Explorador da Distribuição Normal

Defina a média e a dispersão, sombreie o intervalo que quiser e veja a probabilidade de um valor pertencer a ele.

Valores iniciais — Explorador da Distribuição Normal

Média (μ)	0
Desvio padrão (σ)	1
x₁ (limite inferior)	-1
x₂ (limite superior)	1

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

A carregar a simulação interativa...

a regra 68–95–99,7 🖖

Estas percentagens não são estimativas arredondadas: resultam diretamente da integral gaussiana. Cada uma corresponde à área sob e^(−z²/2) entre ±1, ±2 e ±3 desvios-padrão, precisamente o que calculam abaixo as etapas da função erro.

Os físicos adotam esta escala para definir limiares de «descoberta». O anúncio do bosão de Higgs, em 2012, exigiu evidência de 5σ, correspondente a uma taxa unilateral de falsos positivos de cerca de 1 em 3,5 milhões. Um sinal real só merece confiança perante o ruído estatístico depois de ultrapassar um limiar tão exigente.

A regra também mostra por que razão acontecimentos «improváveis» não são verdadeiramente raros em grandes conjuntos de dados. Com um milhão de medições independentes, é de esperar que cerca de 63 ultrapassem ±4σ por mero acaso; menos de uma ultrapassaria ±5σ. Essa diferença explica em grande parte a adoção dos cinco sigmas como limiar. Pesa ainda a experiência de uma área que já vira resultados de três sigmas desaparecerem.

Por que importa a área, não a altura 🖖

A curva em sino representa a densidade de probabilidade, não a probabilidade em si. Portanto, a altura num ponto isolado não é uma probabilidade. A altura permite comparar valores: se for duas vezes maior, o valor é duas vezes mais provável por unidade de x; ainda assim, a probabilidade de ocorrer exatamente nesse ponto é zero. O que importa é a área: a faixa sombreada entre x₁ e x₂ corresponde à probabilidade de um valor ficar nesse intervalo, e a área total sob a curva é sempre exatamente 1. Alterar μ desloca o pico para a esquerda ou para a direita; aumentar σ torna a curva mais baixa e mais larga, sem alterar a área total.

A curva em sino que apareceu em dinheiro 🖖

A curva tornou-se tão célebre que chegou a ser impressa em dinheiro. A nota alemã de 10 marcos, em circulação de 1991 a 2001, mostrava Carl Friedrich Gauss ao lado desta mesma curva e da fórmula f(x). Gauss aperfeiçoou-a ao modelar erros de medição em astronomia, origem da designação alternativa «curva de erros». Abraham de Moivre, porém, já havia deduzido essa forma em 1733, décadas antes do nascimento de Gauss. É um caso exemplar da lei de Stigler, segundo a qual nenhuma descoberta recebe o nome de quem realmente a fez.

Problema resolvido na íntegra

Dois adultos escolhidos ao acaso com μ = 170 cm 5 passos
Qual é a distância entre dois adultos escolhidos ao acaso? Trata-se de Alturas: μ = 170 cm com σ = 10 cm, e a faixa sombreada vai de x₁ = 160 a x₂ = 180 cm.
1. A padronização converte centímetros em desvios-padrão, que é a única moeda que a tabela da normal aceita. A faixa fica exatamente a um σ de cada lado da média.
  
  $z_{1} = \frac{160 - 170}{10} = - 1, z_{2} = \frac{180 - 170}{10} = + 1$
2. A curva é simétrica em relação à média, pelo que a área abaixo de −1 é igual à área acima de +1 e o meio sombreado é o que resta. Um único valor da tabela faz o cálculo completo.
  
  $P = Φ (1) - Φ (- 1) = 2Φ (1) - 1 = 2 (0.8413) - 1 = 0.6827 = 68.3%$
3. Mude-se agora a pergunta: não uma pessoa em relação à média, mas duas pessoas uma contra a outra. As variâncias somam-se para grandezas independentes mesmo quando as grandezas são subtraídas, pelo que a diferença tem uma dispersão maior do que qualquer uma das alturas.
  
  $D = X_{1} - X_{2} : E [D] = 0, Var (D) = σ^{2} + σ^{2} ⟹ σ_{D} = 102 = 14.142 cm$
4. Uma diferença de 10 cm entre duas pessoas é, portanto, de apenas 0,71 desvios-padrão de D, quando os mesmos 10 cm representavam um desvio-padrão completo para uma pessoa.
  
