Explorador da Distribuição de Poisson

Explore a distribuição de Poisson — veja como se distribuem os eventos raros e como a binomial converge para a Poisson.

Exemplo resolvido — Explorador da Distribuição de Poisson

Complemento	57.681%
Média (λ)	3
Variância (λ)	3

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Um único número fixa ao mesmo tempo o centro e a dispersão 🖖

A Poisson tem um único parâmetro, então sua média e sua variância são o mesmo número. Você não consegue alargar a distribuição sem também deslocá-la para a direita — não existe botão de largura, e a ferramenta não oferece um porque a matemática não tem. Carregue o exemplo "raro" com λ = 0,5 e o desvio padrão é √0,5 = 0,707, com a moda presa em zero; carregue "normal" com λ = 10 e ele vale √10 = 3,162, e a forma ficou quase simétrica, porque a assimetria é exatamente 1/√λ. Essa rigidez funciona também como diagnóstico: dados de contagem reais cuja variância supera bastante a média estão superdispersos, e estão dizendo que a Poisson é o modelo errado, não um modelo mal ajustado.

Muitas chances minúsculas formam uma curva limpa 🖖

Imagine um número enorme de oportunidades independentes, cada uma delas muito improvável: gralhas numa página, relâmpagos num concelho, defeitos numa linha de produção. Lance uma moeda n vezes, com probabilidade de sucesso p; faça n crescer e p diminuir, mantendo n × p = λ constante, e a distribuição binomial transforma-se suavemente na distribuição de Poisson. Ative aqui a sobreposição, aumente n e observe as barras irregulares da binomial ajustarem-se à curva de Poisson. Muitas tentativas, cada uma com uma probabilidade ínfima: é precisamente nestas condições que a distribuição de Poisson oferece um atalho.

Morte por coice de cavalo e a lei dos pequenos números 🖖

Em 1898, o estatístico Ladislaus Bortkiewicz estudou as mortes causadas por coices de cavalo em 10 corpos do exército prussiano, ao longo de 20 anos. As contagens anuais, quase sempre 0, por vezes 1 ou 2 e raramente superiores, ajustavam-se quase na perfeição a uma distribuição de Poisson com λ ≈ 0.61. Chamou a este padrão lei dos pequenos números. Poisson deduzira a distribuição sessenta anos antes, num livro sobre a probabilidade das decisões judiciais; Bortkiewicz mostrou que a mesma matemática regia acidentes extraordinários. Onze anos depois, Erlang aplicá-la-ia ao tráfego telefónico.

Problema resolvido na íntegra

Um processo com uma média de 3 eventos por intervalo e que obtém exatamente 3 5 passos
Um processo regista em média 3 eventos por intervalo. Calcule com que frequência obtém pelo menos 3 e, em seguida, com que frequência obtém exatamente 3. As duas respostas estão mais afastadas do que a maioria das pessoas espera, e a segunda é a razão pela qual as médias enganam.
1. A probabilidade de Poisson de k eventos é λᵏe^(−λ)/k!. Tudo nesta página deriva dessa única expressão e do único parâmetro λ.
  
  $P (X = k) = \frac{λ ^{k} e ^{- λ}}{k !}, λ = 3$
2. Calcule os três casos mais pequenos. e^(−3) = 0,049787 é a probabilidade de um intervalo completamente vazio, e não é insignificante — um intervalo em vinte não regista absolutamente nada, num processo com média de três.
  
  $P (0) = e^{- 3} = 0.049787, P (1) = 3 e^{- 3} = 0.149361, P (2) = 4.5 e^{- 3} = 0.224042$
3. Pelo menos 3 é o complemento de no máximo 2, por isso some as três probabilidades recém-calculadas e subtraia de 1.
  
  $P (X \geq 3) = 1 - (0.049787 + 0.149361 + 0.224042) = 1 - 0.423190 = 0.576810$
4. Exatamente 3 — a média, a moda, a contagem individual mais provável — ocorre 22,4% do tempo. Em quatro de cinco vezes obtém-se algo diferente.
  
  $P (X = 3) = \frac{27}{6} e^{- 3} = 0.224042 = 22.4%$
5. Não há controlo de largura nesta ferramenta porque a matemática não tem parâmetro de largura: a média e a variância são o mesmo número. Fixe a taxa e a dispersão fica logo decidida, em σ = √3 = 1,732.
  
  $μ = σ^{2} = λ = 3 ⟹ σ = 3 = 1.732$
Resposta

A ferramenta apresenta 57,681% para pelo menos 3, com média e variância ambas iguais a 3. Defina k = 3: a probabilidade de ocorrerem exatamente 3 é 22,4%. É esta relação que importa: «a média é 3» não significa «o valor habitual é 3». Significa que a distribuição está centrada em 3, embora passe mais de três quartos do tempo noutros valores e seja nula durante um vigésimo do tempo. Uma enfermaria com uma média de três admissões por hora terá uma hora sem qualquer admissão em cada vinte; horas com cinco admissões serão duas vezes mais frequentes. Dimensionar a equipa pela média é dimensioná-la para um resultado que ocorre uma vez em cada cinco.

$P (X \geq 3) = 57.681% but P (X = 3) = 22.4%; μ = σ^{2} = λ$

Percurso de aprendizagem

Das contagens às curvas

Referências (2)

The horse-kick data in the third block: L. von Bortkiewicz, Das Gesetz der kleinen Zahlen. B. G. Teubner, Leipzig, 1898.
The Poisson limit of the binomial, and why variance equals the mean: W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1, 3rd ed., ch. VI. Wiley, 1968. ISBN 978-0-471-25708-0.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.