0,20 desvios-padrão com 50 pessoas por grupo: apenas 17,0% dos estudos alcançam p < 0,05, e os que o fazem registam uma média de 0,498, correspondendo a 2,49 vezes o valor real. Com 50% de poder estatístico ou menos, toda estimativa significativa sobrestima a dimensão do efeito; a 5,7% de poder, 23,7% delas têm o sinal invertido. Simule os estudos passo a passo e compare-os com os valores exatos.
Aglomerado de coincidências (paradoxo das sequências)
Explorador de sequências em lançamentos de moeda: compare a probabilidade teórica de sequência com uma simulação de Monte Carlo.
Apostas pela martingala
Aposta 1 unidade, duplica após cada perda e termina à primeira vitória. Com 1 023 unidades no vermelho da roleta europeia, uma sessão termina com um lucro de 1 unidade em 99,8725% dos casos. O resultado esperado é −0,3056 para 11,308 unidades apostadas: −2,7027% por unidade, a vantagem da casa até ao último algarismo. Ao fim de 1 000 sessões, 72,08% dos jogadores estão a perder. Quatrocentos jogadores representados em simultâneo, com a distribuição exata ao lado.
Detector de Déjà Vu
Veja com que frequência padrões locais repetidos aparecem em sequências aleatórias de símbolos.
Explorador de Pi por Monte Carlo
O erro diminui como 1/√N, portanto mais um dígito correto custa cerca de 100 vezes mais pontos. Com N = 2000 a execução padrão dá 3,122, e nenhuma semente com esse N consegue superar um erro de 4,073 × 10⁻⁴.
Explorador do Paradoxo do Aniversário
Vinte e três pessoas alcançam 50,7% porque existem 253 pares entre elas; coincidir com o seu aniversário em particular exige 253 pessoas. A mesma regra de √N faz colapsar um hash de 32 bits após 77.162 itens.
O bilhar de Bayes — O feijão jogado sobre o ombro
Veja uma distribuição a priori uniforme transformar-se numa distribuição a posteriori Beta, um lançamento oculto de feijão de cada vez.
O paradoxo de São Petersburgo
Lança-se uma moeda até sair cara, e o prémio duplica a cada coroa: 1, 2, 4, … ducados. O valor esperado é infinito, mas, com uma banca que pode pagar 16 777 216 ducados, o jogo vale 13. Duzentos jogadores, cujos lançamentos são gerados a partir de uma semente, mostram por que razão a média de muitos jogos nunca estabiliza. Com o logaritmo proposto por Daniel Bernoulli em 1738, um jogador com um património W, a partir de 1 000 ducados, paga um preço que difere apenas algumas centésimas de ducado do valor do jogo com uma banca de W.
O Problema de Monty Hall
Escolha uma de três portas, veja o apresentador abrir outra para mostrar uma cabra, e trocar ganha o carro 2 vezes em 3. Altere apenas a regra do apresentador para alguém que abre uma porta sem saber o que lá está, e a mesma visão resulta em 1 em 2.
Planejador de Tamanho de Amostra e Margem de Erro
Planeje o tamanho da amostra ou a margem de erro a partir do nível de confiança e da proporção esperada.
Ruína do jogador
Uma moeda equilibrada, 10 fichas contra 1 000: fica sem fichas em 99,0099% dos casos, mas o resultado médio é exatamente zero. Na roleta, a vantagem da casa incide sobre cada ficha apostada. Para passar de 100 fichas a 200 apostando uma de cada vez, perde, em média, 99,11; se apostar as 100 numa só jogada, perde 2,70. Veja 400 jogadores em simultâneo, com as probabilidades exatas ao lado.
Simulador de Teoria das Filas (M/M/1)
Explore a utilização e o tempo de espera em filas M/M/1.
Teorema de Bayes / Explorador de Falsos Positivos
A 0,1% de prevalência, um teste com 99% de precisão transforma um positivo em 9,0% e dois positivos independentes em 90,75%. Repita o mesmo teste da mesma forma e obterá 16,4%, porque os erros também se repetem.

Finance & Economics

A Fronteira Eficiente, Fora da Amostra
Ajuste uma fronteira eficiente de média-variância a um período da história, mantenha esses pesos ao longo do período seguinte e veja onde a carteira aterra de facto — normalmente dentro da curva que lhe tinha sido prometida.
Ajustador de Inflação
Veja como a inflação corrói o poder de compra e infla os valores nominais ao longo do tempo.
Bilhetes, Notas e Obrigações: O Efeito do Rendimento no Preço
Calcule o preço de um bilhete, nota ou obrigação do Tesouro a partir do seu rendimento e veja cada fluxo de caixa descontado. Descubra por que razão a obrigação a 30 anos perdeu 5,72% em 2026 enquanto o seu rendimento variou 38 pontos base, e a de 2 anos perdeu 1,71% com uma variação de 90.