  $P (∣ D ∣ \leq 10) = 2Φ (\frac{10}{14.142}) - 1 = 2Φ (0.7071) - 1 = 2 (0.7603) - 1 = 52.1%$
5. A cauda distante dessa mesma distribuição de diferenças dá a probabilidade de um par parecer impressionantemente diferente.
  
  $P (∣ D ∣ \geq 20) = 2 [1 - Φ (1.4142)] = 2 (0.0787) = 15.7% \approx \frac{1}{6}$
Resposta

68,3% dos adultos situam-se entre 160 e 180 cm, e os 15,9% acima de 180 é o que resta assim que se subtraem os Φ(z₂) = 84,1% que a ferramenta apresenta abaixo desse valor. A diferença entre dois adultos tem uma dispersão de 10√2 = 14,142 cm, pelo que escassamente metade de todos os pares (52,1%) difere em menos de 10 cm, enquanto cerca de um em cada seis pares difere em mais de 20 cm. Esses dois valores de um em cada seis não são o mesmo facto, e vale a pena separá-los: uma pessoa excede a média em 10 cm cerca de uma em cada seis vezes, e um par difere em 20 cm cerca de uma em cada seis vezes. O σ indicado numa distribuição mede a distância em relação à média, mas as diferenças que realmente se notam são entre duas tiragens, e essas têm uma dispersão 1,414 vezes maior.

$σ_{X_{1} - X_{2}} = σ 2 = 1.414 σ$

Percurso de aprendizagem

Das contagens às curvas

Conduz a Teorema do limite central o outro limite e o primeiro caso contínuo: um n grande com um p distante de zero.

Referências (3)

Insight block 1 — the 5σ bar, and the announcement that had to clear it: ATLAS Collaboration, "Observation of a new particle in the search for the Standard Model Higgs boson with the ATLAS detector at the LHC." Physics Letters B 716(1), 1–29, 2012.
CMS Collaboration, "Observation of a new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC." Physics Letters B 716(1), 30–61, 2012.
Insight block 3 — the law that says the curve is misnamed: S. M. Stigler, "Stigler's Law of Eponymy." Transactions of the New York Academy of Sciences 39(1), 147–157, 1980.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

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Problemas de exemplo

Normal padrão - O caso padrão — μ = 0, σ = 1. σ = 1 significa que os valores tipicamente se desviam 1 unidade da média. O gráfico mostra sempre μ ± 4,5σ — aqui de −4,5 a +4,5 — para capturar 99,999% da distribuição. Qualquer distribuição normal pode ser reescalada para isso. Arraste os sliders para ver como μ desloca a curva e σ a estica ou comprime.
Pontuações de QI - Os testes de QI são aferidos para que a média da população seja 100. O desvio-padrão de 15 resulta de uma escolha, não de uma medição: a escala foi definida dessa forma, permitindo que uma pontuação tenha o mesmo significado em qualquer teste devidamente aferido. As pontuações a mais de três desvios-padrão da média, abaixo de 55 ou acima de 145, existem, mas são raras: somando os dois extremos, ocorrem em cerca de 1 em cada 370 pessoas. Experimente ±2σ para perceber como são pouco comuns as pontuações extremas.
Alturas - Em muitas populações, a altura dos adultos segue uma distribuição normal. É o exemplo clássico dos manuais, embora a explicação habitual seja menos sólida do que parece: muitos genes e fatores ambientais exercem, cada um, uma pequena influência, sem que nenhum predomine. Por isso, a curva ajusta-se bem à região central e mal às extremidades, onde se encontram as perturbações do crescimento. O gráfico abrange de 125 a 215 cm (μ ± 4,5σ, ou 170 ± 45). Existem pessoas com mais de 200 cm, mas são raras: cerca de 1 em cada 750. A faixa sombreada, de 160 a 180 cm, corresponde ao que a maioria chamaria «altura média».
Notas de exame - Uma turma com nota média de 65. As notas de exame são o caso em que o modelo se ajusta pior: têm limites nos dois extremos e muitas vezes concentram-se perto da nota de aprovação, pelo que as caudas são uma conveniência matemática, não uma descrição fiel. O gráfico abrange aproximadamente 11–119 (μ ± 4,5σ, ou 65 ± 54) e prolonga-se para além de 100. Uma curva normal não tem um limite superior rígido; acima de 100, as caudas são muito achatadas e representam resultados raros. Ajuste x1 e x2 a qualquer intervalo de notas para ver a respetiva percentagem.