Lições Interativas de Matemática e Ciências

Explorador da Distribuição de Poisson

Explore a distribuição de Poisson — veja como se distribuem os eventos raros e como a binomial converge para a Poisson.

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Um único número fixa ao mesmo tempo o centro e a dispersão 🖖

A Poisson tem um único parâmetro, então sua média e sua variância são o mesmo número. Você não consegue alargar a distribuição sem também deslocá-la para a direita — não existe botão de largura, e a ferramenta não oferece um porque a matemática não tem. Carregue o exemplo "raro" com λ = 0,5 e o desvio padrão é √0,5 = 0,707, com a moda presa em zero; carregue "normal" com λ = 10 e ele vale √10 = 3,162, e a forma ficou quase simétrica, porque a assimetria é exatamente 1/√λ. Essa rigidez funciona também como diagnóstico: dados de contagem reais cuja variância supera bastante a média estão superdispersos, e estão dizendo que a Poisson é o modelo errado, não um modelo mal ajustado.

Muitas chances minúsculas formam uma curva limpa 🖖

Imagine um número enorme de oportunidades independentes, cada uma delas muito improvável: gralhas numa página, relâmpagos num concelho, defeitos numa linha de produção. Lance uma moeda n vezes, com probabilidade de sucesso p; faça n crescer e p diminuir, mantendo n × p = λ constante, e a distribuição binomial transforma-se suavemente na distribuição de Poisson. Ative aqui a sobreposição, aumente n e observe as barras irregulares da binomial ajustarem-se à curva de Poisson. Muitas tentativas, cada uma com uma probabilidade ínfima: é precisamente nestas condições que a distribuição de Poisson oferece um atalho.

Morte por coice de cavalo e a lei dos pequenos números 🖖

Em 1898, o estatístico Ladislaus Bortkiewicz estudou as mortes causadas por coices de cavalo em 10 corpos do exército prussiano, ao longo de 20 anos. As contagens anuais, quase sempre 0, por vezes 1 ou 2 e raramente superiores, ajustavam-se quase na perfeição a uma distribuição de Poisson com λ ≈ 0.61. Chamou a este padrão lei dos pequenos números. Poisson deduzira a distribuição sessenta anos antes, num livro sobre a probabilidade das decisões judiciais; Bortkiewicz mostrou que a mesma matemática regia acidentes extraordinários. Onze anos depois, Erlang aplicá-la-ia ao tráfego telefónico.

Problema resolvido na íntegra

  1. Um processo com uma média de 3 eventos por intervalo e que obtém exatamente 3 5 passos

    Um processo regista em média 3 eventos por intervalo. Calcule com que frequência obtém pelo menos 3 e, em seguida, com que frequência obtém exatamente 3. As duas respostas estão mais afastadas do que a maioria das pessoas espera, e a segunda é a razão pela qual as médias enganam.

    1. A probabilidade de Poisson de k eventos é λᵏe^(−λ)/k!. Tudo nesta página deriva dessa única expressão e do único parâmetro λ.

    2. Calcule os três casos mais pequenos. e^(−3) = 0,049787 é a probabilidade de um intervalo completamente vazio, e não é insignificante — um intervalo em vinte não regista absolutamente nada, num processo com média de três.

    3. Pelo menos 3 é o complemento de no máximo 2, por isso some as três probabilidades recém-calculadas e subtraia de 1.

    4. Exatamente 3 — a média, a moda, a contagem individual mais provável — ocorre 22,4% do tempo. Em quatro de cinco vezes obtém-se algo diferente.

    5. Não há controlo de largura nesta ferramenta porque a matemática não tem parâmetro de largura: a média e a variância são o mesmo número. Fixe a taxa e a dispersão fica logo decidida, em σ = √3 = 1,732.

    Resposta

    A ferramenta apresenta 57,681% para pelo menos 3, com média e variância ambas iguais a 3. Defina k = 3: a probabilidade de ocorrerem exatamente 3 é 22,4%. É esta relação que importa: «a média é 3» não significa «o valor habitual é 3». Significa que a distribuição está centrada em 3, embora passe mais de três quartos do tempo noutros valores e seja nula durante um vigésimo do tempo. Uma enfermaria com uma média de três admissões por hora terá uma hora sem qualquer admissão em cada vinte; horas com cinco admissões serão duas vezes mais frequentes. Dimensionar a equipa pela média é dimensioná-la para um resultado que ocorre uma vez em cada cinco.

Percurso de aprendizagem

Das contagens às curvas

Conduz a Distribuição normal o primeiro limite: ao mantermos np constante, aumentando n e reduzindo p, os dois parâmetros colapsam num só.

Referências (2)
  • The horse-kick data in the third block: L. von Bortkiewicz, Das Gesetz der kleinen Zahlen. B. G. Teubner, Leipzig, 1898.
  • The Poisson limit of the binomial, and why variance equals the mean: W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1, 3rd ed., ch. VI. Wiley, 1968. ISBN 978-0-471-25708-0.

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Problemas de exemplo

  • Típico λ=5 - Para λ = 3, a distribuição tem duas modas com a mesma altura: 3 acontecimentos e 2 acontecimentos têm ambos probabilidade 0,2240, pois uma média inteira fica exatamente entre os valores adjacentes. Basta afastar ligeiramente λ de 3 para que uma das modas prevaleça.
  • Eventos raros - Para λ = 0,5, o número mais provável de acontecimentos é nenhum, com probabilidade 0,6065. Uma média de meio acontecimento por intervalo não significa que alguma vez ocorra meio acontecimento; significa que a maioria dos intervalos fica vazia.
  • Binomial→Poisson - Em 20 ensaios binomiais com p = 0,25, temos np = 5, tal como nesta distribuição de Poisson. Aumente o número de ensaios mantendo esse produto constante: as barras irregulares ajustam-se à curva suave. Foi precisamente como este limite que se deduziu a distribuição de Poisson.
  • λ grande→Normal - Para λ = 10, o desvio-padrão é √10 = 3,162 e a assimetria é 1/√10 = 0,316, pelo que a forma já é quase simétrica. Mesmo no máximo, o número individual mais provável tem apenas probabilidade 0,1251; numa distribuição larga, nenhum valor é provável.