Calculadora de Pontuação Z

padronizar valores na escala normal

Valores iniciais — Calculadora de Pontuação Z

Valor bruto (x)	85
Pontuação z (z)	1.5
Média (μ)	70
Desvio padrão (σ)	10

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

A carregar a simulação interativa...

Padronizar não torna os seus dados normais 🖖

Subtrair a média e dividir pelo desvio padrão desloca e estica uma distribuição; não pode mudar a sua forma. Padronize algo fortemente assimétrico e sai exatamente tão assimétrico quanto entrou. O z sobrevive a isso — continua a relatar honestamente a quantos desvios padrão você está — mas a linha do percentil não, porque é calculada como Φ(z) e Φ é a curva normal. Quanto trabalho essa suposição faz? Numa distribuição normal, 4,55 % dos valores ficam além de ±2. Numa distribuição qualquer, tudo o que a desigualdade de Chebyshev promete é no máximo 25 %. A suposição de normalidade está comprando um fator de cinco e meio em z = 2, então vale saber se você a conquistou antes de citar o percentil.

Uma régua para qualquer escala 🖖

Um escore z responde a uma pergunta simples: a quantos desvios padrão da média está este valor? Como remove as unidades originais, permite comparar coisas medidas em escalas totalmente diferentes — uma nota de 0 a 100 e uma altura em centímetros ficam diretamente comparáveis quando ambas viram escores z. Um valor em z = 1.5 está à mesma distância relativa acima da sua média, seja uma nota de prova ou um tempo de maratona.

Amostras pequenas limitam o escore z 🖖

Quando um escore z vem de uma amostra real de n valores e não de uma população conhecida, nenhum ponto pode ultrapassar (n − 1)/√n desvios padrão — um limite que Ronald Shiffler provou em 1988. Numa turma de 10, a melhor nota chega no máximo a cerca de z = 2.85, por mais brilhante que seja; alcançar z = 4 é impossível com menos de 18 dados. Um verdadeiro valor atípico de 'um em um milhão' simplesmente não pode existir num conjunto pequeno.

ESCORES Z — A QUE DISTÂNCIA DA MÉDIA, EM UNIDADES QUE VIAJAM

Em que caso de escore z você está?

Um escore z responde a uma única pergunta: a quantos desvios padrão da média está este valor? z = (x − μ)/σ tira as unidades, de modo que uma nota de prova e uma altura viram números comparáveis. Em que caso você está depende de estar convertendo um valor em z, lendo o percentil que esse z implica, ou rodando a conversão ao contrário para recuperar uma nota bruta.

Acima da média — quantos desvios padrão para cima z = (x − μ)/σ = 2.125

Abaixo da média — a mesma distância, espelhada z = −2.125

z = 1 — a âncora sobre a qual a regra empírica é construída z = 1 → Φ = 84.13%

Um z grande — a cauda afina muito mais depressa do que a intuição espera z = 3 → 1 − Φ = 0.135%

Rodando ao contrário — de um z para uma nota bruta x = μ + zσ = 130

Acima da média — quantos desvios padrão para cima

O que você sabe: Um valor bruto com a média e o desvio padrão da população. z = (x − μ)/σ, e um z positivo significa acima da média.

Conversão: z = (x − μ)/σ = 2.125

Exemplo resolvido: x = 92 com μ = 75 e σ = 8 → z = 17/8 = 2,125, o percentil 98,32, com 1,68 % pontuando mais alto.

Abrir este caso: exame alto (x=92)

Acima da média — quantos desvios padrão para cima. O valor fica pouco mais de dois desvios padrão à direita do centro, com muito pouca curva depois dele. Um valor bruto com a média e o desvio padrão da população. z = (x − μ)/σ, e um z positivo significa acima da média. — O valor fica pouco mais de dois desvios padrão à direita do centro, com muito pouca curva depois dele.

Abaixo da média — a mesma distância, espelhada

O que você sabe: Um valor abaixo de μ dá um z negativo. O sinal carrega apenas a direção; o tamanho continua dizendo o quão incomum o valor é.

Conversão: z = −2.125

Exemplo resolvido: x = 58 com os mesmos μ = 75 e σ = 8 → z = −2,125, o percentil 1,68 — o espelho exato do 92.

Abrir este caso: exame baixo (x=58)

Abaixo da média — a mesma distância, espelhada. A imagem espelhada do caso anterior: a mesma distância, do outro lado. Um valor abaixo de μ dá um z negativo. O sinal carrega apenas a direção; o tamanho continua dizendo o quão incomum o valor é. — A imagem espelhada do caso anterior: a mesma distância, do outro lado.

z = 1 — a âncora sobre a qual a regra empírica é construída

O que você sabe: Exatamente um desvio padrão. Cerca de 68 % da distribuição cabe dentro de ±1, então 84 % fica abaixo de +1.

Conversão: z = 1 → Φ = 84.13%

Exemplo resolvido: Um QI de 115 com μ = 100 e σ = 15 → z = 1,00, o percentil 84,13.

Abrir este caso: QI 115 (z=1)

z = 1 — a âncora sobre a qual a regra empírica é construída. A um desvio padrão: a área sombreada são os 84 % abaixo, sobrando 16 % acima. Exatamente um desvio padrão. Cerca de 68 % da distribuição cabe dentro de ±1, então 84 % fica abaixo de +1. — A um desvio padrão: a área sombreada são os 84 % abaixo, sobrando 16 % acima.

Um z grande — a cauda afina muito mais depressa do que a intuição espera

O que você sabe: Três desvios padrão. O percentil é 99,87, então aproximadamente um em 740 o supera.

