Explorador da Distribuição Binomial

probabilidades discretas do número de sucessos para n e p fixos

Valores iniciais — Explorador da Distribuição Binomial

Ensaios (n)	20
Probabilidade de sucesso (p)	0
Sucessos-alvo (k)	7

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

A carregar a simulação interativa...

A independência é a suposição que costuma quebrar primeiro 🖖

Para aplicar o modelo binomial, têm de estar reunidas três condições: um número fixo de ensaios, a mesma probabilidade de sucesso p em todos eles e resultados independentes. As duas primeiras são fáceis de verificar. A terceira falha discretamente na maioria das situações reais.

Retire 5 cartas de um baralho e calcule a probabilidade de saírem 2 ases. Assim que retira uma carta, p muda para todas as retiragens seguintes; os ensaios deixam de ser independentes e o modelo correto passa a ser o hipergeométrico. A regra prática consiste em saber se a amostragem é feita com ou sem reposição. Se repuser a carta, o modelo binomial é exato. Se ficar com ela, será apenas uma aproximação: boa quando o baralho é grande em relação à mão, má quando não é.

Contar sucessos em ensaios repetidos 🖖

Imagine lançar a mesma moeda viciada n vezes e simplesmente contar quantas vezes sai cara. Essa contagem é uma variável aleatória binomial: cada lançamento é independente e todos têm a mesma probabilidade de sucesso p. A ferramenta permite variar n e p e ver onde a probabilidade se acumula. O seu melhor palpite para o número de sucessos é a média np — por isso 20 lançamentos de uma moeda justa centram-se em 10 caras.

De onde vem realmente o nome 🖖

O "binomial" da distribuição binomial é o mesmo binômio do teorema binomial da álgebra. Ao desenvolver (p + q)ⁿ com q = 1 − p surgem exatamente os termos nCk · p^k · q^n−k — as probabilidades para cada k. Como (p + q) = 1, o desenvolvimento vale 1ⁿ = 1, e é por isso que as probabilidades têm de somar um. Os coeficientes nCk são literalmente as linhas do triângulo de Pascal.

PROBABILIDADE BINOMIAL — QUE PERGUNTA VOCÊ ESTÁ FAZENDO, AFINAL?

Em que caso binomial você está?

A binomial precisa de três coisas e nada mais: um número fixo de ensaios independentes n, a mesma probabilidade de sucesso p em cada um deles e uma contagem k. O que muda de um problema para outro é a pergunta — exatamente k, ou no máximo k — e a forma que p dá à distribuição. Decida esses dois pontos e a aritmética é mecânica.

Exatamente k com p = ½ — o caso simétrico P(X = k) = C(n,k) p^k(1−p)^n−k

No máximo k — some as barras, não leia uma só P(X ≤ k) = ∑_i≤k P(X = i)

p longe de ½ — a distribuição pende μ = np, argmax P = ⌊(n+1)p⌋

Muitos ensaios, p minúsculo — o limite de Poisson λ = np, P(X = k) ≈ e^−λλ^k/k!

Exatamente k com p = ½ — o caso simétrico

O que você sabe: Um n fixo, a mesma p em cada ensaio e uma pergunta sobre uma contagem específica. Com p = ½ as barras ficam simétricas em torno de n/2.

Fórmula: P(X = k) = C(n,k) p^k(1−p)^n−k

Exemplo resolvido: n = 10, p = 0,5, k = 5 → C(10,5)·0,5¹⁰ = 252/1024 = 0,2461

Abrir este caso: 10 lançamentos de moeda equilibrada

Exatamente k com p = ½ — o caso simétrico. Com p = ½ as barras são simétricas em torno de n/2, e nem a mais alta chega a um quarto da probabilidade. Um n fixo, a mesma p em cada ensaio e uma pergunta sobre uma contagem específica. Com p = ½ as barras ficam simétricas em torno de n/2. — Com p = ½ as barras são simétricas em torno de n/2, e nem a mais alta chega a um quarto da probabilidade.

No máximo k — some as barras, não leia uma só

O que você sabe: A pergunta é um limiar, não uma contagem isolada. Some todas as barras de 0 até k; um único P(X = k) responde a uma pergunta completamente diferente.

Fórmula: P(X ≤ k) = ∑_i≤k P(X = i)

Exemplo resolvido: n = 40, p = 0,08, k ≤ 2 → P(X ≤ 2) = 0,3694, enquanto a barra isolada P(X = 2) é apenas 0,2100

Abrir este caso: defeitos de controlo de qualidade

No máximo k — some as barras, não leia uma só. A resposta é o bloco sombreado de 0 a k, não a altura da k-ésima barra. A pergunta é um limiar, não uma contagem isolada. Some todas as barras de 0 até k; um único P(X = k) responde a uma pergunta completamente diferente. — A resposta é o bloco sombreado de 0 a k, não a altura da k-ésima barra.

p longe de ½ — a distribuição pende

O que você sabe: Uma probabilidade de sucesso desequilibrada. O pico fica perto de np e a cauda do lado apertado é esmagada contra o limite em n.

