Explorador da Distribuição Normal
probabilidade da curva normal — interativo em tempo real
a regra 68–95–99,7 🖖
Para qualquer distribuição normal, exatamente 68,27% dos valores caem dentro de um desvio padrão da média, 95,45% dentro de dois e 99,73% dentro de três. Esses percentuais fixos valem independentemente de μ e σ — decorrem diretamente da integração do PDF gaussiano. Essa regra sustenta a maior parte da estatística: escores z, intervalos de confiança, p-valores e o Teorema Central do Limite são todos construídos sobre ela.
Por que importa a área, não a altura 🖖
A curva em sino representa a densidade de probabilidade, não a probabilidade em si — por isso a altura num único ponto quase nada diz. O que importa é a área: a faixa sombreada entre x₁ e x₂ é a probabilidade de um valor cair nesse intervalo, e a curva inteira sempre encerra uma área de exatamente 1. Mover μ desloca o pico para a esquerda ou para a direita; aumentar σ achata e alarga a curva, mas essa área total nunca muda.
A curva em sino que apareceu em dinheiro 🖖
A curva foi célebre o bastante para ser impressa em dinheiro: a nota alemã de 10 marcos, em circulação de 1991 a 2001, mostrava Carl Friedrich Gauss ao lado desta mesma curva e da sua fórmula f(x). Apropriado, pois ele a refinou ao modelar os erros de medição na astronomia. Contudo, Abraham de Moivre já deduzira a forma em 1733, décadas antes de Gauss nascer — um caso exemplar da lei de Stigler, que brinca que nada leva o nome de seu verdadeiro descobridor.
Problemas de exemplo
- Normal padrão - O caso padrão — μ = 0, σ = 1. σ = 1 significa que os valores tipicamente se desviam 1 unidade da média. O gráfico mostra sempre μ ± 4,5σ — aqui de −4,5 a +4,5 — para capturar 99,999% da distribuição. Qualquer distribuição normal pode ser reescalada para isso. Arraste os sliders para ver como μ desloca a curva e σ a estica ou comprime.
- Pontuações de QI - Os testes de QI são normados para que a população tenha média 100 — e σ = 15 significa que as pontuações individuais variam tipicamente cerca de 15 pontos da média. O gráfico abrange de 33 a 168 aproximadamente (μ ± 4,5σ = 100 ± 67,5): pontuações além de ±3σ (abaixo de 55 ou acima de 145) são reais mas raras — cerca de 1 em 750 pessoas. Tente ±2σ para ver o quão raras são as pontuações extremas.
- Alturas - As alturas de adultos em muitas populações seguem de perto uma distribuição normal. σ = 10 cm significa que as alturas individuais variam tipicamente cerca de 10 cm da média. O gráfico abrange de 125 a 215 cm (μ ± 4,5σ = 170 ± 45) — alturas acima de 200 cm existem mas são incomuns, ocorrendo em cerca de 1 em 750 pessoas. A faixa sombreada (160–180 cm) representa o que a maioria chamaria de altura 'média'.
- Notas de exame - Uma turma com nota média 65. σ = 12 significa que as notas individuais variam tipicamente cerca de 12 pontos da média. O gráfico abrange de 11 a 119 aproximadamente (μ ± 4,5σ = 65 ± 54) e se estende além de 100 — uma curva normal não tem teto fixo; essas caudas acima de 100 são muito planas e representam resultados raros. Ajuste x₁ e x₂ para qualquer faixa de notas para ver que percentagem de alunos cai ali.