Calculadora de Intervalo de Confiança

intervalos de média/proporção com fórmulas em tempo real

Valores iniciais — Calculadora de Intervalo de Confiança

Média amostral (x̄)	100
Desvio padrão amostral (s)	15
Proporção amostral (p̂)	0.5
Tamanho da amostra (n)	30

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

A carregar a simulação interativa...

Barras de erro que se sobrepõem não significam "sem diferença" 🖖

É um movimento padrão desenhar dois intervalos, notar que se sobrepõem e concluir que as duas coisas não são distinguíveis. Esse teste é muito mais rígido do que parece. Dois intervalos de 95 % só deixam de se sobrepor quando suas estimativas estão a 3,92 erros padrão de distância — e nessa separação a diferença carrega um valor p de 0,0056. A significância real ao nível de 0,05 chega muito antes, a 2,77 erros padrão. Entre esses dois números há uma faixa de 1,15 erro padrão de largura, quase um terço do caminho, na qual os intervalos claramente se sobrepõem e a diferença é significativa de todo modo. Portanto exigir uma folga visível equivale a um teste com p < 0,006: cerca de nove vezes mais duro que o 0,05 que você pensava aplicar, e um bom jeito de perder um efeito real.

Um intervalo vence um único palpite 🖖

Qualquer média ou porcentagem medida em uma amostra quase nunca coincide com a verdade exata, por isso esta ferramenta fornece um intervalo em vez de um único número. A margem de erro é o "mais ou menos" da sua estimativa. O compromisso honesto: com os mesmos dados, um intervalo de 99% é mais largo que um de 90%. Mais confiança custa precisão, então escolha o nível que sua decisão realmente exige.

O número por trás do "±3 pontos" 🖖

Para uma proporção, o erro padrão é √(p(1−p)/n), e p(1−p) atinge o máximo exatamente em p = 0,5 (valor 0,25). Os institutos aproveitam isso supondo uma divisão 50/50 como pior caso, o que deixa a margem de 95% em torno de 0.98/√n. Com n = 1000, dá cerca de ±3,1% — o número clássico das pesquisas. É também por isso que pesquisas nacionais raramente passam de ~1000 pessoas: chegar a ±1,5% exigiria quadruplicar a amostra.

INTERVALOS DE CONFIANÇA — O QUE VOCÊ ESTIMA, E QUANTA CERTEZA PRECISA?

Em que caso de intervalo de confiança você está?

Todo intervalo tem a mesma forma: a estimativa, mais e menos uma margem. O que muda é de onde a margem vem. Ao estimar uma média, o erro padrão é s/√n; ao estimar uma proporção, é √(p(1−p)/n). Depois o nível de confiança escolhe o multiplicador, e o tamanho da amostra decide quanto esse multiplicador custa. Essas três escolhas são o assunto inteiro.

Uma média a 95% — o caso padrão, e a que o 95 de fato se refere x̄ ± z·s/√n

Subir a confiança — um intervalo mais largo com os mesmos dados z: 1.96 → 2.576 (+31%)

Uma proporção — o erro padrão sai do próprio p SE = √(p(1−p)/n)

Uma proporção rara — p pequeno, e a aproximação começa a forçar np > 5, n(1 − p) > 5

Uma média a 95% — o caso padrão, e a que o 95 de fato se refere

O que você sabe: Uma média amostral com seu desvio padrão e seu tamanho. A margem é z·s/√n e, a 95%, o multiplicador vale 1,96.

Margem: x̄ ± z·s/√n

Exemplo resolvido: x̄ = 100 com s = 15 e n = 30 → SE = 2,739, margem = 5,368, intervalo de 94,63 a 105,37

Abrir este caso: média 95%

Uma média a 95% — o caso padrão, e a que o 95 de fato se refere. A estimativa fica no centro, com 1,96 erro padrão de margem de cada lado. Uma média amostral com seu desvio padrão e seu tamanho. A margem é z·s/√n e, a 95%, o multiplicador vale 1,96. — A estimativa fica no centro, com 1,96 erro padrão de margem de cada lado.

Subir a confiança — um intervalo mais largo com os mesmos dados

O que você sabe: O mesmo tipo de estimativa a 99%. O multiplicador sobe de 1,96 para 2,576, então o intervalo se alarga 31% mesmo sem nada ter mudado na amostra.

Margem: z: 1.96 → 2.576 (+31%)

Exemplo resolvido: x̄ = 72 com s = 12 e n = 64 → SE = 1,5, margem = 3,864, intervalo de 68,14 a 75,86

Abrir este caso: média 99%

Subir a confiança — um intervalo mais largo com os mesmos dados. Os mesmos dados com mais confiança: o centro não se move, a margem estica. O mesmo tipo de estimativa a 99%. O multiplicador sobe de 1,96 para 2,576, então o intervalo se alarga 31% mesmo sem nada ter mudado na amostra. — Os mesmos dados com mais confiança: o centro não se move, a margem estica.

Uma proporção — o erro padrão sai do próprio p

O que você sabe: Estima-se uma fração em vez de uma média. Não há dispersão separada para medir: SE = √(p(1−p)/n), porque num resultado de sim ou não a variância fica fixada por p.