Calculadora de Prestação de Empréstimo
Dobrar o prazo corta a prestação em 42% e aumenta os juros em 108%. 25.000 a 6,2% são 485,65 por mês ao longo de cinco anos e 280,07 ao longo de dez, para 4139 de juros contra 8608.
Comprar ou Arrendar: Património Líquido Comparado
Dois agregados familiares, o mesmo capital, o mesmo orçamento mensal: um compra uma casa de 400 000 e o outro arrenda por 1800 e investe a diferença. Após dez anos, estão separados por 2952, e um ponto percentual na valorização da casa ou no retorno do investimento decide quem ganha.
Drawdown e Travão da Volatilidade
Quão fundo uma carteira caiu abaixo do seu máximo atingido, o que é preciso para voltar lá acima, e o retorno que a volatilidade lhe tira em silêncio, mesmo numa boa década.
Escalões de imposto: taxas marginais e efetivas
O efeito dos escalões no rendimento líquido: a taxa aplicada à unidade seguinte, a taxa real sobre o total e as reduções que afastam uma da outra.
Explorador de Juros Compostos
10.000 a 7% durante trinta anos são 76.122,55 compostos anualmente e 81.164,97 mensalmente, e o passo da frequência por hora para a infinita vale 69 centavos.
Juros Simples vs. Juros Compostos
10.000 a 7% durante vinte anos pagam 24.000 em juros simples e 40.387,39 compostos mensalmente. Passar de anual para mensal ganha 1.690,54, de mensal para diário mais 159,17, e a composição infinita mais 5,44.
Laboratório de Demografia e Economia
Simulador interativo de população e economia com insights baseados em equações e decomposição de cenários.
Markup vs. Margem
Um custo de 40 vendido a 60 é um markup de 50% e uma margem de 33,33% sobre um lucro de 20. Precificar para uma margem de 40% exige 66,67; acrescentar 40% ao custo dá 56 e uma margem de apenas 28,6%.
O critério de Kelly
Uma moeda dá-lhe a vitória em 60% dos lançamentos, com um ganho igual à aposta: se apostar tudo, o capital médio após 100 apostas será 8,28×10⁷ vezes o inicial, mas a probabilidade de ainda ter algum dinheiro será 6,53×10⁻²³. A fração de Kelly, 0,2, maximiza o ritmo de crescimento do capital de um apostador; acima de 0,3894, todas as apostas continuam a ser favoráveis, mas o apostador acaba arruinado com probabilidade um. Distribuições exatas, acompanhadas por duzentos apostadores simulados com uma semente fixa.
Preço Unitário
O custo por unidade entre tamanhos de embalagem e os dois truques que a prateleira usa para dificultar a comparação. "50% extra grátis" não equivale a um desconto de 50%. A caixa maior não é sistematicamente a mais barata.
Prémios de Risco e o Grau de Certeza
Quatro prémios pelos quais dizem ao investidor que está a ser pago, medidos em 98 anos de retornos — com a certeza estatística associada a cada um, que costuma ser muito menor do que a média sugere.
Programação Linear (2D)
Uma região viável não é promessa de resposta: a predefinição ilimitada tem uma e não possui um vértice ótimo. No ótimo, os preços-sombra são 2, 1 e 0, e o primeiro deles expira num orçamento de 5.
Rebalancear ou deixar andar
Compare vender o vencedor de volta ao alvo todos os anos com nunca lhe tocar, usando retornos reais desde 1928 — e veja o que está realmente a ser comparado.
Retorno Real Após Impostos
Os juros são tributados sobre a totalidade do montante nominal, incluindo a inflação. Defina o que a conta paga, o que os preços fazem e o que o imposto retira, e leia a parcela do seu ganho real que efetivamente lhe resta. Um imposto de 25% leva 62,5% do ganho real nas predefinições da página, e a 40% você fica exatamente na mesma.
Sequência de Retornos
Veja porque duas carteiras com o mesmo retorno médio podem acabar em mundos opostos, usando retornos anuais reais desde 1928.
Simulador de Choque de Oferta e Demanda
Desloque as curvas de oferta e demanda e observe o equilíbrio.
Valor Futuro de uma Anuidade
Veja como depósitos regulares se acumulam em património ao longo do tempo — saldo, contribuições e crescimento anual num único gráfico.
Verificação de Diversificação da Carteira
Verifique se uma carteira está distribuída entre ativos que se comportam de forma diferente, usando correlações e volatilidade baseadas numa fotografia do mercado.
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