Fórmula: μ = np, argmax P = ⌊(n+1)p⌋

Exemplo resolvido: n = 25, p = 0,78, k = 20 → 0,1903; a média é np = 19,5 e a moda é ⌊(n+1)p⌋ = 20

Abrir este caso: lances livres de basquetebol

p longe de ½ — a distribuição pende. Um p alto empurra o pico na direção de n e esmaga a cauda direita contra o limite. Uma probabilidade de sucesso desequilibrada. O pico fica perto de np e a cauda do lado apertado é esmagada contra o limite em n. — Um p alto empurra o pico na direção de n e esmaga a cauda direita contra o limite.

Muitos ensaios, p minúsculo — o limite de Poisson

O que você sabe: n é grande, p é pequeno e o produto dos dois é um número modesto. A binomial e uma Poisson com λ = np concordam até cerca de duas casas decimais.

Fórmula: λ = np, P(X = k) ≈ e^−λλ^k/k!

Exemplo resolvido: n = 60, p = 0,03 → λ = 1,8; P(X ≤ 1) = 0,4592 exato, contra 0,4628 da Poisson

Abrir este caso: processo de eventos raros

Muitos ensaios, p minúsculo — o limite de Poisson. As barras binomiais e a Poisson com λ = np ficam quase exatamente sobrepostas. n é grande, p é pequeno e o produto dos dois é um número modesto. A binomial e uma Poisson com λ = np concordam até cerca de duas casas decimais. — As barras binomiais e a Poisson com λ = np ficam quase exatamente sobrepostas.

Problemas resolvidos na íntegra

Exatamente 7 sucessos em 20 tentativas com p = 0,35 5 passos
Exatamente 7 sucessos em 20 ensaios com p = 0,35. Esta é a vista da FPM com n = 20, p = 0,35 e k = 7. Construa a barra de raiz e, em seguida, calcule a sua altura uma segunda vez recorrendo apenas ao desvio-padrão.
1. O coeficiente conta quais dos 20 ensaios são os 7 bem-sucedidos, sem considerar a ordem em que ocorrem. Sete fatores no numerador, 7! no denominador — vale a pena fazer a simplificação à mão uma vez.
  
  $(7 20) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{7 !} = \frac{390 700 800}{5040} = 77520$
2. Cada disposição específica de 7 sucessos e 13 insucessos tem a mesma probabilidade, porque os ensaios são independentes e p nunca muda. Estas são as suas duas metades.
  
  $p^{k} = 0.3 5^{7} = 0.00064339, (1 - p)^{n - k} = 0.6 5^{13} = 0.00369721$
3. Multiplique o número de disposições pela probabilidade de uma qualquer delas. Os dois fatores de probabilidade juntos perfazem cerca de 2,4 × 10⁻⁶, pelo que são precisas todas as 77 520 disposições para elevar a resposta de volta aos 18%.
  
  $P (X = 7) = 77520 \times 0.00064339 \times 0.00369721 = 0.18440119$
4. A cauda superior não é o complemento do valor acumulado: 1 − 0,6010266 descartaria k = 7, que pertence a ambas as caudas. A ferramenta apresenta P(X ≤ 7) e P(X ≥ 7), mas nunca P(X ≤ 6), pelo que essa subtração cabe ao leitor fazer.
  
  $P (X \geq 7) = 1 - P (X \leq 6) = 1 - (0.6010266 - 0.1844012) = 1 - 0.4166254 = 0.5833746$
5. Agora descarte os fatoriais. Uma binomial cuja média se encontre bem afastada de 0 e de n tem a forma de uma curva normal com o mesmo desvio-padrão, e a altura do pico de uma curva normal não depende de mais nada.
  
  $σ = n p (1 - p) = 4.55 = 2.133073, \frac{1}{σ 2 π} = \frac{1}{5.34682} = 0.18703$
Resposta

A ferramenta apresenta o coeficiente 77 520, P(X = 7) = 0,18440119, P(X ≤ 7) = 0,6010266, P(X ≥ 7) = 0,58337458 e σ = 2,133073. O passo 5 atinge 0,18703 apenas a partir de σ — um desvio por excesso de 1,4%, a partir de uma expressão que não contém n, nem p, nem fatorial. Aumente-se n mantendo p em 0,35 e esse erro evolui proporcionalmente a 1/n: 0,71% para n = 40, 0,28% para n = 100, 0,07% para n = 400. Assim, μ e σ chegam para esboçar todas as barras perto do centro, e a fórmula exata só justifica o seu valor nas caudas — em k = 0 a mesma curva normal é 4,7 vezes demasiado alta, e em k = 17 é 43% demasiado baixa. Erros percentuais no meio, erros por fatores nas extremidades: essa é a forma de qualquer aproximação pela normal com que se venha a cruzar.