Margem: SE = √(p(1−p)/n)

Exemplo resolvido: p = 0,42 com n = 800 → SE = 0,0174, margem = 0,0342, intervalo de 0,386 a 0,454 — uma pesquisa com margem de erro de 3,4 pontos

Abrir este caso: proporção 95%

Uma proporção — o erro padrão sai do próprio p. O intervalo é simétrico em torno da fração observada, com margem fixada só por p e n. Estima-se uma fração em vez de uma média. Não há dispersão separada para medir: SE = √(p(1−p)/n), porque num resultado de sim ou não a variância fica fixada por p. — O intervalo é simétrico em torno da fração observada, com margem fixada só por p e n.

Uma proporção rara — p pequeno, e a aproximação começa a forçar

O que você sabe: Uma fração pequena estimada com alta confiança. Em termos absolutos o intervalo é estreito, mas largo em relação ao próprio p.

Margem: np > 5, n(1 − p) > 5

Exemplo resolvido: p = 0,08 com n = 1200 a 99% → SE = 0,0078, margem = 0,0202, intervalo de 0,060 a 0,100

Abrir este caso: proporção 99%

Uma proporção rara — p pequeno, e a aproximação começa a forçar. Um intervalo estreito em termos absolutos, mas com um quarto da estimativa de cada lado. Uma fração pequena estimada com alta confiança. Em termos absolutos o intervalo é estreito, mas largo em relação ao próprio p. — Um intervalo estreito em termos absolutos, mas com um quarto da estimativa de cada lado.

Problema resolvido na íntegra

A promessa de um intervalo de confiança de 95% com n = 30 5 passos
O que promete realmente o 95 num intervalo de confiança de 95%? Este é o IC da média com x̄ = 100, s = 15 e n = 30, a 95% de confiança.
1. O intervalo é construído em redor da média amostral, e a própria média amostral é aleatória: repita-se o estudo e ela cai noutro lado. A sua dispersão é a dispersão dos dados reduzida por √n, sendo essa a única razão pela qual uma amostra maior ganha precisão.
  
  $SE = \frac{s}{n} = \frac{15}{30} = \frac{15}{5.4772} = 2.7386$
2. Um intervalo bilateral de 95% deixa 2,5% em cada cauda, pelo que o multiplicador é o valor da distribuição normal padrão que acumula 97,5% da área à sua esquerda. Como 15 é o desvio-padrão amostral calculado a partir de 30 observações, a opção mais rigorosa segundo os manuais é t₂₉ = 2,045. Este painel usa z, a forma para grandes amostras, o que desloca cada extremo do intervalo cerca de um quarto de unidade.
  
  $z^{*} = Φ^{- 1} (\frac{1 + C}{2}) = Φ^{- 1} (0.9750) = 1.9600$
3. O multiplicador converte erros-padrão nas unidades em que a medição foi efetuada, e o intervalo estende-se essa distância para cada lado da estimativa.
  
  $ME = z^{*} SE = 1.9600 \times 2.7386 = 5.3677 ⟹ [94.6323, 105.3677]$
4. Os 95% descrevem a receita, não este intervalo: este ou contém a verdadeira média ou não contém, e nada nos dados diz qual é o caso. Repita-se todo o estudo 100 vezes e cada intervalo é um acerto ou uma falha independente com uma probabilidade de 5% de falha, o que torna o número de falhas uma contagem binomial e não uma quota fixa de cinco.
  
  $M \sim Bin (100, 0.05) : E [M] = 5, σ_{M} = 100 \times 0.05 \times 0.95 = 2.179$
5. Uma contagem que se dispersa por 2,179 só é surpreendente quando fica a mais de cerca de duas dessas unidades da sua própria média.
  
  $5 \pm 2 σ_{M} = [0.64, 9.36] M = 12 : z = \frac{12 - 5}{2.179} = 3.21$
Resposta

Um erro-padrão de 2,7386 e um multiplicador de 1,9600 dão uma margem de 5,3677, pelo que o intervalo vai de 94,6323 a 105,3677. A parte que vale a pena reter são as duas últimas linhas: ao longo de 100 repetições deste estudo, as falhas têm uma média de 5, mas dispersam-se com um desvio-padrão de 2,179, pelo que qualquer número de falhas entre 1 e 9 é perfeitamente comum. Três falhas não são prova de que o método seja cauteloso e oito não são prova de que esteja incorreto; seriam necessárias cerca de 12, o que fica a 3,21 desvios-padrão de distância, para que a contagem diga seja o que for. A faixa de intervalos verdes e vermelhos é uma representação de exatamente essa experiência, e a sua taxa de acerto não indicará 95 de cada vez que olhar para ela. Um nível de confiança é uma propriedade a longo prazo do procedimento, e 100 repetições não são o longo prazo.

$σ_{M} = N C (1 - C) = 2.179 misses on E [M] = 5$

Percurso de aprendizagem

Das contagens às curvas

Referências (1)

The paper that defined the confidence interval, and was careful about what the 95% is a statement about: J. Neyman, "Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability." Philosophical Transactions of the Royal Society A 236(767), 333–380, 1937.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

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Problemas de exemplo

média 95% - IC da média com 95% de confiança para n=30, dp=15
média 99% - Uma confiança maior amplia o intervalo mesmo com n maior
proporção 95% - IC de proporção com suporte moderado e amostra grande
proporção 99% - Estimativa de proporção rara com intervalo de alta confiança