Conversão: z = 3 → 1 − Φ = 0.135%

Exemplo resolvido: Um QI de 145 com μ = 100 e σ = 15 → z = 3,00, com apenas 0,135 % acima.

Abrir este caso: QI 145 (z=3)

Um z grande — a cauda afina muito mais depressa do que a intuição espera. A três desvios padrão, à curva quase não resta área para dar. Três desvios padrão. O percentil é 99,87, então aproximadamente um em 740 o supera. — A três desvios padrão, à curva quase não resta área para dar.

Rodando ao contrário — de um z para uma nota bruta

O que você sabe: Reorganizada, a mesma relação fica x = μ + zσ. Use quando souber o z ou o percentil que precisa e quiser o valor que o alcança.

Conversão: x = μ + zσ = 130

Exemplo resolvido: z = 2 com μ = 100 e σ = 15 → x = 100 + 2 × 15 = 130, o percentil 97,72.

Abrir este caso: a partir de z=2

Rodando ao contrário — de um z para uma nota bruta. Parte-se do z e desce-se até o valor bruto que lhe corresponde. Reorganizada, a mesma relação fica x = μ + zσ. Use quando souber o z ou o percentil que precisa e quiser o valor que o alcança. — Parte-se do z e desce-se até o valor bruto que lhe corresponde.

Referências (1)

Insight block 3 — the (n − 1)/√n ceiling on any z-score from a sample: R. E. Shiffler, "Maximum Z Scores and Outliers." The American Statistician 42(1), 79–80, 1988.

Problema resolvido na íntegra

Uma pontuação de 85 numa turma com média 70 e desvio padrão 10 5 passos
Uma pontuação de 85 numa turma com média 70 e desvio-padrão 10. Converta-a num percentil e, em seguida, determine que parte desse percentil é medição e que parte é pressuposto.
1. O valor z é a distância em relação à média medida em desvios-padrão. Não tem unidades — subtrair uma pontuação em pontos e dividir por uma dispersão em pontos resulta num número puro, o que torna comparáveis pontuações de exames diferentes.
  
  $z = \frac{x - μ}{σ} = \frac{85 - 70}{10} = 1.5$
2. O percentil provém da curva normal padrão: 93,32% da área situa-se à esquerda de z = 1,5, pelo que 6,68% se situa à direita.
  
  $Φ (1.5) = 0.9332 ⟹ 1 - Φ (1.5) = 0.0668 = 6.68%$
3. Torne isto concreto. Numa turma de trinta alunos, cerca de dois obtêm uma pontuação acima de 85.
  
  $30 \times 0.0668 = 2.0 students$
4. Deixe agora de supor que a distribuição é normal. A desigualdade de Chebyshev é válida para qualquer distribuição com variância finita. Fora do intervalo de ±1,5 desvios-padrão, permite apenas garantir que se encontram, no máximo, 44,4% dos dados, mais de três vezes os 13,36% da curva normal.
  
  $Chebyshev : P (∣ z ∣ \geq 1.5) \leq \frac{1}{1. 5 ^{2}} = 44.4% vs 2 (0.0668) = 13.36%$
5. Faça o percurso inverso para um valor-alvo. O 1% superior começa em z = 2,326, o que neste exame corresponde a uma pontuação de 93,3.
  
  $top 1% : z = 2.326 ⟹ x = 70 + 10 (2.326) = 93.3$
Resposta

A ferramenta apresenta z = 1,5, um percentil de 93,32 e uma cauda à direita de 6,68. As duas linhas não são igualmente fiáveis, e essa é a ilação útil a retirar. O z é uma descrição: aplica-se a quaisquer dados, e significa exatamente o que diz. O percentil é um modelo — é Φ(z), e Φ é a curva normal — pelo que, em dados assimétricos, pode estar profundamente errado enquanto o z ao seu lado se mantém perfeitamente correto. O passo 4 quantifica a dimensão do pressuposto: a 1,5 desvios-padrão, a normalidade está a dar-lhe um fator de três.

$z needs no distribution; Φ (z) needs a normal one$

Percurso de aprendizagem

Das contagens às curvas

Conduz a Intervalo de confiança uma régua única para qualquer curva normal.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

Todas as lições de Estatística e Finanças →

Problemas de exemplo

exame alto (x=92) - Uma nota de exame de 92, com média 75 e desvio padrão de 8. A nota está 2.13 desvios padrão acima da média (percentil de 98.32%).
exame baixo (x=58) - Uma nota de exame de 58, com média 75 e desvio padrão de 8. A nota está 2.13 desvios padrão abaixo da média (percentil de 1.68%), o que é incomumente baixo.
QI 115 (z=1) - Um QI de 115 em uma escala padrão (média 100, desvio padrão 15). Isso representa exatamente 1 desvio padrão acima da média (percentil de 84.13%).
QI 145 (z=3) - Um QI de 145 em uma escala padrão (média 100, desvio padrão 15). Isso representa 3 desvios padrão acima da média (percentil de 99.87%), o que é extremamente raro (cerca de 1 em 740 pessoas).
altura 190cm (z=2,14) - Uma altura adulta de 190 cm em uma população com média 175 cm e desvio padrão de 7 cm. Isso equivale a 2.14 desvios padrão acima da média (percentil de 98.39%).
a partir de z=2 - Cálculo do valor bruto correspondente a uma pontuação z de +2 em um teste de QI (média 100, desvio padrão 15). O limiar é 130, representando o limite do percentil 97.72%.
a partir de z=-1,5 - Cálculo do valor bruto para uma pontuação z de -1.5 em um teste com média 50 e desvio padrão 10. O resultado é 35, que está no percentil 6.68%.