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} = 0.18440119 \approx \frac{1}{σ 2 π} = 0.18703$
60 tentativas a 3% onde np é apenas 1,8 6 passos
Esta predefinição são 60 tentativas a 3 %, e o painel dá P(X = 1) = 0,29840413. A aproximação normal do primeiro problema não serve aqui: np vale apenas 1,8. Existe outro limite quase exato, e ele deita fora por completo um dos dois parâmetros.
1. Primeiro a resposta exata, tal como o painel a dá: sessenta maneiras de colocar o único sucesso, vezes o sucesso, vezes cinquenta e nove falhanços.
  
  $(1 60) (0.03)^{1} (0.97)^{59} = 60 \times 0.03 \times 0.16578007 = 0.29840413$
2. Mantenha o produto np fixo e chame-lhe λ. É a única quantidade que vai sobreviver ao limite.
  
  $λ = n p = 60 \times 0.03 = 1.8$
3. Pegue no coeficiente binomial. Escreva p como λ/n: o fatorial descendente dividido por nᵏ tende para 1, porque cada fator é n menos algo pequeno, a dividir por n. Sobra λᵏ a dividir por k fatorial.
  
  $(k n) p^{k} = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{k !} (\frac{λ}{n})^{k} n \to \infty \frac{λ ^{k}}{k !}$
4. O termo de falhanço é a definição de e disfarçada: (1 − λ/n) elevado a n tende para e^(−λ), e o k extra no expoente deixa de contar.
  
  $(1 - p)^{n - k} = (1 - \frac{λ}{n})^{n - k} n \to \infty e^{- λ}$
5. Junte as duas metades em k = 1.
  
  $P (X = 1) \approx λ e^{- λ} = 1.8 e^{- 1.8} = 0.29753800$
6. Agora meça o erro em vez de afirmar que é pequeno.
  
  $\frac{0.29753800 - 0.29840413}{0.29840413} = - 0.0029$
Resposta

0,29754 contra o exato 0,29840 — 0,29 % abaixo, e com apenas sessenta tentativas. O limite de Poisson guarda λ = np e esquece n e p separadamente, e é precisamente por isso que descreve situações em que nunca se soube n: chamadas a chegar a uma central, mutações por genoma, gralhas por página. Em nenhuma há um número de tentativas, apenas uma taxa. E o erro cai como 1/n — com 600 tentativas a 0,3 % é 0,030 %, com 6000 a 0,03 % é 0,003 %. Dez vezes mais tentativas, um décimo do erro, sem que λ se mexa.

$P (k) \to \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ} : 0.29754 ⟷ 0.29840, - 0.29%$

Percurso de aprendizagem

Das contagens às curvas

Conduz a Poisson a distribuição exata de uma contagem: n ensaios independentes, cada um com a mesma probabilidade p.

Referências (2)

Three centuries of the result this distribution was invented in order to prove: E. Seneta, "A Tricentenary history of the Law of Large Numbers." Bernoulli 19(4), 1088–1121, 2013 — on Jakob Bernoulli’s Ars Conjectandi of 1713.
And a shorter account of the book itself: I. Schneider, "Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713)", in Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, 88–104. Elsevier, 2005.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

Todas as lições de Estatística e Finanças →

Problemas de exemplo

10 lançamentos de moeda equilibrada - Obter 5 caras em 10 lançamentos é o resultado individual mais provável, mas ocorre em menos de um quarto dos casos: 0,2461. Mesmo o valor mais provável de uma distribuição binomial costuma ter uma probabilidade baixa.
defeitos de controlo de qualidade - Com 40 unidades e uma taxa de defeito de 8%, a média é de 3,2 defeitos. Aceitar apenas lotes com 2 ou menos unidades defeituosas leva, portanto, à rejeição da maioria dos lotes que se comportam exatamente como esperado. A probabilidade acumulada é 0,3694.
lances livres de basquetebol - Um jogador com 78% de eficácia em 25 lançamentos livres converte, em média, 19,5. Acertar exatamente 20, o inteiro mais próximo dessa média, ocorre apenas em 19% dos casos. É essa a dispersão da distribuição para este n.
processo de eventos raros - Em 60 ensaios com uma probabilidade de sucesso de 3%, a média é de 1,8 sucessos. «No máximo 1» não é, pois, um resultado tão discreto como parece: ocorre em 46% dos casos, enquanto obter 0 sucessos ocorre em 16%.